第十一章复变函数

第十一章复变函数 第一节、复平面第二节、复变函数第三节、解析函数

第一节、复平面 • 一、复数的概念 • 二、复数的各种表示、模与辐角 • 三、复平面上的点集与区域

一、复数的概念 • 定义；设 x,y为两个任意实数，称形如x+yi 的数为复数，记为 z=x+yi ，其中 i 满足i2=-1，i称为虚数单位.实数x 和 y分别称为复数z 的实部和虚部，记为x=Rez,y=Imz. • 各数集之间的关系可表示为

复数的代数运算 • 设复数 , 定义 z1 与 z2 的四则运算如下： • 加法： • 减法： • 乘法： • 除法：

复数四则运算规律： • （1）加法交换律: • (2）乘法交换律 • （3）加法结合律 • （4）乘法结合律 • （5）乘法对于加法的分配律 • 复数运算的其它结果： • （1）（2） • （3）若，则 Z1与 Z2至少有一个为零，反之亦然.

共轭复数的运算性质： • （1） • （2） • （3） • （4） • （5） • （6）为实数

例1 化简 例2

二、复数的各种表示、模与辐角 • 1.复数的几何表示 • 由复数z=x+iy 的定义可知，复数是由一对有序实数(x,y) 惟一确定的，于是可建立全体复数和平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为x ，纵坐标为y的点表示复数（如图），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 P 与数看作同义词.

2.复数的向量表示复数 还可以用起点为原点，终点为P(x,y) 的向量来表示（如图）， x 与 y 分别是实部和虚部分. • 3.复数的模与辐角 • 复数的模 Z≠0对应的向量的长（如图）, 与实轴正方向所夹的角，称为复数 Z的辐角,记作argz ，即 • θ=argz+2kπ , k为整数 • 并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负. • 4.复数的的三种表示式. • 复数的表示式称为复数的三角表示式. • 复数的表示式称为复数的指数表示式 • 复数的表示式称为复数的代数表示式

三、复平面上的点集与区域 • 扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. • 有限复平面不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面. • 邻域平面上以 z0为心，δ>0为半径的圆： • 内部所有点z0 的集合称为点z0的 δ—邻域，记为 N(z0,δ). 称集合 (z0 - δ , z0 + δ) 为 z0 的去心 δ —邻域记作 • 开集如果点集 D 的每一个点都是D 的内点，则称 D 为开集. • 闭集　如果点集D的余集为开集，则称 D为闭集. • 连通集设是D开集，如果对D 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属D则称开集是连通集. • 区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域. • 闭区域开区域连同它的边界一起，称为闭区域，记为 .

第二节、复变函数 • 一、复变函数的概念

一、复变函数的概念： • 定义1 设 D为给定的平面点集，若对于D 中每一个复数z=x+iy ，按着某一确定的法则f ，总有确定的一个或几个复数与之对应，则称 f是定义在D上的复变函数（复变数是复变数Z的函数），简称复变函数，记作 =f(z) 其中 Z称为自变量, 称为因变量，点集 D 称为函数的定义域. • 例1 将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数. • 解设

第三节、解析函数 • 一、复变函数的导数 • 二、解析函数的定义 • 三、柯西—黎曼条件

一、复变函数的导数 • 1.导数的定义 • 定义1 设函数f(z) 在包含 z0 的某区域 D内有定义，当变量z 在点z0 处取得增量时，相应地，函数 ω取得增量 • 若极限（）存在，则称f(z) 在点 z处可导， • 此极限值称为f(z) 在点 z处的导数，记或，即

二、解析函数的定义 • 定义3 如果函数 f(z)不仅在点 z0处可导，而且在点z0 的某邻域内的每一点都可导，则称 f(z) 在点z0 处解析，并称点z0 是函数的解析点；如果函数 f(z) 在区域D内每一点都解析，则称 f(z) 在区域 D内解析或称为区域D 内的解析函数，区域 D 称为的解析区域. • 如果 f(z) 在点z0 处不解析，但在z0 的任一邻域内总有 z0 的解析点,则称 z0 为f(z) 的奇点.

例5 讨论函数 f(z)=z2的解析性. • 解由例2知，f(z)=z2 在整个复平面内处处可导且，则由函数在某区域内 • 解析的定义可知，函数 f(z)=z2在整个复平面上解析。

三、柯西—黎曼条件 • 定理１设函数在区域 D 内有定义，则在 D内解析的充分必要条件为在 D内任一点处 • （1）可微； • （2）满足 • 上式称为柯西—黎曼条件（或方程），简称C—R条件（或方程）. • 定理２函数在区域 • D 内解析的充要条件为 • （1）在D内连续； • （2）在 D 内满足C—R条件，

第四节、初等解析函数 • 一、指数函数 • 二、对数函数 • 三、幂函数 • 四、三角函数

一、指数函数 • 定义3 复变量的指数函数定义为 • 指数函数的一些重要性质： • （1）指数函数 ez在整个Z的有限平面内都有定义，且处处不为零. • （2）ez1+z2=ez1ez2 • （3）指数函数是以2πi 为周期的周期函数． • （4）指数函数ez 在整个复平面上解析，且有 (ez)'=ez

二、对数函数 定义4 对数函数定义为指数函数的反函数. • 若，则称是Z的对数函数，记 • 作． • 对数函数是一个多值函数，每一个Z 对应着多个LnZ的值. • 若令k=0 ，则上式中的多值函数便成为了单值函数，则称这个单值函数为多值函数LnZ 的主值.记作lnz • 例1 求 . • 解因为-1的模为 1，其辐角的主值为π ， • 所以 • 而 • 又因为 iii的模为1，而其辐角的主值为， • 所以

复变量对数函数具有与实变量对数函数同样的基本性质：复变量对数函数具有与实变量对数函数同样的基本性质：（ 5）对数函数的解析性 • 可以证明 Lnz在除去原点与负实轴的Z平面内解析，所以 Lnz的各个分支也在除去原点与负实轴的Z平面内解析。

三、幂函数 定义5 设 α为任意复常数，定义一般幂函数为它是指数与对数函数的复合函数，是多值函数(因对数函数是多值的). • 幂函数的几种特殊情形： • （1）当 α为整数时， • 是与K 无关的单值函数（α>0,n 为正整数）时， f(z)=zn为Z的次乘方， • （2）当 α 为有理数时（为既约分数， n>0 ），

只有 n 个不同的值，即当 K 取 0,1,2,……n-1时的对应值. （3）当α 为无理数或复数时，zα 有无穷多个值. 此时的 zα与根式函数的区别是无穷多值函数. 而后者的值是有限的。

（1）当 α=n（ n 为正整数）时，zn在整个复平面内单值解析，且（2）当 α=-n（n 为正整数）时，在除原点的复平面内解析，且

四、三角函数 • 定义7 设 Z 为任一复变量，称 • 与 • 分别为复变量Z的正弦函数与余弦函数，分别记为sinz 与cosz • 正弦函数与余弦函数的性质： • （1）sinz 与 cosz都是以 2π为周期的周期函数 • （2） sinz为奇函数，cosz 为偶函数，即对任意的Z 有（3）

（4）和都是无界的. • 因为 • 可见，当无限增大时，趋于无穷大，同理可知，也是无界的.

第十一章 复变函数