Dažas diferenciālas un integrālas nevienādības

1. Dažas diferenciālas un integrālas nevienādības Gronuolla lemma. Pieņemsim, ka u un v ir intervālā [a;b] nepārtrauktas, nenegatīvas funkcijas,

2. Pierādījumam: • C>0 • Definē

3. 2) C=0 Salīdzinājumam:

4. Gronuolla lemmas variants Salīdzinājumam

5. Vispārinājums Nepārtraukta pozitīva funkcija u

6. Jēdziens par tuvināto atrisinājumu (-tuvinātais atrisinājums). Košī problēma • Gabaliem diferencējamu funkciju sauc pardiferenciālvienādojuma tuvināto atrisinājumu ar precizitāti >=0t maiņas intervālā I, ja tI izpildās īpašības: • 1.(t,(t))G; • 2.visos  diferencējamības punktos t]aj;bj[ izpildās nosacījums • 3.intervālu Ij galapunktos aj un bj nosacījumu apmierina attiecīgi vienpusīgie atvasinājumi no labās un kreisās puses.

7. Lemma (par tuvināto atrisinājumu starpību) • Pieņemsim, ka f:GRn+1Rn,fir apgabalā G nepārtraukta funkcija, kura pēc x šai apgabalā apmierina Lipšica nosacījumu ar konstanti L0. Pieņemsim, ka punkti (t0,x1), (t0,x2) ir apgabala G iekšēji punkti, • 1 ir Košī problēmas • x’=f(t,x), x(t0)=x1 • tuvinātais atrisinājums ar precizitāti 10, • 2 ir problēmas • x’=f(t,x), x(t0)=x2 • tuvinātais atrisinājums ar precizitāti 20. • Ja abi tuvinātie atrisinājumi eksistē kopīgā intervālā I, visiem tI ir spēkā novērtējums:

8. Pierādījumam pieņemsim, ka Pēc tuvinātā atrisinājuma definīcijas:

9. Apzīmējam Integrējot un izmantojot trijstūra nevienādību iegūstam: Ņūtona – Leibnica formula dod: Gronuolla lemmas variants funkcijai novērtē

10. Vēlreiz trijstūra nevienādība ļauj iegūt vajadzīgo:

11. Sekas. • Ja 1=2=0 un x1=x2, 1 un 2 ir vienas un tās pašas Košī problēmas precīzie atrisinājumi. No nevienādības iegūstam Košī problēmas atrisinājuma unitātes pierādījumu. • Ja x1=x2, 1=0, 1 ir precīzais atrisinājums, 2 tuvinātais ar precizitāti 2, varam novērtēt starpību starp tuvinātā un precīzā atrisinājuma vērtībām.

12. Pieņemsim 1=2=0. • Ja abu atrisinājumu kopīgais eksistences intervāls ir slēgts un galīgs, eksistē tāds K>0, ka Nepārtrauktā atkarība no sākuma vērtībām

13. Atrisinājuma nepārtrauktība un pat diferencējamība neizslēdz to apstākli, ka lielos t maiņas intervālos sākotnēji tuvi atrisinājumi var ievērojami atšķirties. Jēdziens par stabilitāti…

14. Dinamiskas sistēmas

15. Definīcija: par dinamisku sistēmu sauc nepārtrauktu attēlojumu saimi, kurai piemīt īpašības: M – fāzu telpa plūsma punkta kustība plūsmas iespaidā. Līkne, pa kuru notiek kustība - trajektorija Šādā nozīmē dinamiska sistēma ir diferenciālvienādojumu sistēmas atrisinājumu saime.

16. Atvasinājumu sauc par plūsmas fāzu ātrumu punktā x. Teorēma. Ja M Rn, fC1(M, Rn), x0M, tad b0: Košī problēmai x(0)=x0 intervālā -b;bR eksistē viens vienīgs atrisinājums.

17. Piemērs: Lineārās sistēmas noteiktā plūsma fāzu telpas apgabala tilpumu laikā t izmaina reizes. Pierādījums: Ostrogradska – Liuvila teorēma. Pietiek aplūkot paralēlskaldni, kurš konstruēts uz vektoriem Tā tilpums Laikā t

18. Diskrētā laika dinamiskas sistēmas kaskāde Diskrētā laika dinamiskās sistēmas trajektorija ir punktu virkne Stacionārs punkts

19. Diskrētā laika vienādojumu trajektoriju piemēri n=1 xk+1=1-0.8xk2 1. g(x) Zīmējumā redzama secīgo trajektorijas punktu konstrukcija, izejot no sākuma vērtības 0.2. Melnā līnija ir funkcijas x grafiks. y n=2 (x,y)->(-0.7*y,0.5*x) 2. Trajektorijas punkti savienoti ar taisnes nogriežņiem, tā iegūta lauztā līnija x

20. Diskrētā laika vienādojumu trajektorijas nereti demonstrē haotisku izturēšanos. 3. Pazīstat Eilera metodi? 4. (x,y)->(23.8*(x+y)*exp(-(x+y)),x) Trajektorijas punkti savienoti ar nogriežņiem.

21. Nepārtrauktā gadījumā var pieņemt I=R Reparametrizācija. Sistēmu trajektorijas sakrīt, atšķiras tikai kustības ātrumi pa trajektorijām. Pierādījumam:

22. Visi atrisinājumi vienmērīgi ierobežoti -> eksistē visiem t. Trajektoriju (atrisinājumu) tipi. Cikls, slēgta trajektorija Stacionārs punkts No atrisinājuma unitātes izriet, ka neviena trajektorija nevar ieiet stacionārā punktā galīgā laikā Šie paši atrisinājumu tipi arī diskrētā laika sistēmām,

23. Piemērs: n=1, k=2

24. Piemērs. Cik trajektorijas sistēmai redzamas zīmējumā? Kuram tipam šīs trajektorijas atbilst?

25. Stabilitāte Ļapunova nozīmē >0 >0 Asimptotiskā stabilitāte

26. Diskrētā laika sistēmām

27. Pētīšanas metodes: Pēc definīcijas (plaknes konservatīvās sistēmas) Ļapunova pirmā metode (salīdzinājums ar eksponentfunkcijām, lineārās sistēmas) Ļapunova otrā metode (nekonstruktīvi, speciālām sistēmu klasēm). Linearizācijas metode kā Ļapunova otrās metodes speciāls gadījums

28. Plaknes konservatīvās sistēmas Stacionārie punkti Trajektorijas

29. Potenciālās enerģijas funkcija Konservatīvā sistēma ir slēgta, uz tās trajektorijām saglabājas pilnā enerģija, izpildās enerģijas nezūdamības likums Sistēmas stacionārie punkti ir U ekstrēmu (vai pārliekuma) punkti. Trajektoriju vienādojums h ir pilnās enerģijas līmenis uz attiecīgās trajektorijas.

30. Trajektoriju veids U minimuma punkta apkārtnē Slēgtas trajektorijas ap stacionāro punktu. Stacionārais punkts ir stabils, bet ne asimptotiski.

31. Maksimuma punkta apkārtnē Sedlu punkta struktūra, stacionārais punkts ir nestabils Vairāki stacionārie punkti?

32. Piemērs. Matemātiskais svārsts Separatrises http://monet.physik.unibas. ch/~elmer/pendulum/bterm.htm

33. Pazīstams uzdevums: masas punkts ar masu m=1 kustas ārējā spēka F un berzes spēka iespaidā. Pirmās kārtas vienādojums

34. Pieņemsim Vienādojums Elastības spēks! Viens pats līdzsvara stāvoklis x=0, U minimuma punkts, asimptotiski stabils

35. x0=0 kļūst nestabils, divi pārējie asimptotiski stabili Bistabilitāte

36. Pieliekam vēl konstantu ārējo spēku Saglabājas viens pats stabils līdzsvara stāvoklis

38. Bistabilitāte

39. Histerēze

40. Šlogla reakcija Divas iespējamas stabilas X koncentrācijas vērtības

41. Rotējošs svārsts l x -mg

42. Potenciāla funkcija

43. Potenciāla funkcijas grafiks

44. <1 ir tikai stacionārie punkti x0=k, kZ ir U minimuma punkti un līdz ar to stabili. ir U maksimuma punkti, tāpēc nestabili stacionārie punkti 1 punkti kļūst nestabili Rodas stabili stacionārie punkti

45. Fāzu portreti

46. Ļapunova I metode Ļapunova kāpinātāji Lineārai sistēmai ar konstantiem koeficientiem kāpinātāji sakrīt ar sistēmas matricas īpašvērtību reālajām daļām. Ja visi kāpinātāji ir negatīvi, sistēmas 0 atrisinājums ir asimptotiski stabils.

47. Ļapunova II metode Ļapunova funkcija Funkcijas V atvasinājums sistēmas noteiktā vektoru lauka virzienā

48. Ļapunova teorēma par stabilitāti. Ja sistēmai eksistē Ļapunova funkcija, tad šīs sistēmas nulles atrisinājums ir stabils. Ļapunova teorēma par asimptotisko stabilitāti. Ja sistēmai eksistē Ļapunova funkcija, kuras atvasinājums, ievērojot sistēmu ir pretējas zīmes definita funkcija, tad šīs sistēmas nulles atrisinājums ir asimptotiski stabils.

49. Pierādījums I Ļapunova teorēmai Pierādījums no pretējā:

50. Pierādījums II Ļapunova teorēmai