Bungsbeispiele
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Übungsbeispiele. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Beispiel – Kletterseile – Teil 1. Eine Firma möge Kletterseile für Turnsäle herstellen, die sich durch ihre Reißlast unterscheiden.

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Übungsbeispiele

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Presentation Transcript


Bungsbeispiele

Übungsbeispiele

Wahrscheinlichkeitsrechnung


Beispiel kletterseile teil 1

Beispiel – Kletterseile – Teil 1

Eine Firma möge Kletterseile für Turnsäle herstellen, die sich durch ihre Reißlast unterscheiden.

Dabei sei in den einzelnen Sorten diese Reißlast normalverteilt mit unterschiedlichen Mittelwerten und Standardabweichungen.


Beispiel kletterseile

Beispiel - Kletterseile

Eine Schule bestellt ein Seil dessen Reißqualität in kg mit μ=3600 und σ=80 beschrieben ist.

Die Firma lagert die Seilsorten in verschiedenen Kisten, die versehentlich nicht beschriftet sind.


Beispiel kletterseile1

Beispiel - Kletterseile

Der Mitarbeiter, der die Bestellung bearbeitet, greift in eine der Kisten und zieht ein Seil mit einer Reißlast von 3690kg heraus!

Helfen Sie dem Mitarbeiter weiter!


L sung beispiel kletterseile

Lösung: Beispiel - Kletterseile

Hypothesen:

H0: Die gewählte Kiste ist die richtige Kiste. μ=3600

H1: Sie ist es nicht! μ ungleich 3600


L sung beispiel kletterseile1

Lösung: Beispiel - Kletterseile

Einseitiger Test oder zweiseitiger Test?

AW: zweiseitiger Test!

Warum?

Es liegen keine Angaben über die Richtung der Alternativhypothesen vor!


F r das beispiel ergibt sich folgender z wert

Für das Beispiel ergibt sich folgender z-Wert:

Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle:


Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung


F r das beispiel ist aber der antistreubereich gesucht

Für das Beispiel ist aber der Antistreubereich gesucht:

-1,13

1,13

Wie kann die rote Fläche berechnet werden?

= 1 – „der weißen Fläche“


Streubereich

Streubereich


Warum

Warum?


Streubereich1

Streubereich


Antistreubereich

Antistreubereich


F r das beispiel ergibt sich folgender ablehnungsbereich

Für das Beispiel ergibt sich folgender Ablehnungsbereich:

Aufgrund 0,258>0,05 behält man die Hypothese, die richtige Kiste gefunden zu haben, bei! (Irrtumswahrscheinlichkeit: 26%)


Beispiel kletterseile teil 2

Beispiel – Kletterseile – Teil 2

Die Firma möge nun nur zwei Arten von Kletterseilen für Turnsäle herstellen, die sich durch ihre Reißlast unterscheiden.

Sorte 1: μ=3600 und σ=80

Sorte 2: μ=3800 und σ=80


Beispiel kletterseile teil 21

Beispiel – Kletterseile – Teil 2

Welche Änderungen für die Rechnung ergeben sich dadurch?

Ablehnungsbereich?

nur auf der rechten Seite der Standardnormalverteilung

 Einseitiger Test!


F r das beispiel ergibt sich erneut folgender z wert

Für das Beispiel ergibt sich erneut folgender z-Wert:

Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle:


Standardnormalverteilung1

Standardnormalverteilung

1 – 0,871 = 0,129


Standardnormalverteilung2

Standardnormalverteilung

1 – 0,871 = 0,129

Ablehnungsbereich = Irrtumswahrscheinlichkeit


Es gilt

Es gilt:

Bei einem einseitigen Test ergebende Irrtumswahrscheinlichkeit ist also kleiner als bei einem zweiseitigen Test!

Bei einem einseitigen Test wird die Nullhypothese eher abgelehnt als bei einem zweiseitigen Test!


Wiederholung

Wiederholung:

Die Wahrscheinlichkeit, mit der das gefundene Ergebnis oder extremere Ergebnisse bei Gültigkeit von H0 eintreten, bezeichnet man als α-Fehlerwahrscheinlichkeit oder Irrtumswahrscheinlichkeit.


Bungsbeispiele

Ist die Richtung der H1 vorgegeben, kann man einseitig testen.

Diese Zusatzinformation erlaubt es eher signifikante Unterschiede aufzudecken.


Fehler

β-Fehler

  • H1 fälschlicherweise abzulehnen

  • Dieser Fehler lässt sich nur bei genauer Kenntnis der H1 berechnen!

  • Im vorliegenden Beispiel berechnet man bei der Kenntnis des alternativen Mittelwerts μ=3800 folgenden z-Wert:


Z wert

z-Wert:

Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle:


Zusammenfassung

Zusammenfassung:

  • H0 abzulehnen, obwohl richtig; 12,9%

  • H0 beibehalten, obwohl falsch: 8,4%

  • Erstgenanntes Risiko zu Lasten des Erzeugers; bei Ablehnung der H0 noch einmal in die Kiste greifen muss;

  • Zweitgenanntes Risiko zu Lasten des Kunden, fälschliche Beibehaltung der H0, falsche Sorte von Seil

  • Vgl. Produzenten- bzw. Konsumentenrisiko


Fehler1

β-Fehler

3600

3800

3690


Welcher zusammenhang l sst sich festhalten

Welcher Zusammenhang lässt sich festhalten?

  • Versucht man den Fehler 1. Art zu verringern, so ……

  • Umgekehrt gilt, …..


Allgemein gilt

Allgemein gilt:


Pause

PAUSE


Neues beispiel

Neues Beispiel

Zur Erkennung einer bestimmten psychischen Krankheit wurde ein normverteilter Score entwickelt, der bei den Kranken den Mittelwert 63,9 und die Standardabweichung 5,6, bei den Nichtkranken den Mittelwert 71,3 und die Standardabweichung 4,8 hat.

Wie groß sind Fehler 1. und 2. Art, wenn man einen Probanden von 65 in die Gruppe der Kranken einordnet?


L sung

Lösung:

  • Einseitiger Test!

  • Fehler 1. Art:z=(65-63,9)/5,6 = 0,20

  • Nach der z-Tabelle: 1-Φ(0,20)=1-0579 = 0421

  • Fehler 2. Art:z=(65-71,3)/4,8 = -1,31

  • Nach der z-Tabelle: Φ(-1,31)=0,095


Interpretation

Interpretation:

  • Risiko H0 abzulehnen, obwohl richtig… nicht krank, obwohl krank = 42,1%

  • Risiko hingegen H0 beizubehalten, obwohl falsch… krank einzustufen, obwohl nicht krank = 9,5%


Literatur

Literatur

  • Zöfel, Peter: Statistik für Psychologen, Pearson Studium, München 2003

  • Götz, Reichel et.al. Lehrbuch der Mathematik 8, öbv et hpt, Wien 2003


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