Revisão do conceito de matrizes

1. Revisão do conceito de matrizes Pesquisa Operacional Prof(a) Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães leila_lage@uol.com.br

2. Tema da aula 02 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes.

3. Matrizes - conceituação A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: Para saber a nota do alunoB em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

4. Matrizes - conceituação Representação matricial das notas do exemplo anterior. Tabelas com mlinhas e ncolunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela temos, portanto, uma matriz de dimensão 4 x 4. 4

5. Matrizes - conceituação Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixoe as colunas, da esquerda para direita. 5

6. Matrizes - conceituação Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz notas, a33 é o elemento da 3ª linha e da 3ª coluna (aluno C, Literatura, nota 5). 6

7. Matrizes - conceituação Representar a matriz A (2 x 3) conforme a equação aij = 2i + j. : a11 = 2 . 1 + 1           a21 = 2 . 2 + 1a11 = 3  a21 = 5a12 = 2 . 1 + 2           a22 = 2 . 2 + 2a12 = 4 a22 = 6 a13 = 2 . 1 + 3           a23 = 2 . 2 + 3a13= 5 a23 = 7 7

8. Soma de matrizes Duas matrizes podem ser adicionadas se e somente se elas forem da mesma ordem. Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente. O resultado da soma será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Simbolicamente, temos que, se C = A + B, então cij = aij + bij, para todo ie j.

9. Soma de matrizes Exemplo: Somar: A + B; C + A; B + C e A + D. A + D não pode ser efetuada pois as dimensões são diferentes. 9

10. Subtração de matrizes Duas matrizes podem ser subtraídas se e somente se elas forem da mesma ordem. Subtração de matrizes = subtrair seus elementos individualmente. O resultado da subtração será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Simbolicamente, temos que, se C = A - B, então cij = aij - bij, para todo ie j. 10

11. Subtração de matrizes Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar, multiplicando-se cada elemento da matriz por este escalar.

12. Subtração de matrizes Subtração entre duas matrizes é equivalente a somar a primeira com o produto da segunda pelo escalar -1. Então E - F = E + (-F). Por exemplo. F multiplicada por -1 12

13. Subtração de matrizes Exemplo:

14. Produto de duas matrizes O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o número de colunas da matriz à esquerda for igual ao número de linhas da matriz à direita. O produto de matrizes é, em geral, não comutativo, ou seja, dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA pode não existir e, se existir, pode não ser igual a AB. O produto de duas matrizes tem o número de linhas da matriz à esquerda e o número de colunas da matriz à direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x p, C é m x p. 14

15. Produto de duas matrizes Exemplo: 15

16. Produto de duas matrizes Exemplo: 16

17. Produto de duas matrizes Exemplo: 17

18. Produto de duas matrizes Exemplo: 18

19. Produto de duas matrizes Exemplo: 19

20. Produto de duas matrizes Exemplo: 20

21. Produto de duas matrizes Exemplo: 21

22. Produto de duas matrizes Exemplo: 22

23. Produto de duas matrizes Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B: A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Colunas de A diferente Linhas de B 23

24. Exercícios propostos Sejam as matrizes:

25. Exercícios propostos Sejam as matrizes: 25

26. Memória de aula • Conceitue uma matriz. • Quais são regras para adição e subtração de matrizes? • Como podemos subtrair duas matrizes utilizando um produto escalar? • Quais são regras para produto de matrizes? • Posso efetuar o produto da matriz A3x2e B2x5? • Posso efetuar o produto da matriz A3x3 e B2x2? Justifique sua resposta.

27. Bibliografia indicada ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2005. pg. 244 a 248 LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, 2002. versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).