INDICE

2. INDICE • Storia del piano Cartesiano • Elementi del piano Cartesiano • Le funzioni • La retta nel piano Cartesiano • La parabola

3. 1.Storia del piano Cartesiano • Euclide • Opere • Teoremi ed Assiomi • Dal piano Euclideo al piano Cartesiano • Cartesio • Opere

4. 2.Elementi del piano Cartesiano • Origine degli assi • Quadranti • Coordinate di un punto • Segmenti • Rette

5. 3.Le funzioni • Definizione di funzione • Rappresentazione di una funzione • Funzione sul piano Cartesiano • Classificazione delle funzioni • Riepilogo

6. 4.La retta nel piano Cartesiano • Definizione retta • Equazione retta (forma implicita e forma esplicita) • Rette incidenti • Rette parallele • Situazioni problematiche

7. 5.Parabola • Introduzione • Definizione • Forma tipica • Rappresentazione grafica • Parabole particolari • Studio del segno • Parabola e disequazioni di 2° grado

8. Cardellini Mattia Masetti Giovanni De Luca Lorenzo Morelli Davide IL PIANO CARTESIANO ...e la sua storia

9. Le origini del piano Cartesiano Il pianoEuclideo

10. SOMMARIO • EUCLIDE • Opere • Teoremi ed Assiomi • Dal piano Euclideo al piano Cartesiano • CARTESIO • Opere

11. Euclide Nasce ad Alessandria di Egitto intorno al 365a.C e muore intorno al 275a.C. Fu un matematico in Grecia. Una minoranza di storici dubita della sua esistenza. Dall’aneddoto “in Geometria non esistono vie regie” si intuisce il carattere riservato e rigoroso. Da lui prendono il nome la geometria e gli spazi Euclidei.

12. Opere di Euclide • Elementi di geometria (13 libri). • Legati alla matematica: Dati, Porismi, Luoghi superficiali, Coniche, Ottica e Catottrica. • I fenomeni, trattato astronomico. • Sezione del canone e Introduzione armonica, trattati di musica.

13. Assiomi e teoremi di Euclide • E' sempre possibile tracciare una retta tra due punti qualunque. • E' sempre possibile prolungare una linea retta. • E' sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qualunque. A B H K C E D

14. α µ=α=β=90° µ β • Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti. • Data una retta ed un punto esterno ad essa esiste un'unica retta parallela passante per detto punto. p r A

15. C AH:AC=AC:AB A B H • In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa. • In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti dell’ipotenusa. F DK:FK=FK:KE D K E

16. IL PIANO EUCLIDEO e i suoi elementi • Il punto • La retta • Semiretta e segmento • L’angolo r P a B V A R

17. A cosa mi servono gli elementi del piano euclideo? Un insieme di segmenti adiacenti tra loro, dei quali l’estremo superiore dell’ultimo corrisponde all’estremo inferiore del primo, formano i poligoni, che sono suddivisi in base al numero dei loro lati: • Triangoli (tre lati) • Quadrilateri (quattro lati) • Pentagoni (cinque lati) E così via…

18. Ma... Con il piano Euclideo si giunse ad una situazione di stallo: come faccio a stabilire le misure di determinati segmenti su un piano dove non ci sono punti di riferimento? Per questo Cartesio costruì un piano con determinati punti di riferimento: il Piano Cartesiano

19. CARTESIO Nasce a La Haye in Turenna nel 1596 e muore nel 1650, colpito da una grave malattia polmonare. Fu un matematico e filosofo francese Il suo vero nome è René Descartes, latinizzato in Cartesius. Insegnò filosofia e matematica a molti sovrani e principi.

20. Opere di Cartesio • Discorso sul metodo • Meditationes de prima Philosophia • Principia Philosophiae • Compendium musicae • Trattato delle passioni “Cogito, ergo sum”

21. Elementi del piano cartesiano Creato da: Bartolucci Filippo Costantini Giacomo Mattioli Giacomo Sanchini Pierpaolo

22. Il Piano Cartesiano Si può introdurre il piano cartesiano come sistema di riferimento nel piano della geometria euclidea costituito da due rette perpendicolari, su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (rette orientate) e per le quali si fissa anche una unità di misura che consente di identificare qualsiasi punto del piano mediante numeri reali.

23. Il Piano Cartesiano Tra le due rette si distingue l’asse delle ascisse o asse delle x (retta orizzontale) e l’asse delle ordinate o asse delle y (retta verticale).

24. Elementi del piano cartesiano • Origine degli assi • Quadranti • Coordinate di un punto • Segmenti • Rette

25. Origine degli assi Una retta si dice orientata o asse  quando su di essa è fissato un verso positivo. Si definisce un sistema di riferimento scegliendo un punto sulla retta detto origine O ed una unità di misura u.

26. Quadranti Quadranti Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario: 1° quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive; 2° quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva; 3° quadrante: simmetrico al 1°quadrante rispetto all'origine; 4° quadrante: simmetrico al 2° quadrante rispetto all'origine.

27. Coordinate di un punto A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y). Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata. La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P. Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.

28. Lunghezza di un segmento Per trovare la lunghezza di un segmento si utilizza la seguente formula: AB = √(xa-xb)2 + (ya-yb)2 A B

29. Punto medio di un segmento Per trovare il punto medio di un segmento si utilizza la seguente formula: A (Xa,, ya) xm = xa+xb 2 ym = ya+yb 2 B (xb, yb)

30. Rette All’interno del piano cartesiano si trovano anche rette particolari dette rette fondamentali associabili ai luoghi geometrici della geometria Euclidea (figure geometriche piane formate da punti che godono tutti di una stessa proprietà): • Asse x e parallele • Asse y e parallele • Bisettrice del I° e III° quadrante • Bisettrice del II° e IV° quadrante

31. Asse x L’asse x è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dall’asse y uguale a zero. Quindi tutti i punti sull’asse x hanno ordinata uguale a 0 (y=0).

32. Parallele all’asse x Le rette parallele all’asse x sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dall’asse x, quindi avranno tutti la stessa ordinata. I loro grafici sono :

33. Asse y L’asse y è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dall’asse x uguale a zero. Quindi tutti i punti sull’asse y hanno ascissa uguale a 0 (x=0).

34. Parallele all’asse y Le rette parallele all’asse y sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dall’asse y, quindi avranno tutti la stessa ascissa. I loro grafici sono :

35. Bisettrice del 1° e 3° quadrante: L’ equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante è y = x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinatauguali.

36. Bisettrice del 2° e 4° quadrante L’equazione della bisettrice del 2° e 4° quadrante è y = -x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata opposte tra loro.

37. LE FUNZIONI Alex Angelini, Teo Brandi, Alessia Farinelli, Gloria Nicolini

38. Argomenti trattati • Definizione di funzione • Rappresentazione di una funzione • Funzione sul piano cartesiano • Classificazione delle funzioni • Riepilogo

39. Definizione di funzione Una funzione è una relazione matematica tra due grandezze variabili X e Y, tali che ad ogni valore di X corrisponde uno ed un solo valore di Y. X Variabile indipendente Y Variabile dipendente

40. FORMA IMPLICITA F(x,y) = 0 FORMA ESPLICITA y = F(x) Rappresentazione di una funzione Per rappresentare sul piano cartesiano una funzione, questa deve essere in forma esplicita

41. Funzione sul piano cartesiano Per rappresentare graficamente una funzione si utilizza la tabella dei valori e si attribuisce un qualsiasi valore numerico alla X ottenendo il corrispondente valore della Y. In questo modo si ricavano le coordinate del punto da posizionare sul piano cartesiano. Infine si uniscono i punti da sinistra verso destra. y = F (x) y x y x1 x2 x3 y1 y2 y3  A(x1, y1) Riportiamo i valori sul grafico x  B(x2, y2)  C(x3, y3)

42. Classificazione delle funzioni Funzioni algebriche Funzioni trascendenti Una funzione trascendente è una funzione non algebrica. Una funzione si dice algebrica se il legame che esprime y in funzione di x si può ridurre ad un’equazione algebrica di grado qualsiasi nelle due incognite x e y.

43. Le funzioni algebriche Si classificano in: • Funzioni razionali intere • Funzioni razionali fratte • Funzioni irrazionali

44. Funzioni razionali intere Funzioni di primo grado Una funzione di primo grado, o lineare, viene rappresentata sul piano cartesiano da una RETTA Funzioni di grado superiore al primo Funzione di secondo grado È rappresentato da una PARABOLA Funzione di grado superiore al secondo È rappresentata da una CURVA

45. Funzioni razionali fratte La funzione si dirà funzione razionale fratta nella variabile x. Una funzione razionale fratta in una variabile è definibile in un qualsiasi insieme di numeri reali o complessi che non contenga gli zeri del denominatore.

46. Funzioni irrazionali Le funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il valore della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore della y. Una funzione irrazionale è del tipo dove g(x) è una funzione razionale definita nell’insieme dei numeri reali. Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della radice.

47. Il dominio della funzione irrazionale può essere: • se n è dispari allora il dominio della funzione appartiene all’insieme dei numeri irrazionali. • se n è pari allora il dominio D della funzione è dato dall'insieme degli elementi che soddisfano la funzione Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte.

48. Le funzioni trascendenti Si classificano in: • Funzioni goniometriche • Funzioni logaritmiche • Funzioni esponenziali

49. Riepilogo

50. La retta nel piano cartesiano Forlani Veronica Mezzanotti Edoardo Ortolani Giulia Pedini Matteo