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例析中考数学中的动态几何问题

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例析中考数学中的动态几何问题. 王盛裕. 主讲 : 浙江省宁波市惠贞书院. 纵观近几年的各国各地中考试题,涉及动态几何问题屡见不鲜,这类问题融几何、代数、三角于一体,用到的知识点有相似三角形的性质、勾股定理、圆中的有关定理、面积关系等,解题过程中蕴含着数形结合、分类讨论、函数与方程、转化思想等。. 动态几何问题的一般解题方法是:对于定点或定值问题。首先在特殊(极端)情形中求出这个不变量,然后转化为常规的论证题进行证明,对于探索数量关系的问题,要善于模仿,类比和转化,甚至创新,特别考虑运动过程中不同情形时 , 要应用分类讨论的思想方法。.

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例析中考数学中的动态几何问题

王盛裕

主讲: 浙江省宁波市惠贞书院

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纵观近几年的各国各地中考试题,涉及动态几何问题屡见不鲜,这类问题融几何、代数、三角于一体,用到的知识点有相似三角形的性质、勾股定理、圆中的有关定理、面积关系等,解题过程中蕴含着数形结合、分类讨论、函数与方程、转化思想等。纵观近几年的各国各地中考试题,涉及动态几何问题屡见不鲜,这类问题融几何、代数、三角于一体,用到的知识点有相似三角形的性质、勾股定理、圆中的有关定理、面积关系等,解题过程中蕴含着数形结合、分类讨论、函数与方程、转化思想等。

动态几何问题的一般解题方法是:对于定点或定值问题。首先在特殊(极端)情形中求出这个不变量,然后转化为常规的论证题进行证明,对于探索数量关系的问题,要善于模仿,类比和转化,甚至创新,特别考虑运动过程中不同情形时,要应用分类讨论的思想方法。

下面分类举例加以说明,供同学们复习时参考。

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一.探索点的位置

例1:如图1,A、B为两定点,O为动点,在AB所在平面上异于O的一侧取点A’和点B’,使∠OAA’=∠OBB’=90°,且BB’=OB,AA’=OA,设A’B’的中点为O’,

(1)想一想,当O在平面上移动时,A’B’的中点O’的位置将怎样变化?

(2)试证明你的结论。

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分析:试取动点O的几个特殊位置,可看出O’的位置将不随O点的移动变动,即点O按条件移动时,点O’的位置不变。分析:试取动点O的几个特殊位置,可看出O’的位置将不随O点的移动变动,即点O按条件移动时,点O’的位置不变。

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证明:如图2,过O、A’、O’、B’分别作AB的垂线,垂足依次设为C、D、E、F,显然,△AOA’≌△OCA,△BFB’≌△OBC。证明:如图2,过O、A’、O’、B’分别作AB的垂线,垂足依次设为C、D、E、F,显然,△AOA’≌△OCA,△BFB’≌△OBC。

从而AD=OC=BF,A’D=AC,B’F=BC

又梯形DFB’A’中,显然DE=EF,

∴AE=AD+DE=BF+EF=EB

则O’E=1/2(A’D+B’F)=1/2(AC+CB)=1/2AB

由此可见,无论点O移到何处,O’点必在AB的中垂线上异于O的一侧,且距线段AB为1/2AB处,即△AO’B为一等腰直角三角形,这就是说,A’B’的中点O’的位置始终保持不变。(当点O移动到AB上侧时,则点O’的位置将移动到AB的下边,且两个位置关于AB对称。)

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二.探索角的

大小

例2:已知,AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的一个动点,过点P作⊙O的切线,设切点为C,

(1)当点P在AB延长线上的位置如图3所示时,连结AC,作∠APC的平分线,交AC于点D,请你测量出∠CDP度数。

(2)当点P在AB延长线上的位置如图4和图5所示时,连结AC,请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写作法,保留痕迹)。设此角平分线交AC于D,然后在这两个图中分别测量出∠CDP度数。

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猜想:∠CDP度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对你的猜想加以证明。猜想:∠CDP度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对你的猜想加以证明。

分析与证明:测量得,三个图中的∠CDP的度数都为45°,于是猜想:∠CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化,下面进行证明:

如图6所示,连接BC, ∵ AB是直径

∴∠ACB=90°,

又∵ PC是⊙O 的切线

∴∠1=∠A,

而∠2=∠3,∠4=∠1+∠2,

∠CDP=∠A+∠3

∴∠CDP=∠4=(180°-90°)÷2=45°

评析:以动手为基础的手脑结合的研究形式是最基本的,也是最重要的科学研究形式,上述题目完全模拟了这一科学形式,都以动手作图,测度线段成角度的大小为猜想的依据,突出了几何实验能力和数学结论的形成过程的考察,实践性强,是典型的数学实验题,解答时,需认真作图测量,大胆猜想。

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三.探索线段的长短

例3:如图7,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G,

(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度;

(2)设PH=x,GP=y,求y关于x的函数解析式,并求出自变量的取值范围;

(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长。

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分析与解:

(1)当点P在AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?一下子还看不出来,但它向我们暗示信息:可以从观察不变量入手,经观察图形可知,半径OP是长度保持不变的线段。综合已知条件:G是△POH的重心,于是延长HG交OP于E,又因为△OPH是直角三角形,故有:GH=2/3HE=2/3×1/2OP=2,故线段GH是保持长度不变的线段,且GH=2。

(2)延长PG交OH于F,易知F是OH的中点,且GP=2/3PF,由勾股定理知:OH= ,所以,FH=1/2OH=1/2 ,y=GP=2/3PF=2/3

(3)△PGH是等腰三角形,要分三种情况加以分类讨论:

(Ⅰ) 当GP=PH,即 =x,解得:x=  (负的舍去)

(Ⅱ) 当GP=GH,即 =2,解得:x=0(不合题意舍去)

(Ⅲ) 当PH=GH,即x=2,  符合题意

综上:当x=2或x= 时,△PGH是等腰三角形。

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四.探索图形之间的位置关系

例4:如图8,一个以AB为直径的半圆,过AB上任一点C作CD⊥AB交⊙O于D,图形DCB的内切⊙P和CD,半圆O和直径AB分别切于E、F、G,

(1)判别A、E、F之点的位置关系,并证明你的结论;

(2)若半圆O的半径为2,C为动点,AC=x,内切⊙P的面积为S,求S关于x的函数关系式。

(3)当x为何值时,S有最大值?最大值是多少?

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分析与解:

(1)∵半⊙O与⊙P相切于F,

∴O、P、F三点共线,

连结OF、PE、FE、FA,

∵PE∥AB

∴∠EPF=∠AOF

又△EPF和△AOF都是等腰三角形

故∠PFE=∠OFA

从而,A、E、F三点共线。

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(2)连结AD、BD、BF、PG

   由射影定理得:AD2=AC·AB

   易证△ACE∽△AFB  所以AC·AB=AE·AF

   另由切割线定理知:AG2=AE·AF

   ∴AD2=AG2

即AD=AG=

易证四边形CGPE是正方形, 

∴PG=CG=AG-AC=

∴S=πPG2=π( )2

(3)显然,⊙P的半径r≤1/4AB=1,当r取最大值1时,此时, =1,

 即x=1时,S有最大值,最大值为π

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五.探索线段间的数量关系

例5:如图9,已知平行四边形ABCD形外有一直线l,过平行四边形ABCD的四个顶点分别作直线l的垂线,垂足分别是A1、B1、C1、D1,

(1)请你猜想四条垂线段A A1、BB1、CC1、DD1有什么关系,并证明你的结论。

(2)当直线l平行向上移动到使A、B、D在l’的一侧,C在直线l’的另一侧(如图10)

四条垂线段有什么关系,并证明你的结论。

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分析与解:

(1)A A1、BB1、CC1、DD1有如下结论:

A A1+CC1=BB1+DD1

  连结AC、BD交于O,过O作OO1⊥l交l于O1

  显然,A A1∥BB1∥CC1∥DD1∥OO1

  ∵ABCD是平行四边形

  ∴AO=CO,BO=DO

  ∴A1O1=C1O1,B1O1=D1O1

∴OO1同时是梯形A A1 CC1和梯形BB1DD1的中位线

∴A A1+CC1=2OO1=BB1+DD1

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(2)A A1、BB1、CC1、DD1有如下关系,A A1-CC1=BB1+DD1

如图10,分别延长A A1、BB1、CC1、DD1交直线l于A2、B2、C2、D2,

   ∵l∥l’

   ∴A1 A2=B1B2=C1 C2=D1D2

另外由(1)的结论有:A A2+CC2=BB2+DD2

   即:A A1+A1 A2+C1 C2-CC1=BB1+B1B2+DD1+ D1D2

   故A A1-CC1=BB1+DD1

拓展:请同学们思考下列问题:当l’继续向上平行移动到B、C和A、D分别在l’的两侧,此时结论又将如何?

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六.探索不同位置时的面积关系

例6:如图11,有一边长为5 cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线l上,当C、Q两点重合时,等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2,解答下列问题:

(1)当t=3秒时,求S的值;

(2)当t=5秒时,求S的值;

(3)当5秒≤t≤8秒时,求S与t的函数关系式,并求S的最大值。

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解:(1)如图12,设t秒后PQ交CD于M点,此时QC=t秒×1=t厘米,解:(1)如图12,设t秒后PQ交CD于M点,此时QC=t秒×1=t厘米,

过点P作PE⊥l,垂足为E,在等腰△PQR中,

∵PQ=PR=5cm,QR=8cm

∴QE=RE=4cm,PE=3cm

∵MC∥PE     ∴MC∶PE=QC∶QE

∴MC∶3=t∶4   ∴MC=3/4t(cm)

∴S=S△MQC=1/2QC×MC=3/8t2

当t=3秒时,S=27/8cm2

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(2)如图13,当t=5秒时,Q点正好运动了QC=BC=5cm,Q点与B点重合,设PR交CD于N,则CR=QR-QC=8-5=3(cm)(2)如图13,当t=5秒时,Q点正好运动了QC=BC=5cm,Q点与B点重合,设PR交CD于N,则CR=QR-QC=8-5=3(cm)

∵PE∥NC  ∴NC∶PE=CR∶ER   ∴NC=9/4(cm)

∴S=S△PQR-S△NCR= ×3×8- ×3×9/4 = (cm2)

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(3)如图14,当5≤t≤8时,QC=t cm,

QB=QC-BC=(t-5)cmRC=QR-QC=(8-t)cm

可求得:S△MQB=3/8(t-5)2S△CNR=3/8(8-t)2

∴S=S△PQR-S△MQB-S△NCR

=1/2×3×8-3/8(t-5)2-3/8(8-t)2

=-3/4t2+39/4t-171/8∴当t=13/2时,S最大,且S的最大值为165/16cm2

评析:本题在求解过程中用到了多种数学思想方法,一般与特殊的转化、常量与变量的转化、动态与静态的转化、数与形的转化、整体与局部的转化、几何 问题转化为代数中的函数问题等等。

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下面练习供同学们练习:

1.如图15,在⊙0中,P是直径AB上一个动点,在AB同侧作AA’⊥AB,BB’ ⊥AB,且AA’=AP,BB’=BP,连结A’B’,当点P从点A移动到点B时,A’B’的中点位置(  )

(A)在平分AB的某直线上移动

(B)在垂直AB的某直线上移动

(C)在AmB上移动

(D)保持固定不移动

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2.如图16,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是两圆的外公切线,B、C是切点,那么不论两圆的大小如何,对于∠BAC总有等量∠BAC=90°,现在⊙O1不动,使⊙O2向左或向右移动,2.如图16,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是两圆的外公切线,B、C是切点,那么不论两圆的大小如何,对于∠BAC总有等量∠BAC=90°,现在⊙O1不动,使⊙O2向左或向右移动,

(1)若使⊙O1与⊙O2外离,BC是⊙O1与⊙O2的外公切线,B、C为切点,连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N,BM、CN的延长线交于P(如图17),试判断是否存在相应的等量关系,说出你的结论,并给予证明。

(2)如图18,使⊙O1与⊙O2相交,其它条件同(1),是否仍存在相应的等量关系呢?请说出你的结论,并给予证明。

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3.如图19,等腰Rt△ABC的直角边AB=2,点P、Q分别从A、C两点同时出发,以相同速度作直线运动,已知点P沿射线AB运动,点Q沿边BC的延长线运动,PQ现直线A以C相交于点D,3.如图19,等腰Rt△ABC的直角边AB=2,点P、Q分别从A、C两点同时出发,以相同速度作直线运动,已知点P沿射线AB运动,点Q沿边BC的延长线运动,PQ现直线A以C相交于点D,

(1)设AP的长为x,△PCQ的面积为8,求出S关于x的函数关系;

(2)当AP的长为何值时,S△PCQ=S△ABC?

(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论。

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4.如图20,PF是⊙O的切线,PE=PF,A是⊙O上是点,直线AE、AP分别交⊙O于B、D,直线DE交⊙O于C,连结BC,4.如图20,PF是⊙O的切线,PE=PF,A是⊙O上是点,直线AE、AP分别交⊙O于B、D,直线DE交⊙O于C,连结BC,

(1)求证:PE∥BC;

(2)将PE绕点P顺时针旋转,使点E移到圆内,并在⊙O上另选一点A,如图21,其它条件不变,在图21中画出完整的图形,此时PE与BC是否仍然平行?证明你的结论。

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5.已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离分别为h1、h2、h3,5.已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离分别为h1、h2、h3,

△ABC的高为h,

(1)若点P在△ABC内部时(如图22),请你猜想h1、h2、h3与h的数量关系,并证明你的结论。

(2)当点P运动到如图23的区域时,其他条件同(1),此时h1、h2、h3与h的关系如何?(不必证明)

(3)当点P运动到如图24的区域时,此时h1、h2、h3与h的关系如何?(不必证明)

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6.如图25所示,菱形OABC的连长为4cm,∠AOC=60°,动点P从O出发,以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动,点P出发2秒后,动点Q从O出发,在OA上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线,设P点的运动时间为x秒,这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米,请你回答下列问题,6.如图25所示,菱形OABC的连长为4cm,∠AOC=60°,动点P从O出发,以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动,点P出发2秒后,动点Q从O出发,在OA上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线,设P点的运动时间为x秒,这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米,请你回答下列问题,

(1)当x=3时,y的值是多少?

(2)就下列各种情形,求y与x之间的函数关系式:

  ①0≤x≤2   ②2≤x≤4   ③4≤x≤6   ④6≤x≤8

(3)在给出的直角坐标系中,用图像表示②中的各种情形下y与x的关系。

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