1 / 31

Statické systémy

Statické systémy. Statické systémy. statika se zaměřuje na studium časově invariantních struktur statická a dynamická stránka reálných systémových jevů zpravidla neoddělitelná v rámci teorie systémů se statika a dynamika zkoumá odděleně. Obecný statický systém. definován pomocí relace

silas
Download Presentation

Statické systémy

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Statické systémy

  2. Statické systémy • statika se zaměřuje na studium časově invariantních struktur • statická a dynamická stránka reálných systémových jevů zpravidla neoddělitelná • v rámci teorie systémů se statika a dynamika zkoumá odděleně

  3. Obecný statický systém • definován pomocí relace X  X1 X2  X3 … Xn Xi … statické formální objekty (nejsou časové proměnné ani funkce času)

  4. Příklady statických systému • soustava m rovnic o n neznámých a11x1 + a12x2 + … a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … a2nxn = b2 … am1x1 + am2x2 + … amnxn = bm hodnoty proměnných xi jsou hodnotami statických formálních objektů Xi

  5. Příklady statických systému • modely v ekonomice, marketingu či dalších disciplínách • příklad ADBUDG model X … hodnota marketingových výdajů Y … prodej a, b, c, d … koeficienty

  6. u13 u14 u12 u11 u15 u10 u16 u5 u6 u4 u7 u3 u2 u8 u1 u9 Příklady statických systému • prutová soustava styčníky = uzlyU={u1, u2, …, u16} pruty = hrany H  U  U podmínka statické (tvarové) určitosti: p + m = 2s (p … počet prutů, m … počet vnějších reakcí, s … počet styčníků)

  7. okolí modul 1 modul 6 modul 3 modul 4 modul 5 modul 2 okolí Příklady statických systému • soustava programových bloků analyzováno je pouze propojení jednotlivých modulů a okolí pomocí vstupů a výstupů

  8. Obecné modely struktur • struktura = množina vazeb mezi prvky systému • obecné modely slouží k popisu všech modelů reálných struktur • pokud P je množina prvků, vazby jsou množina uspořádaných dvojic (pi, pj) – lze definovat pomocí binární relace • častěji se používá prostředků teorie grafů – struktura systému zadaná jako orientovaný/neorientovaný graf • systémová algebra – aparát pro řešení úloh souvisejících se strukturou systémů, založený na zobrazení systému pomocí grafů

  9. Teorie grafů – připomenutí

  10. Základní pojmy – neorientovaný graf • neorientovaný graf G = [U, H] U … neprázdná množina prvků zvaných uzly grafu H … množina hran grafu H  K, kde K je množina všech dvouprvkových podmnožin U U = {q, b, c, d, e} H = {ab, ac, bc, ce} e a d b c

  11. Základní pojmy – neorientovaný graf • konečný/nekonečný graf – podle počtu uzlů • pokud jsou x a y koncovými uzly hrany h, pak s ní incidují • počet hran, které incidují s uzlem = stupeň uzlu • izolovaný uzel = uzel se stupněm 0 • podgraf G1= [U1, H1] G2= [U2, H2] G1je podgrafem G2, když U1 U2 a H1 H2 • sled mezi uzly x0 a xn = posloupnost uzlů a hran x0, x0x1, x1, x1x2, x2 … xn-1xn, xn • tah = sled, kde se každá hrana vyskytuje pouze jednou • cesta = sled, kde každý uzel se vyskytuje pouze jednou

  12. Základní pojmy – neorientovaný graf • souvislý graf = mezi každými uzly existuje sled • pravidelný graf = všechny uzly mají stejný stupeň • úplný graf = pravidelný graf s n uzly n-1 stupně

  13. Základní pojmy – orientovaný graf • orientovaný graf G’ = [U, H] U … neprázdná množina prvků zvaných uzly grafu H … množina uspořádaných dvojic uzlů z U (u1, u2)  H … orientovaná hrana U = {a, b, c, d} H = {(c, a), (b, a), (b, c), (c, d), (d, d)} b a c d

  14. Základní pojmy – orientovaný graf orientovaný graf lze popsat i jako G’= [U, ], kde  je zobrazení přiřazující každému u  U podmnožinu (U) množiny U (její prvky jsou koncové prvky hran vystupující z uzlu u) (a) = {} (b) = {a, c} (c) = {a, d} (d) = {d} b a c d

  15. Základní pojmy – orientovaný graf • sled v grafu G’= [U, ] – posloupnost uzlů (orientované spojení) u1, u2, …, uk  U, pro které platí, že ui+1  (ui) • délka – počet hran spojení • tah – neopakují se hrany • cesta – neopakují se uzly • cyklus – cesta, kde u1 = uk • smyčka – cyklus délky 1 • silně souvislý graf – mezi každými dvěma uzly existuje orientované spojení • slabě souvislý graf – mezi každými dvěma uzly existuje spojení dosažitelné změnou orientace hran b a c d

  16. Matice sousednosti • počet řádků a sloupců = počtu prvků, každému uzlu odpovídá jeden řádek a sloupec • prvky matice = počet hran mezi příslušnými uzly • u neorientovaného grafu vždy symetrická

  17. Matice incidence • počet řádků a sloupců = počtu prvků, každému uzlu odpovídá jeden řádek a sloupec • prvky matice • orientovaný graf 1 – uzel je počátečním vrcholem hrany -1 – uzel je koncovým vrcholem hrany 0 jinak • neorientovaný graf 1 – vrchol inciduje s hranou 0 – jinak

  18. Statické systémy – pokračování

  19. Maticové zápisy • pro účely modelování se systémy popisují pomocí matic • rychle poskytují řadu informací pro analýzu • odhalují vlastnosti struktur • méně nákladné než kreslení grafů • precedenční matice systému(v teorii grafů se používají incidenční matice či matice sousednosti) • existence vazby mezi prvky se znázorní hodnotou 1 na souřadnicích těchto prvků • možnost zahrnout i okolí matice

  20. Maticové zápisy • transponovaná matice PT k precedenční matici P = matice následnosti • matice ohodnocení (algebraická matice) • 0 a 1 precedenční matice nahrazeny libovolnými čísly, jež mohou představovat parametry vazeb • lze použít i prostorové matice • prostorová matice • prvky matice nejsou tvořeny skalárními hodnotami, ale vektory

  21. Maticové zápisy (Mitášová, 1984) • matice prvků • popisuje propojení prvků • booleovská, algebraická • matice vazeb – popisuje návaznost vazeb • matice popisující vztah mezi prvky a vazbami (výstupní vazby z prvků) • matice popisující vztah mezi vazbami a prvky (vstupní vazby prvků) • příklad: • S = (P, R) • P = {x0, x1, x2, x3, x4, x5} • R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} • incidenční zobrazení φ = { 1(x0, x1); 2(x0, x2); 3(x1, x3) 4(x3, x2); 5(x2, x4); 6(x3, x4); 7(x4, x5); 8(x1, x5)}

  22. Úlohy na systémech • indexování prvků • přiřazování jedinečné číselné hodnoty každému prvku • umožňuje využití matic • pokud jsou hrany orientované a systém je acyklický, je snahou, aby indexy prvků ve všech cestách byly rostoucí

  23. Operace systémové algebry • logické umocňování precedenční matice P2 = (pij2) r … počet řádek m ... pořadová čísla řádek a sloupců U … operace logického součtu Λ … logický součin

  24. Operace systémové algebry • interpretace logického umocňování • obecně je m-tý prvek v j-tém sloupci matice Pn-1 • běžné násobení matic (algebraických) – interpretace

  25. Operace systémové algebry • operace výběru (zapisujeme (v)) výběrový vektor (popisuje složení subsystému Sj) pomocí logických operací se vybírají všechny předchůdci subsystému Sj ve vzdálenosti 1 obecně

  26. Úlohy na statických systémech • optimalizační úlohy • hledání extrémů funkce • využívá se metod matematického programování (lineární, nelineární, celočíselné, konvexní • obecně mají tvar g(x)  0

  27. Úlohy na statických systémech • úlohy o struktuře • řeší se většinou na orientovaných grafech a multigrafech • uplatnění mají zejména v analýze a syntéze • typy úloh: • identifikační • úlohy o cestách a cyklech • úlohy o společném rozhraní • ostatní úlohy

  28. Identifikační úlohy • vybírají se a třídí se některé prvky či vazby systému podle určitých vlastností či znaků: • identifikace hraničních prvků • identifikace hranic subsystémů • identifikace prvků podle počtu jejich vazeb • úlohy precedenční a sekvenční analýzy: • identifikace všech předchůdců a následovníků – využívají se algebraické metody teorie grafů nebo systémové algebry (mocniny P, selekční operace)

  29. Úlohy o cestách a cyklech • studují se cesty mezi prvky a jejich vlastnosti (délky cest, doby nutné pro realizaci cesty, kapacity cest apod.) • vyšetřování cyklů pro studium zpětných vazeb • využívají se metody teorie grafů a systémové algebry • typy úloh: • identifikace cest mezi dvěma prvky • identifikace cyklů • zjištění délky cest a doby nutné pro realizaci cesty • úlohy o tocích mezi dvěma prvky • kapacitní úlohy • hamiltonovské cesty (cesty spojující všechny uzly) • hledání minimální kostry

  30. Úlohy o rozhraní • analyzují se vlastnosti sousedních prvků, subsystémů, prvků a vazeb

  31. Ostatní úlohy • simplifikační úlohy • zjednodušení struktury • dekompozice • agregace • eliminace • a další

More Related