Математическое моделирование ледотермического режима пресных и соленых водоемов

1. Математическое моделирование ледотермического режима пресных и соленых водоемов Воеводин Анатолий Федорович Институт гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

2. Одномерная трехслойная модель описывает рост снежно-ледового покрова в водоемах с различной степенью минерализации. В результате образования пресного льда, перед фронтом кристаллизации образуется слой с высоким содержанием примеси, которая влияет на температуру фазового перехода. В математическом отношении решение проблемы сводится к интегрированию уравнения теплопроводности в трех областях с неизвестными подвижными границами («вода-лед» z = f1(t), «лед-снег» z = f2(t), «снег-атмосфера» z = f3(t)) и условиями сопряжения на этих границах, учитывая тепловой баланс и переменную температуру фазового перехода. T – температура среды (вода, лед, снег), 0С; а2 –температуропроводность, м2/с;ρwater(T, C) – плотность воды, ksnow=2.910-6 2(z)+0.043 - теплопроводность снега, Вт/м ºС (Пиотрович В.В.); ρ0 - плотность свежего снега, кг/м3; ср - удельная теплоемкость, Дж/кг ºС. (В.И.Васильев, А.М.Максимов, Е.Е.Петров, Г.Г. Цыпкин Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука. 1996; Е.Е. Мачульская, В.Н. Лыкосов, Моделирование термодинамической реакции вечной мерзлоты на сезонные и межгодовые вариации атмосферных параметров, Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2002, т. 38, 20-33 )

3. Условия сопряженияна границе фазового перехода «вода – лед»z =f1(t): обобщенные условия Стефана: условие баланса массы: условие равенства температур для пресного водоема:Twater = Tice = Т* = 0˚C; lice - толщина слоя льда, Cfas– концентрация соли на границе раздела фаз, Tfas- температура замерзания. (Гороновский И.Т. и др. Краткий справочник по химии, 1987 )

4. Граничные условия: на дне водоема z = 0: или на границе «лед-снег»z = f2(t): Tsnow = Tice; на границе«снег-атмосфера» z=f3(t)задается атмосферная температура (измерения на высоте 2м над поверхностью) или температура поверхностиснега:

5. Метод решения 1f3(t) снег 0Tsnow= Tice 1f2(t) лед  0 Twater= Tice =Тf 1f1(t) вода 0 Tаl*(t) По методу «спрямления фронта» отобразим исходную область в область с фиксированными границами, перейдя к новым независимым переменным (Будак Б.М.(1966)) 0 i 1 (i =1, 2, 3) Уравнения для определения положения подвижных границ f1 (t) = lwater = H - Kρ lice , K =ice/water; f2 (t) =f1(t) + lice= H+ (1 - Kρ)lice(t); f3 (t) = f2 (t)+ lsnow ; гдеl*(t)толщина свежевыпавшего снега, м с плотностьюρ0; Wводный эквивалент, мм; H –глубина водоема, м.

6. Основные уравнения в новых переменных: Условия сопряжения

7. Аппроксимация уравнений по неявной схеме: решение ищем в виде: методом встречной прогонки в воде: во льду условия сопряжения на фронте кристаллизации в разностном виде:

8. Из трех уравнений получаем квадратное уравнение относительно Сf Решением полученного квадратного уравнения будет один, удовлетворяющий физическим условиям корень: А.Ф.Воеводин, Т.Б. Гранкина Численное моделирование роста ледяного покрова в водоеме// Сбирский журнал индустриальной математики, 2006. Том 9, №1(25). С.47-54

9. На рисунках представлены результаты расчета динамика роста снежно-ледового покрова и данные натурных измерений. Объект - озере Яркуль Чановской системы озер. Минерализация водоема 5 г/дм3. Средняя глубина 5 метров. Сравнение с натурными измерениями. Зима 1999 – 2000 гг

10. На рисунках представлены результаты расчета динамика роста снежно-ледового покрова и данные натурных измерений. Объект - озере Яркуль Чановской системы озер. Минерализация водоема 5 г/дм3. Средняя глубина 5 метров. Сравнение с натурными измерениями. Зима 2002 – 2003 гг.

11. Динамика роста снежно-ледового покрова Новосибирское водохранилище, пгт Ордынское (метеоданные 1976-77 гг.)

12. Спасибо за внимание Гранкина Т.Б. grankina@gmail.com