La diffusion numérique avec les méthodes Eulériennes - Lagrangiennes

1. La diffusion numérique avec les méthodes Eulériennes - Lagrangiennes Anis Younes younes@imfs.u-strasbg.fr Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg • Les équations de transport de masse • Les ELLAM (Eulerian Lagrangian Localized Adjoint Method) • La diffusion numérique avec les ELLAM • Un nouveau schéma ELLAM pour éviter la diffusion numérique • Transport linéaire • Transport non linéaire • Conclusion

2. Modèle Mathématique Transport Linéaire Convection + Dispersion Transport non Linéaire Couplage Chimie – Transport : Transport avec adsorption (isotherme de Freundlich) Isotherme de Freundlich

3. Eulerian Lagrangian Localized Adjoint method (ELLAM) Résolution d’équation de transport Difficultés Les difficultés sont liées à la présence de fronts raides dus : • à une convection dominante • à certains processus chimiques non linéaires qui modifient les • fronts de concentration Les méthodes Euleriennes-Lagrangiennes : Les ELLAM • Une classe de méthodes de caractéristiques. • Conservation de la masse. • Traitement correcte des conditions aux limites. • Utilisation des fonctions test qui dépendent de l’espace et du temps.

4. Eulerian Lagrangian Localized Adjoint method (ELLAM) Les ELLAM Équation de transport Fonctions test qui dépendent de l’espace et du temps : L’écriture variationnelle Intégration par partie

5. Eulerian Lagrangian Localized Adjoint method (ELLAM) On choisit tel que l’adjoint local est nul Le long de la caractéristique

6. Eulerian Lagrangian Localized Adjoint method (ELLAM) conditions aux limites terme de dispersion terme de stockage

7. Eulerian Lagrangian Localized Adjoint method (ELLAM) + w n 1 i Intégration numérique n t Loin des Limites (équation type diffusion) Éléments finis

8. La diffusion numérique avec les ELLAM Résultats avec des grands pas de temps (ndt=3) C. I.

9. La diffusion numérique avec les ELLAM Résultats avec des petits pas de temps (ndt=100) C. I.

10. La diffusion numérique avec les ELLAM Condensation de la masse Schéma consistent Condensation de masse • utilisée pour éviter les oscillations Intégrale de masse au pas de temps (n+1) Regrouper la masse sur Ci

11. La diffusion numérique avec les ELLAM Condensation de la masse avec des petits pas de temps (ndt=100) Pourquoi une diffusion numérique importante ?

12. La diffusion numérique avec les ELLAM Schéma Consistent Equation de type diffusion Multiplication par M-1 M Matrice Diffusive M-1 Matrice anti-diffusive des oscillations non physiques

13. La diffusion numérique avec les ELLAM ELLAM + condensation de masse La masse en (n) est calculée numériquement Remplacer M par I La solution est stable Et sans diffusion numérique M est une matrice diffusive diffusion numérique avec ELLAM Cond de masse Remplacer M par I

14. La diffusion numérique avec les ELLAM Condensation de masse sélective • calculer ipour que la solution soit monotone (pas une M matrice) pour un r donné (M(c)=r) Utilisation limitée Condensation de masse sélective Russell & Binning (2004) • Définir un paramètre de condensation de masse par élément Condensation de masse

15. Le nouveau schéma ELLAM Standard_ELLAM WP CP à chaque pas de temps

16. Le nouveau schéma ELLAM 1er calcul (Local) 2ème calcul global Évaluation de la masse d’une particule Fonction test Concentration Par interpolation Il faut calculer les variations des concentrations dues à la dispersion aux nœuds Évaluation du poids d’intégration d’une particule Conservation de masse New_ELLAM Transport linéaire

17. Le nouveau schéma ELLAM Application (Transport linéaire) 1er cas D=0

18. Le nouveau schéma ELLAM 2ème cas D=0.01

19. Le nouveau schéma ELLAM Fonction test Concentration Transport non linéaire isotherme de Freundlich

20. Le nouveau schéma ELLAM Transport non linéaire Conditions initiales Paramètres

21. Conclusion • Une nouvelle approche a été développée pour éviter la diffusion numérique introduite par les ELLAM pour les petits pas de temps. • Utilisation des mêmes caractéristiques au cours du temps et interpolation sur les concentrations dues à la dispersion. • Cette approche donne des résultats précis même avec une dispersion nulle pour le transport linéaire ou non linéaire

22. Conclusion • Rotating Gaussian pulse

23. Conclusion