13 多變數函數

1. 13 多變數函數 Functions of Several Variables

2. 13.1 多變數函數導論 13.2 極限與連續 13.3 偏導數 13.4 微分 13.5 多變數函數的連鎖規則 13.6 方向導數和梯度向量 13.7 切平面和法線 13.8 兩變數函數的極值 13.9 兩變數函數極值的應用 13.10 拉格朗日乘子法

3. P.589 Ch13 多變數函數 13.8 兩變數函數的極值(Extrema of functions of two variables) 絕對和相對極值(Absolute extrema and relative extrema) 假設 f 是定義在一個有界的閉區域 R 上的兩變數連續 函數，如果在點 (a, b) 和 (c, d) 的函數值 f (a, b) 和 f (c, d) 對 R 中所有的點 (x, y) 恆有 f (a, b) ≤ f (x, y) ≤ f (c, d) 則稱 f (a, b) 和 f (c, d) 分別是 f 在區域 R 上的極小（最 小）值和極大（最大）值，如圖13.63 所示。

4. P.589 Ch13 多變數函數 圖13.63R中既有f (x, y) 取極大值的點，也有f (x, y) 取極小值的點。

5. P.590 Ch13 多變數函數 定理13.15極值定理(Extreme value theorem) 一個極小值也稱為絕對極小值，一個極大值也稱為絕對 極大值。正如單變數的情形，我們要區分絕對和相對極 值。

6. P.590 Ch13 多變數函數 相對極值的定義(Definition of relative extrema) f 是定義在包含 (x0, y0) 的一個區域 R 上的函數。 1.如果在一個含 (x0, y0) 的開圓盤上，對所有的點 (x, y)恆有 f (x, y) ≥ f (x0, y0) 則稱 f 在 (x0, y0) 有相對極小值。 2.如果在一個含 (x0, y0) 的開圓盤上，對所有的點 (x, y)恆有 f (x, y) ≤ f (x0, y0) 則稱 f 在 (x0, y0) 有相對極大值。

7. P.590 Ch13 多變數函數 圖13.64相對極值。

8. P.590 Ch13 多變數函數 臨界點的定義(Definition of critical point) f 定義在一個含 (x0, y0) 的開區域上，如果下式之一成 立，就稱點 (x0, y0) 是 f 的一個臨界點。 1.fx(x0, y0) = 0 和 fy(x0, y0) = 0 同時成立。 2.fx(x0, y0) 或 fy(x0, y0) 不存在。 定理13.13 曾說如果 f 可微並且 則在 (x0, y0) 的每一個方向導數都一定是 0。此時，如 圖13.65 所示，函數圖形在點 (x0, y0) 的切平面必然是水 平的，看來很可能在此點有相對極值，定理13.16 說明 相對極值發生的必要條件。

9. P.591 Ch13 多變數函數 圖13.65

10. P.591 Ch13 多變數函數 定理13.16相對極值一定發生在臨界點(Relative extrema occur only at critical point)

11. P.591 Ch13 多變數函數 例 1求相對極值 求函數 f (x, y) = 2x2 + y2 + 8x – 6y + 20 的相對極值。 解　先求 f 的臨界點，因為 fx(x, y) = 4x + 8 和 fy(x, y) = 2y – 6，對所有的 x, y 都有定義，所以臨界點就是兩個 偏導數同時為 0 的點，令 fx(x, y) 和 fy(x, y) 等於 0，解方 程式 4x + 8 = 0 和 2y – 6 = 0 得到臨界點 (–2, 3)，將 f (x, y) 配方後得到 f (x, y) = 2(x + 2)2 + (y – 3)2 + 3 > 3 當 (x, y)≠(–2, 3) 時，f (x, y) > 3，而 f (–2, 3) = 3，所以 f 在 (–2, 3) 有相對極小（此例也同時是絕對極小）如圖 13.66 所示。

12. P.591 Ch13 多變數函數 圖13.66函數z = f (x, y) 在(–2, 3) 有相對極小。

13. P.592 Ch13 多變數函數 例 2求相對極值 求函數 f (x, y) = 1 – (x2 + y2)1/3的相對極值。 解　因為 除了 (0, 0) 之外，兩個偏導數處處存在。又因除了 x = 0 = y 之外，兩個偏導數不可能同時為 0，所以 (0, 0) 是唯 一的臨界點。從圖13.67 來看，注意到 f (0, 0) = 1，而在 其他的 (x, y) 顯然 f (x, y) = 1 – (x2 + y2)1/3 < 1 因此，f 在 (0, 0) 有相對極大（此例也是絕對極大）。

14. P.592 Ch13 多變數函數 圖13.67fx(x, y) 和fy (x, y)在(0, 0) 無定義。

15. P.592 Ch13 多變數函數 鞍點(Saddle points) 正如單變數的情形，兩變數函數的臨界點不必然是相 對極大或相對極小，某些臨界點可能是鞍點，既非相對 極大，亦非相對極小。 曲面 f (x, y) = y2 – x2，它有一個非相對極值的臨界點 （如圖13.68 所示）。 在點 (0, 0) 兩個偏導數都等於 0，但是因為函數 f 在以 此點為心的任意開圓盤上，有時為正（沿著 y 軸）、有 時為負（沿著 x 軸），所以 (0, 0) 不是 f 的相對極值。 我們稱圖形上的點 (0, 0, 0) 為鞍點。

16. P.592 Ch13 多變數函數 圖13.68在(0, 0, 0) 是鞍點fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0。

17. P.593 Ch13 多變數函數 定理13.17二階偏導數檢定(The second partials test)

18. P.593 Ch13 多變數函數 例 3應用二階偏導數檢定 求 f (x, y) = –x3 + 4xy – 2y2 + 1 的相對極值。 解　先求 f 的臨界點，因為 fx(x, y) = –3x2 + 4y和 fy(x, y) = 4x – 4y 對所有 x 和 y 都存在，所以臨界點就是兩個偏導數同時 為 0 的點，令 fx(x, y) 和 fy(x, y) 同時為 0 得到方程式 –3x2 + 4y = 0 和 4x – 4y = 0。從第二個方程式解出 x =y ，代回第一個方程式得到兩組解 y =x = 0 和 ， 又因為 fxx(x, y) = –6x, fyy(x, y) = –4 和 fxy(x, y) = 4

19. P.593 Ch13 多變數函數 例 3（續） 對臨界點 (0, 0) 求 d 得到 由二階偏導數檢定得知 (0, 0, 1) 是 f 的一個鞍點，再看 臨界點　　 計算 d 得到 因為 ，可推得 f 在 　　有相對極大，如 圖13.69 所示。

20. P.593 Ch13 多變數函數 圖13.69

21. P.594 Ch13 多變數函數 例 4二階偏導數檢定失效(Failure of the second partials test) 求 f (x, y) = x2y2的相對極值。 解　因 fx(x, y) = 2xy2，fy(x, y) = 2x2y，若 x = 0 或 y=0， 兩個偏導數就會同時為 0。也就是說，x 軸和 y 軸上的 點都是臨界點。又因為 fxx(x, y) = 2y2fyy(x, y) = 2x2 和 fxy(x, y) = 4xy 因此，只要 x = 0 或是 y = 0 就有 此時二階偏導數檢定失效。但在 x 軸或 y 軸上的每一點 f (x, y)都等於 0，而在其他的點，f (x, y) = x2y2都大於 0 ，因此所有的臨界點都是絕對極小，如圖13.70 所示。

22. P.594 Ch13 多變數函數 圖13.70

23. P.594 Ch13 多變數函數 例 5求絕對極值 求函數 f (x, y) = sin xy在閉區域 0 ≤x ≤π，0 ≤ y ≤ 1 上 的絕對極值。 解　從一階偏導數 fx (x, y) = y cos xy和 fy (x, y) = x cos xy 可以看出在雙曲線 xy =π/2 上所有的點都是臨界點， 在這些點的函數值是 因此當然是絕對極大，如圖13.71 所示。剩下未計的臨 界點只有 (0, 0)，它會是一個絕對極小，因為在閉區域 0 ≤ x ≤π，0 ≤ y ≤ 1 上有 0 ≤ xy ≤π

24. P.595 Ch13 多變數函數 例 5（續） 可以推得 0 ≤ sin xy ≤ 1 至於其他可能的絕對極值，考慮閉區域的四個邊，它們 由直線 x = 0，x =π，y = 0 和 y = 1 的部分構成，所以 函數 sin xy 會在 x 軸，y 軸，和點 (π, 1) 上取 0，這些 點都是曲面 z = sin xy 的絕對最小，如圖13.71 所示。

25. P.595 Ch13 多變數函數 圖13.71