RAÍCES

1. RAÍCES

2. Temario ¿Qué es una Raíz? La Definición de Raíz como Potencia Raíz Cuadrada Raíz Cúbica El Indice Igual al Exponente Multiplicación de Raíces de Igual Indice División de Raíces de Igual Indice Raíz de una Raíz. Descomponer una Raíz Racionalización

3. ¿Qué es una Raíz? Una Raíz es una expresión que consta de un INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL. ¿Indice, raíz, cantidad subradical? Símbolo de Raíz Cantidad Subradical Indice 4 4 2 8 (-5,3) 2

4. Elementos de una Raíz Exponente del Subradical INDICE n a m Símbolo de Raíz SUBRADICAL

5. ¿Qué significa la Raíz? Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción. = Potencia Raíz 3 3 _ 5 _ 4 4 2 2 = 5 5 4 2 2 2 = 2 (-0,6) (-0,6) 3 _ 2 3 3 Ojo: El Indice 2 no se escribe. = (-5,3) (-5,3) (-5,3) 7 7 _ _ 6 6 7 7 = = 6 6

6. Transforma las siguientes raíces a Potencia Transforma las siguientes Potencia a Raíces

7. En General b _ a a = b b a n n n a ≥ 2 Importante: b b = a = 1 a 0 0 1 • Lectura de una Raíz. • Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej. • Indice 3, Raíz Cúbica. Ej. • Indice 4, Raíz Cuarta. Ej.

8. Raíz Cuadrada ya que ya que ya que ya que Pero es solo una aproximación decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representar a es como . Esto sucede con muchas raíces cuadradas que no entregan un resultado exacto

9. Raíz Cúbica ya que ya que ya que ya que Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representar a es como . Esto sucede con muchas raíces Cúbicas que no entregan un resultado exacto.

10. 1 - Propiedad: El Indice Igual al Exponente. 3 _ 7 7 = 3 3 7 2 2 Sabiendo que: 2 ¿Cuál será el resultado de? 5 _ 5 5 1 5 5 5 = = 2 2 2 = 2 2 2 a _ a a = a = a n n n n En General:

11. 2 - Propiedad: Multiplicación de Raíces de Igual Indice. 3 _ 7 7 = 3 3 7 2 2 Sabiendo que: 2 ¿Cuál será el resultado de? 9 • 7 7 9 5 2 = 2 • 5 7 9 _ _ 1 _ 1 1 _ _ 7 9 7 9 2 2 2 ( ( • ) 2 ) ) 2 ( 2 5 2 5 • 5 = 2 = • y = a x a a y a x n n m n m • En General: •

12. 2 - Propiedad: Multiplicación de Raíces de Igual Indice. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: f) a) b) g) c) h) i) d) j) e)

13. 3 - Propiedad: División de Raíces de Igual Indice. 3 _ 7 7 = 3 3 7 2 2 Sabiendo que: 2 ¿Cuál será el resultado de? 5 ÷ 7 7 7 5 5 = 7 5 ÷ 5 7 _ _ 1 _ 1 1 _ _ 7 5 7 5 2 2 2 5 ( (7 ) 2 ) ) 2 ÷ ( 7 5 ÷ ÷ 5 7 = = y = x a a y a x n n m n m En General: ÷ ÷

14. 3 - Propiedad: División de Raíces de Igual Indice. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: a) e) b) f) c) d)

15. 4 - Propiedad: Raíz de una Raíz. 3 _ 2 6 ( ) 3 3 7 7 3 = 3 3 7 2 2 Sabiendo que: 2 y = ¿Cuál será el resultado de? 5 5 4 = = 3 6 7 7 5 5 7 7 5 5 1 1 _ _ _ _ 5 5 1 5 5 _ _ _ _ 1 _ _ • • ( ( ) ) 2 3 2 2 7 2 7 4 3 6 2 7 7 2 7 7 = = = = n b = a n b•a m m En General:

16. 4 - Propiedad: Raíz de una Raíz. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: d) a) e) b) c) f)

17. Descomponer una Raíz Sabiendo que: Resolver lo siguiente Son términos semejantes

18. Descomponer una Raíz Otro ejemplo Son términos semejantes

19. Racionalización Racionalizar es amplificar una fracción donde el denominador presenta una Raíz, con el fin de que ésta no aparezca. Ejemplos: ¿Qué es lo que hay que saber? Amplificar: Propiedad de Raíces: Multiplicar Raíces Raíz como Potencia Potencias

20. Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma 1) 2) 3) 4) En General

21. Racionaliza las siguientes Expresiones i) v) vi) ii) vii) iii) viii) iv)

22. Racionalizar Raíces Cuadradas de la Forma 1) 2) 3) 4) En General

23. Racionaliza las siguientes Expresiones i) v) vi) ii) vii) iii) viii) iv)

24. Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas e Indice Par Como, por ejemplo, ya que y así para todas las Raíces Cuadradas de Números Positivos entonces NO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZCUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS En General, Esta condición es propia de todas las Raíces de INDICE PAR. Es decir: No Existe No Existe No Existe No Existe No Existe

25. Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e Indice Impar Las Raíces que tienen INDICE IMPAR NO tienen restricción Es decir: ya que ya que ya que ya que

26. Ecuaciones con Irracionales. Una Ecuación Irracional es determinar el valor de la incógnita que se encuentra bajo raíces. Ejemplo de Ecuaciones Irracionales: • Para resolverlas hay que seguir dos pasos muy sencillos: • Si hay más de una raíz, se debe aislar en uno de los lados de la ecuación. • Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.

27. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales: Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada en uno de los dos lados de la ecuación. Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos lados de la igualdad a 2. El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y el exponente se simplifiquen. Se resuelve como una ecuación de primer grado con una incógnita. OJO. En estricto rigor la solución de la ecuación debe estar en el siguiente conjunto:

28. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales: Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos lados de la ecuación. Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos lados de la igualdad a 2. El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y el exponente se simplifiquen y en el otro lado de la igualdad tengamos que realizar el cuadrado de un binomio. Debemos volver al paso i), raíz aislada y elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad. Aquí en adelante la Ecuación Irracional se transforma en una Ecuación de Primer Grado con una Incógnita

29. Curiosidades 2) Algoritmo para determinar una raíz. 1)

30. Links http://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htm http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.php http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327