Advertisement
1 / 32

Graficzna interpretacja i zastosowanie równania Bernoulli,ego PowerPoint PPT Presentation


  • 52 Views
  • Uploaded on 01-10-2013
  • Presentation posted in: General

Graficzna interpretacja i zastosowanie równania Bernoulli,ego. Józef Wojnarowski. Daniel Bernoulli. Daniel Bernoulli (ur. 9 lutego 1700 r. – zm. 17 marca 1782 r.) - szwajcarski matematyk i fizyk. - PowerPoint PPT Presentation

Download Presentation

Graficzna interpretacja i zastosowanie równania Bernoulli,ego

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

Graficzna interpretacja i zastosowanie równania Bernoulli,ego

Józef Wojnarowski


Daniel bernoulli

Daniel Bernoulli

  • Daniel Bernoulli (ur. 9 lutego 1700 r. – zm. 17 marca 1782 r.) - szwajcarski matematyk i fizyk.

  • Był profesorem uniwersytetów w Bazylei i Petersburgu. Twórca podwalin mechaniki statystycznej (kinetyczna teoria gazów). Obszarem jego zainteresowań były także medycyna i fizjologia. Jako matematyk zajmował się rachunkiem prawdopodobieństwa, równaniami różniczkowymi i metodami przybliżonymi rozwiązywania równań. Zdefiniował liczbę e. Jako fizyk rozwiązał problem struny drgającej i podał równanie ruchu stacjonarnego cieczy idealnej zwane równaniem Bernoulliego.

  • Pochodził ze znanej rodziny matematyków Bernoullich. Jego ojcem był Johann Bernoulli a wujem Jakob Bernoulli.


R wnanie bernoulliego

Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego opisuje parametry płynu doskonałego płynącego w rurze (niekoniecznie materialnie istniejącej) o zmiennym przekroju. Wynika ono wprost z faktu zachowania objętości cieczy doskonałej (która jest nieściśliwa) i zasady zachowania energii mechanicznej.

Szczególna postać równania

Założenia:

·ciecz jest nieściśliwa

· ciecz nie jest lepka

· przepływ stacjonarny i bezwirowy


Szczeg lna posta r wnania bernoulliego

Szczególna postać równania Bernoulliego

gdzie:

  • ·  ρ -gęstość cieczy

  • ·  v - prędkość cieczy w rozpatrywanym miescu

  • ·  h - wysokość w układzie odniesienia w którym liczymy energię potencjalną

  • ·g - przyspieszenie grawitacyjne

  • ·  p - ciśnienie cieczy w rozpatrywanym miejscu


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

  • Poszczególne człony to: energia kinetyczna, energia potencjalna przyciągania ziemskiego, energia ciśnienia.

  • Energia jest stała tylko wówczas, kiedy element porusza się wzdłuż linii prądu. Istnienie lepkości lub przepływu wirowego rozprasza energię, ściśliwość zmienia zależność prędkości przepływu od ciśnienia. Niestacjonarność przepływu wiąże się z dodatkowym ciśnieniem rozpędzającym lub hamującym ciecz.


Og lna posta r wnania bernoulliego

Ogólna postać równaniaBernoulliego

Równanie Bernoulliego może z pewną dokładnością stosowane też dla cieczy ściśliwych. Opracowano także wersję równania dla płynów uwzględniającą zmianę energii wewnętrznej płynu w wyniku różnych czynników. Równanie to ma postać:

Gdzie:

Φ - energia potencjalna jednostki masy, której w warunkach ziemskich odpowiada Φ = gh

w - energia ciśnienia (ε - energia wewnętrzna płynu).


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

Uwzględniając właściwości gazów można przekształcić to równanie tak, by było spełnione też dla gazów. Choć pierwotne równanie Bernoulliego nie jest spełnione dla gazów, to ogólne wnioski płynące z niego mogą być stosowane też dla gazów.


Praktyczne wykorzystanie r wnania bernulliego

Praktyczne wykorzystanie równania Bernulliego


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

Z równania Bernuliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku zachodzi prawidłowość:

Jeżeli zaniedbać zmianę wysokości odcinków rury to wzór upraszcza się do:

W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej (v1 > v2), w związku z tym panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w rurze o większym przekroju.

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku gdzie przekrój jest mniejszy.

Podana wyżej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie to i obecnie kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoks hydrodynamiczny.


Zastosowanie r wnania bernoulliego

Zastosowanie równania Bernoulliego

Z równania Bernoulliego wynika wiele na co dzień obserwowanych zjawisk, zależności, a także zasad działania licznych urządzeń technicznych:

  • ·        paradoks hydrodynamiczny

  • · zjawisko zrywania dachów gdy wieje silny wiatr

  • ·        zasada działania sondy Pitota

  • ·        zasada działania sondy Prandla

  • ·        zasada działania sondy Venturiego

  • ·  pośrednio zasady powstawania siły nośnej w skrzydle samolotu


Graficzna interpretacja r wnania bernoulliego

Graficzna interpretacja równania Bernoulliego

Najczęściej równanie Bernoulliego jest przedstawiane w postaci:

Ponieważ każdy ze składników tego równania ma wymiar długości, noszą one odpowiednio nazwę wysokości prędkości, wysokości ciśnienia i wysokości położenia. Sumę wspomnianych wysokości nazywamy wysokością rozporządzalną.


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

Na rysunku przedstawiono wykres obrazujący zmianę każdej wysokości w strudze o zmiennym przekroju. Wykres ten składa się z trzech linii:*oś strugi leżąca na wysokości z ponad poziomem odniesienia,*linia ciśnień leżąca o p/g ponad osią strugi,*linia energii leżąca o v2/2g ponad linią ciśnień.


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

Równanie Bernoulliego odniesione do dwu przekrojów poprzecznych jednej i tej samej strugi ma postać:

stosowaną najczęściej do rozwiązywania konkretnych zadań.

Równanie Bernoulliego jest szczególnym przypadkiem zasady zachowania energii w przepływie płynu nielepkiego. Mimo wyraźnej rozbieżności tego twierdzenia z doświadczeniem, stwierdzającym powstawanie strat energetycznych podczas przepływów płynów rzeczywistych, w zagadnieniach praktycznych, gdy odległość między przekrojami strugi jest niewielka i nie ma znacznego rozpraszania energii na drodze przepływu, pojawiające się rozbieżności między wynikami teoretycznymi i doświadczalnymi korygujemy, wprowadzając odpowiednie współczynniki.

Wiele tych zagadnień wymaga równoczesnego zastosowania równania Bernoulliego i równania ciągłości, które w odniesieniu do jednowymiarowych ustalonych przepływów płynów ma następujące postacie:

·  w przypadku płynu ściśliwego VA=const.

·  w przypadku płynu nieściśliwego VA=const.


Zastosowanie r wnania bernoulliego w zagadnieniach pomiaru pr dko ci i strumienia obj to ci

Zastosowanie równania Bernoulliego w zagadnieniach pomiaru prędkości i strumienia objętości.


Pomiar pr dko ci miejscowej

Pomiar prędkości miejscowej

W obszarze przepływu mogą znajdować się punkty, w których prędkość przepływu v= 0, nazywane punktami spiętrzenia (stagnacji), gdzie ciśnienie statyczne przybiera wartości ciśnienia całkowitego, zwanego ciśnieniem spiętrzenia. Jeżeli płyn poruszający się ruchem jednostajnym z prędkością v pod ciśnieniem p napotyka na przeszkodę w postaci ciała zanurzonego, to przed przeszkodą następuje spiętrzenie w punkcie S oraz opływ rozdzielonych strug dookoła tej przeszkody.


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

Równanie Bernoulliego dla poziomej linii prądu przechodzącej przez ten punkt ma postać:

Sumę ciśnienia statycznego p i ciśnienia dynamicznego nazywamy ciśnieniem całkowitym. Wynika stąd, że ciśnienie spiętrzenia jest równe ciśnieniu całkowitemu w przepływie niezakłóconym. Wyznaczenie prędkości miejscowej (lokalnej) można zatem sprowadzić do zagadnienia pomiaru ciśnienia spiętrzenia oraz ciśnienia statycznego w obszarze przepływu niezakłóconego lub różnicy tych ciśnień, ponieważ z powyższego wzoru wynika:


Pomiar pr dko ci redniej i strumienia obj to ci metod pr dko ciomierzow

Pomiar prędkości średniej i strumienia objętości metodą prędkościomierzową

W przepływach przez prosto osiowe rury o kołowym przekroju (opromieniu R) strumień objętości

gdzie: v (r) – miejscowa prędkość przepływu prostopadła do elementu dA = 2. r dr przekroju poprzecznego przewodu w odległości r od osi.


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

W prostoosiowym kanale prostokątnym o polu powierzchni A strumieńobjętości

gdzie: v – prędkość miejscowa w polu elementarnym dA = 2.dr przekroju hydrometrycznego

A ( prostopadła do dA).

Prędkość średnia w tych przekrojach jest ilorazem strumienia objętości i pola przekroju poprzecznego


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

W praktyce bryłę prędkości wyznaczamy następująco: dzielimy przekrój

hydrometryczny na równe pola cząstkowe, mierzymy za pomocą prędkościomierzy (np.

rurek piętrzących) miejscowe prędkości przepływu w odpowiednich miejscach tych pól

v = v (x, y), a następnie wyznaczamy metodą rachunkową lub wykreślną prędkość średnią i

strumień przepływu.


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

Na rysunku pokazano schemat pomiaru rozkładu prędkości w przewodzie o przekroju prostokątnym (np. wentylacyjnym) za pomocą rurki Prandtla.


Pomiar strumienia obj to ci metod zw kow

Pomiar strumienia objętości metodą zwężkową

Dla ustalonego ruchu płynu w poziomej rurze, w której pewien odcinek zastąpiono przewężeniem – zwężką, równanie Bernoulliego dla przekrojów 1. i 2. ma postać

Z równania ciągłości wiadomo, że Stosunek średnicy otworu

( gardzieli) zwężki (d) do średnicy wewnętrznej rurociągu (D) nazywamy przewężeniem:

ß = d/D.


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

Po rozwiązaniu układu równań względem v2, otrzymamy:

a zatem:

miarą średniej prędkości przepływu przez zwężkę jest spadek ciśnienia (p = p1 – p2) między jej przekrojami mierniczymi, zwany ciśnieniem różnicowym.


Wyp yw ustalony przez ma y otw r

Wypływ ustalony przez mały otwór

Rozpatrzmy przepływ cieczy przez mały otwór, znajdujący się w pionowej ścianie oddzielającej dwa zbiorniki wypełnione cieczami o gęstościach i oraz j przy wysokościach cieczy hi oraz hj. Nad cieczami znajdują się gazy o ciśnieniach odpowiednio pi oraz pj.

Zakładamy, że przepływ jest ustalony, tzn. wysokości hi oraz hj i ciśnienia pi oraz pj – podczas przepływu nie ulegają zmianie.


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

Po przyjęciu poziomu odniesienia w osi otworu, równanieBernoulliego ma postać


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

W przypadku otworu małego (A0 >> A1)  (A1/A0)  0  v0  0, prędkość wypływu (przepływu) ze zbiornika (i) określa zależność:

Jeżeli wprowadzimy oznaczenia gdzie Hi oraz Hj nazywamy wysokościami rozporządzalnymi, wzór przyjmie postać:

a zatem prędkość przepływu (wypływu) cieczy nielepkiej zależy od różnicy wysokości rozporządzalnych w obu zbiornikach.


Szczeg lne przypadki wyp yw w

Szczególne przypadki wypływów:

v=2gh - zależność ta jest zwana wzorem Torricellego


Wyp yw ustalony przez du y otw r

Wypływ ustalony przez duży otwór

Jeżeli wymiary otworu (wymiar pionowy) są wielkościamitego samego rzędu co głębokość zanurzenia jego środka, to prędkości wypływu strug na różnych głębokościach są rozmaite. Niech A oznacza pole otworu (o dowolnym konturze) znajdującego się w płaskiej ścianie nachylonej do poziomu pod kątem .


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

Prędkość wypływu przez powierzchnię elementarną dA na głębokości z wynosi:

zaś pole powierzchni elementarnej dA = b(z) dy = b(z) , a zatem elementarny strumień objętości:

Całkowity rzeczywisty strumień objętości:


Graficzna interpretacja i zastosowanie r wnania bernoulli ego

W otworze prostokątnym umieszczonym w ścianie pionowej:

a zatem strumień objętości wypływającej cieczy zależy od wysokości jej spiętrzenia nad dolną krawędzią otworu. Gdy powierzchnia swobodna cieczy znajduje się poniżej górnej krawędzi otworu, otwór staje się przelewem. Przelewy są stosowane jako przyrządy do pomiaru strumienia objętości wody w przewodach otwartych.


Przelew mierniczy prostok tny ze zw eniem bocznym

Przelew mierniczy prostokątny ze zwężeniem bocznym

Przelew mierniczy prostokątny ze zwężeniem bocznym

Dla każdego przelewu może być sporządzona krzywa określająca zależność strumienia objętości od wysokości spiętrzenia qV = f (h), zwana charakterystyką przepływu.