10.Private Strategies in Games with Imperfect Public Monitoring

1. 10.Private Strategies in Games with Imperfect Public Monitoring 北木　真

2. アウトライン • Sequential Equilibrium • A Reduced-Form Example • Two-Period Examples • An Infinitely Repeated Prisoners’ Dilemma

3. 公的戦略と私的戦略 • 行動：E（Effort），S（Shirk） • {y,y}：公的シグナル • Public strategies：σ，σ • 公的シグナルによってのみ定まる • Private strategies：σ • シグナルyに続く2期の行動は，1期の行動に依存 - - ～ ＾ -

4. Sequential Equilibrium • 定義 • 任意の行動aに対するシグナルyの観測確率ρ（y|a）は正であると仮定 • 任意の自分の履歴　　に対して，　　　が に対して最適反応 ⇒戦略プロファイルσはsequential equilibrium （但し，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）

5. アウトライン • Sequential Equilibrium • A Reduced-Form Example • Two-Period Examples • An Infinitely Repeated Prisoners’ Dilemma

6. A Reduced-Form Example • 1期目は左，2期目は右のゲームを行う • シグナルyの観測確率ρ • a：行動，y,y：シグナル • p=9/10，q=4/5，r=1/5と仮定 • 2回のゲームにおける利得：(1-δ)u1+δu2 • δ=25/27と仮定 - - -

7. 各戦略の期待利得 • Pure Strategies • 1期はEE，2期ではyのときはRR，それ以外はPP • 左辺の式より期待利得は1.4815 • Public Correlation • 1期はE，次はyの観測後はR，yの観測後は確率ΦでRを選択 • Φ=0.5かつ期待利得は1.5556 - - -

8. 各戦略の期待利得 • Mixed Public Strategies • 1期は確率αでE，2期はyの観測後はR，yの観測後は確率ΦでRを選択 • 　　　　　　　　　　　より，期待利得は1.5566（α＝0.969， Φ=0.567） - -

9. 各戦略の期待利得 • Private Strategies • 1期は確率αでEを選択 • 2期は1期でSが選ばれ，yを観測した後は確率ξでRを選択，それ以外の場合は必ずRを選択 • 　　　　　　　より，期待利得は1.5864（α＝0.916，ξ＝0） -

10. アウトライン • Sequential Equilibrium • A Reduced-Form Example • Two-Period Examples • An Infinitely Repeated Prisoners’ Dilemma

11. Two-Period Examples • ただ一つのナッシュ均衡を持つゲーム • 右のナッシュ均衡 • プレイヤ１：r1かr2を等確率 • プレイヤ２：c1かc2を等確率 • 公的シグナルY={y,y}のうち， yが観測される確率ρ(y|r c ): - - - - j i

12. PPEと重複しない均衡 • 1期の各プレイヤーの行動： • 2期のプレイヤ１の行動： • 2期のプレイヤ２の行動：

13. PPEと重複しない均衡 • 何故，1期でプレイヤ１はr3を選択？ • r2を選択すると，2期でプレイヤ２は確率0.1でc1，0.9でc2を選択 • プレイヤ１の期待利得は，r3の選択より減少 • 均衡戦略がpublic • 1期の行動は2期の行動に影響を与えないため，最適反応から外れた戦略を取る誘因が発生しない⇒PPE • 一方，プレイヤ２のprivate strategyは2期のゲームにおいてcorrelated equilibriumを構成 • 2期においてナッシュ均衡を構成する必要はない

14. Correlationによる利得 • 右のゲームにおける均衡 • Nash：(1,1) • Correlation：(3/2,3/2) • 各シグナルy1,y2,y3の観測確率：

15. Correlationによる利得 • 1期は3つの行動を等確率で1つ選択 • 各プレイヤの2期の行動： • r4=r1，c4=c1，r0=r3，c0=c3とする • 2期の戦略はcorrelated equilibirumを構成

16. 複数のナッシュ均衡があるゲーム • プレイヤ１は縦，２は横，３は左か右の表から行動を選択 • プレイヤ３にとってRはLを支配 • ナッシュ均衡 • LRRかRLRを選択：利得（1,1,12） • プレイヤー１と２が1/3でLを選択：利得（1/3,1/3,74/9)

17. さらに大きな利得を得る • シグナルY={y0,y1,y2,y3}を考える • l：1期でLを選択したプレイヤの人数 • ylの観測確率は1-3ε（ym（m≠l）の観測確率はε） • 各プレイヤの1期の行動： • 1期では比較的LLLが選択される

18. さらに大きな利得を得る • 各プレイヤの2期の行動 • εが十分に小さければ，2期はほぼナッシュ均衡となる

19. さらに大きな利得を得る • プレイヤ１と２の 2期の期待利得： • プレイヤ３の2期の期待利得 • 1期でLを選択：高確率でy3が観測され，利得は12 • Rを選択：高確率でy2が観測され，利得は0 • ε→0のとき，利得は(6,6,26.22）に近づく • ナッシュ均衡による利得より大きい

20. アウトライン • Sequential Equilibrium • A Reduced-Form Example • Two-Period Examples • An Infinitely Repeated Prisoners’ Dilemma

21. Public Transitions • 右の囚人のジレンマを 無限回繰り返す • 2つの公的シグナルy,yの うち，yの観測確率ρ： • ここではp>0，q=0と仮定 • 戦略のオートマトン表現 • wR：確率αでEを選択 • wP：Sを選択 • 各プレイヤは常に 　 同じ状態 - - -

22. Public Transitions • wRにおける期待利得V(wR) • Eを選択した場合： • Sを選択した場合： • wPにおける期待利得は0 • wRにおける行動が無差別⇒ • このとき， • 各プレイヤが辛抱強い（δが1に近い）とき，αは1に近づき，V(wR)は2に近づく • この場合，PPEによって達成可能な利得2-(1-p)/pより大きい

23. q>0のとき • q=0のときと同じ戦略は均衡ではない • プレイヤ１の履歴Ey，(Ey)kを考える • Ey観測後，プレイヤ２が 状態wRである確率β0(q) • β0(0)=1 • 同様にして次の確率βk(q) を考える： • k→∞のとき，βk(q)は0に近づく • プレイヤ１はプレイヤ２がほぼ確実にwPの状態であると考え，Eの選択をやめる - - -

24. Belief-free Equilibrium • 右の囚人のジレンマにおける Belief-free equilibrium （14章で述べられる）を示す • 2つの公的シグナルy,yのうち， yの観測確率ρ： - - -

25. Belief-free Equilibrium • 戦略のオートマトン表現 • wR：確率αRでE を選択 • WP：Sを選択 • Vxi(ai)：プレイヤjの状態がwxで，プレイヤiがai選択をした場合のプレイヤiの利得 • VRi(E)=Vri(S)≡VR，VPi(E)=Vpi(S)≡VP

26. Belief-free Equilibrium • VRについて： • VPについて： • これらの等式を解くことにより，確率βが求められる

27. Belief-free Equilibrium • βによって，次の等式が導かれる • δ＝1，αR=1は等式を満たす • p=1/2，q=1/2-ε，r=ε，bは2に近い場合を考える • このとき，1に近いδ<1について，1に近いαR<1が存在し，それは上の等式を満たす