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1 、你能证明它们吗 (1)

1 、你能证明它们吗 (1). 北 师 大 • 八 年 级 《 数 学 ( 上 ) 》. 北 师 大 • 九 年 级 上 数 学. 1. 例题欣赏. A. E. D. ●. ●. 2. B. C. 1. 命题的证明. 例 1 求证 : 等腰三角形两底角的平分线相等. 已知 : 如图 , 在△ ABC 中 ,AB=AC,BD,CE 是△ ABC 角平分线 . 求证 :BD=CE. 证明 :∵AB=AC( 已知 ), ∴∠ABC=∠ACB( 等边对等角 ). 又∵∠ 1= ∠ABC,∠2= 　∠ ACB( 已知 ),

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1 、你能证明它们吗 (1)

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  1. 1、你能证明它们吗(1) 北 师 大 •八 年 级 《 数 学 ( 上 ) 》 北 师 大 • 九 年 级 上 数 学

  2. 1 例题欣赏 A E D ● ● 2 B C 1 命题的证明 • 例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线. 求证:BD=CE. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵∠1= ∠ABC,∠2=　∠ACB(已知), ∴∠1=∠2(等式性质). 在△BDC与△CEB中 ∵∠DCB=∠ EBC（已知）, BC=CB（公共边）, 　∠1=∠2（已证）, ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

  3. 1 我能行 A M N B C 命题的证明 • 求证:等腰三角形两腰上的中线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线. 求证:BM=CN. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵CM= AC,BN=AB(已知), ∴CN=BM(等式性质). 在△BMC与△CNB中 ∵ BC=CB（公共边）, ∠MCB=∠NBC（已知）, CM=BN（已证）, ∴△BMC≌△CNB（SAS）. ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)

  4. 2 我能行 A Q P B C 命题的证明 • 求证:等腰三角形两腰上的高相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高. 求证:BP=CQ. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知), ∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义). 在△BPC与△CQB中 ∵∠BPC=∠CQB（已证）, 　 ∠PCB=∠QBC（已证）, BC=CB（公共边）, ∴△BPC≌△CQB（AAS）. ∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)

  5. 1 议一议 A E D B C ● ● 学无止境 1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC, (1)如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3呢? 由此你能得到一个什么结论? (2)如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么结论? 你能证明得到的结论吗？ ′ 这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.

  6. 2 议一议 A B C 等腰三角形的判定 前面已经证明了“等边对等角”，反过来， “等角对等边”成立吗? 即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C. 求证:AB=AC. ′ 解析：要想证明AB=AC,只要能构造两个三角形全等，使AB与AC成为对应边就可以了。 如：作BC边上的中线； 作∠A的平分线 作BC边上的高.

  7. 证明：作BC边上的高AD ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵ ∠B＝∠C,AD=AD ∴△ADB≌△ADC(AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等) D

  8. 3 议一议 A B C 几何语言 定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）. ′ 这又是一个判定两条线段相等方法之一.

  9. 课堂练习 A E D B C 1.如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC (1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形) (2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角形. ①③; ①④; ②③; ②④ O

  10. （2）已知：∠BEO=∠CDO OB=OC 求证：△ABC是等腰三角形 证明：在△EOB和△DOC中，∠BEO=∠CDO，∠EOB=∠DOC, OB=OC. ∴△EOB≌△DOC(AAS) ∴∠EBO=∠DCO(全等三角形的对应角相等) ∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB(等边对等角) ∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB(等式的性质) 即∠ABC=∠ACB ∴AB=AC(等角对等边)

  11. 2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 36°90°108°

  12. 开启 智慧 A ● C ● ● B 学无止境 • 小明说,在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这两个角也不相等. 即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠B≠∠C. ′ • 你认为这个结论成立吗? • 如果成立,你能证明它吗?

  13. 开启 智慧 A ● C ● ● B 学无止境 • 小明是这样想的: 假设∠B=∠C, 那么根据“等角对等边” 得AB=AC,与已知条件是AB≠AC相矛盾 因此假设不成立,原命题成立 即∠B≠∠C. • 你能理解他的推理过程吗?

  14. 开启 智慧 反证法 假设 • 先假设命题的结论反面成立， • 然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果， • 所以假设不成立,原命题成立 归谬 结论 这种证明方法称为反证法 (reduction to absurdity) 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用. • 你可要结识“反证法”这个新朋友噢!

  15. 心动 不如行动 初露锋芒 • 例1.如何证明这个结论: • 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5. 用反证法来证: 证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.

  16. 隋堂练习 成功者的摇篮 1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角． 证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．

  17. 隋堂练习 成功者的摇篮 2. 用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60° 证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角, 且都大于60°, 则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°, ∴ ∠A+∠B+∠C>180°; 这与三角形的内角和是180定理矛盾 ∴假设不成立 ∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.

  18. 理解证明的必要性和规范性. 理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意 事项. 你对“执果索因”,“由因导果”理解与运用有何进步. 规范性中的条理清晰,因果相应,言心有据的要求是否内化为一种技能. 几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高. 关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器. 准备如何提高证明命题的能力呢? 小结 拓展 回味无穷

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