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¥. III Alogos. Die transfiniten Zahlen stehen oder fallen mit den endlichen Irrationalzahlen. Georg Cantor (1845 - 1918) . 600 - 500 v. Chr. Griechische Aufklärung. parallel China: Konfuzius Indien: Buddha. Kleinstaaten (Republik oder Tyrannis)  Gedankenfreiheit

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Iii alogos

¥

III

Alogos


Iii alogos

Die transfiniten Zahlen

stehen oder fallen mit den

endlichen Irrationalzahlen.

Georg Cantor (1845 - 1918)


Iii alogos

600 - 500 v. Chr.

Griechische Aufklärung

parallel

China: Konfuzius Indien: Buddha

Kleinstaaten (Republik oder Tyrannis)  Gedankenfreiheit

Seefahrendes Volk, Verbindung zwischen Asien und Europa

Keine privilegierte Priesterkaste, die neue Ideen bekämpft

Neuer Gedanke: Die Welt kann verstanden werden!


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Thales von Milet (624 - 545)

Höhenmessung (Pyramide): Messung der Schattenlänge, zu der Zeit, wo der Körperschatten der Körpergröße gleich ist.

Alle Materie als belebt angenommen.

Kenntnis von Magneteisenstein und Elektron (Bernstein)

Vorhersage der Sonnenfinsternis vom 28. 5. 585


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Mutter: Parthenis (= Jungfrau)

wurde vom Sonnengott Apollon geschwängert und von da ab zu dessen Ehren Pythais genannt

Pythagoras (570 - 500)

= Mund des Apollon

Samos

Ägypten

Kreta

Persien

Babylon

Sizilien


Iii alogos

Eudemos Schüler des Aristoteles schrieb das erste Mathematikerverzeichnis:

Pythagoras war der erste Mathematiker. Satz und Beweis!

Pythagoras (570 - 500)

Samos

Ägypten

Kreta

Persien

Babylon

Sizilien


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Gründer einer bis 370 v. Chr. existierenden

"Schule" (Geheimbund)

Erkennungszeichen: Reguläres Fünfeck

Grundsatz: Alles ist Zahl

Pythagoras wurde nicht beim Namen genannt: "jener Mann"

"Er hat es selbst gesagt" beendete jede Debatte

Äußerste Verschwiegenheit gegenüber Außenstehenden

Pythagoras

Marmorbüste 4. Jhdt v. Chr.


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Sehet !

c2 = 4 * ab/2 + (a - b)2 = a2 + b2


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a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2

a

b

c


Iii alogos

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2


Iii alogos

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2


Iii alogos

a2 + b2 = c2

ma2 + mb2 = mc2


Iii alogos

Vegetarier (glaubte an Seelenwanderung)

Keine direkte Überlieferung

Keine hinterlassenen Schriften

Kein Grabmal

Alles ist Zahl

2, 3, 4,...

und Proportion


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Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2

Hippasos von Metapont:

Erste Erkenntnis des Irrationalen (ca. 450 v. Chr.)

An den Ort der Entstehung versetzt, ersäuft,

lebendig begraben (in Abwesenheit ), ...

Entdeckung der Irrationalität am gleichschenkligen Dreieck2a2 = c2 oder am Goldenen Schnitt.

c

p D

p

2a2 = c2

2 =

=

=

a

q D

q

Inkommensurabilität von Seite und Diagonale:

Es gibt keinen noch so kleinen gemeinsamen Maßstab D!


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Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2 

2 = p/q, teilerfremd

2 = p2/q2

2q2 = p2

p2 gerade  p gerade

p = 2z  p2 = 4z2

2q2 = 4z2

q2 = 2z2

q2 gerade  q gerade

 p,q nicht teilerfremd 


Iii alogos

Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2

Euklid (325 - 275)

Elemente, Buch 10: Lehre von den Inkommensurablen

Die Summe zweier Inkommesurablen ist zu den Summanden inkommensurabel (Bsp: 1 + 2).

Irrationale Zahlen: alogos = unaussprechlich

Nach Platon (427 - 348) besaß Theodoros von Kyrene Irrationalitätsbeweise für die nicht ganzen Wurzeln aller Zahlen bis 17.

Dessen Schüler Theaitetos (410 - 368) bewies dies für alle natürlichen Zahlen.

Frühe Behandlung des Irrationalen durch Eudoxos (408 - 355), Erfinder des Exhaustionsverfahrens.


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Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen.

Division durch 3: Höchstens 2 verschiedene Reste  0 möglich. Periodenlänge höchstens 2.

Alle periodischen Dezimalzahlen sind Brüche.

Bsp.: 0,123123123... = 0,123

123 = 123,123 - 0,123 = (1000 - 1)* 0,123

0,123 = 123/999

 Irrationale Zahlen können nicht periodisch sein. Sie besitzen eine unendliche Folge unperiodischer Dezimalstellen.

Auch alle abbrechenden Dezimalzahlen sind eindeutig als periodische Dezimalzahlen darstellbar:

10*0,999 - 1*0,999 = 9,999 - 0,999

(10 - 1)*0,999 = 9

0,999= 1,000 = 1


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Alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen sind ganz oder irrational:

Quadrate von Brüchen sind wieder Brüche: (3/4)2 = 3*3 / 4*4

(Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung)

7 = p/q mit p,q teilerfremd  7qq = pp 

9 = p/q  3q3q = ppp = 3q

und da p,q teilerfremd q = 1, p = 3

Theodoros von Kyrene besaß Beweise für alle Zahlen bis 17.


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Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung

ist nicht trivial, da z. B. in den geraden Zahlen

60 = 30 * 2 = 10 * 6

Beweis der Eindeutigkeit für die ganzen Zahlen

4 = 2*2,6 = 3*2,... sind eindeutig.

Sei p*P = q*Q die kleinste mehrdeutige Zerlegung

oBdA sei p > q und keine gleichen Faktoren vorhanden

(p-q)*P = p*P - q*P = q*Q - q*P = q*(Q-P) < q*Q

(p-q) enthält nicht den Faktor q, da p und q prim.


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n

z


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Stetige Teilung

a/b = b/(a-b) f > 0

f = 1/(f - 1) f - 1 = 1/f

f2 - f - 1 = 0 (f - 1)(f + 1) = f

f = 1/2 + (1 + 1/4)

= (1 + 5)/2 = 1,618... 

f2 = 1 + f

f = 1 + 1/f


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Stetige Teilung

Luca Pacioli (1445 - 1517) ital. Mathematiker

Leonardo daVinci (1452 - 1519) ital. Maler, Zeichner,

Bildhauer, Architekt, Musiker, Naturforscher und Ingenieur

Devina proportione(1509)

Martin Ohm (1792 - 1872):

Bruder von Georg Simon Ohm

Goldener Schnitt(1835)


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Stetige Teilung

Johannes Campanus von Novarra (1220 -1296)

Kaplan von Papst Urban IV. (1261-1264)

Kanonikus in Paris, Euklid-Übersetzer

Irrationalitätsbeweis für die stetige Teilung

durch descente infinie

Seien x1, x2

erzeuge durch Multiplikation mit dem Hauptnenner n1, n2 

(n1 + n2)/n1 = n1/n2 mit n2 < n1

1 + n2/n1 = n1/n2

n1/n2 = n2/(n1 - n2)

(n1 - n2)  n3mit n3 < n2 < n1

(n2 + n3)/n2 = n2/n3

usw. ad infinitum


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Stetige Teilung auch am Pentagon! Armer Pythagoras.


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Stetige Teilung auch am Pentagon! Armer Pythagoras.


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Stetige Teilung auch am Pentagon! Armer Pythagoras.


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Tätigkeit als Ingenieur

ab 1816 Professor in Frankreich und Italien

Mit etwa 800 Abhandlungen ungewöhnlich

produktiver und vielseitiger Mathematiker

Cauchy-Kriterium

Quotientenkriterium

Wurzelkriterium

Reihenverdichtung

Konvergenzradius

Diagonalverfahren

Ableitung und Integral als Grenzwert

Theorie komplexer Funktionen

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)

n

|Sak| <e

k = m


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Potentielles Verständnis des Grenzwertes:

Wenn die Werte, die eine Variable annimmt, unbeschränkt einem festem Wert zustreben, so dass sie schließlich von ihm so wenig abweichen wie man will, so wird derselbe der Grenzwert aller anderen genannt.

Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen

rationaler Zahlen definieren.

x = ax2 = a 2x2 = x2 + a


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Richard Dedekind (1831 - 1916)

promovierte 1852 in Göttingen bei C.F. Gauß

1862 bis zu seiner Emeritierung 1894 Professor

am Polytechnikum in Braunschweig (heutige TU)

war aufgrund eines regen Briefwechsels mit G. Cantor

direkt an dessen Formulierung der Mengenlehre beteiligt

Dedekindscher Schnitt

Drei Fälle sind möglich:

A enthält eine größte Zahl: A = {aa  2}, B = {bb > 2}

B enthält eine kleinste Zahl: A = {aa < 2}, B = {bb  2}

A enthält keine größte und B keine kleinste Zahl: A = {aa < p}, B = {bb > p}

A enthält eine größte und B eine kleinste Zahl 

Alle Schnittzahlen der dritten Art bilden die Irrationalen Zahlen.


Iii alogos

"... so sind die negativen und die gebrochenen

Zahlen durch den menschlichen Geist erschaffen"

Dedekindscher Schnitt

Drei Fälle sind möglich:

A enthält eine größte Zahl: A = {aa  2}, B = {bb > 2}

B enthält eine kleinste Zahl: A = {aa < 2}, B = {bb  2}

A enthält keine größte und B keine kleinste Zahl: A = {aa < p}, B = {bb > p}

A enthält eine größte und B eine kleinste Zahl 

Alle Schnittzahlen der dritten Art bilden die Irrationalen Zahlen.


Iii alogos

"... so sind die negativen und die gebrochenen

Zahlen durch den menschlichen Geist erschaffen"

"Jedesmal nun, wenn ein Schnitt vorliegt, welcher

nicht durch eine rationale Zahl hervorgebracht

wird, so erschaffen wir eine neue, eine irrationale

Zahl."

"In Rücksicht auf diese Befreiung der Elemente von jedem andern Inhalt (Abstraktion) kann man die Zahlen mit Recht

eine freie Schöpfung des menschlichen Geistes nennen."

Was sind und was sollen die Zahlen? (1887): "Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage lautet: die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen."


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Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777)

Sohn eines Schneiders

Autodidakt, Universalgelehrter:

Mathematiker, Physiker, Astronom und Philosoph

zunächst Buchhalter, Schreiber bei einem Prof. in Basel, Hauslehrer in Chur, Redakteur

ab 1759 Mitglied der Bayerischen Akademie d. Wiss.

ab 1765 Mitglied der Preuß. Akademie d. Wiss.

1027 Manuskripte, davon 190 publiziert

Beweis der Irrationalität von e und p (Kettenbruchentwicklung von tanx)

„Vorläufige Kenntnis für die, so die Quadratur des Circuls suchen“ (1770)


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Kettenbrüche

für a < 1:

Beispiele:

Endliche Kettenbrüche sind rationale Zahlen.

Unendliche Kettenbrüche sind irrationale Zahlen.


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Kettenbrüche

Lord Brouncker (1620 - 1684)

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Unendliche Kettenbrüche sind irrationale Zahlen.


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p = 3,1415926...

U

A = r *

2


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Geometrische Kreisquadraturversuche

Anaxagoras (im Gefängnis) und Hippokrates von Chios gehörten zu den ersten, die das Problem bedachten. (5. Jhd. v. Chr.)

Schon 414 v. Chr. war das Problem so populär, daß Aristophanes (445 - 385) in "Die Vögel" von Kreisquadratoren als von Leuten spricht, die das Unmögliche versuchen.

Zulässige Hilfsmittel für geometrische Konstruktionen

nach Platon (427 - 348):

Zirkel und Lineal (ohne Markierung)


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Ägypter: Ahmosis, 2. Jtd. v.Chr.: p/4 = (8/9)2p = 3,16...

Babylonier: 2. Jtd. v.Chr.: p = 3 + 1/8 = 3,125

Juden: 5. Jhd. v.Chr.: p = 3

Die Zierde von Salomons Tempel (1000 v.Chr) war ein "gegossenes Meer, ruhend auf 12 Rindern" 10 Ellen weit, 5 Ellen hoch, mit einer Schnur ringsum 30 Ellen lang.[Bibel, 1. Könige 7,23 und II. Chronik 4,2]

Griechen: Archimedes (287 - 212):p = 22/7 = 3,1428...

Chinesen: Tsu Ch’ung-Chih (430 - 501) fand den erstaunlich genauen Wert: p = 355/113 = 3,1415929... den aber Liu hwuy (im 7. Jhd.) schon wieder vergessen hatte: p = 157/50 = 3,14

Inder: Brahmagupta (7. Jhd.): p = 10 = 3,16...

Mittelalter: Rückfall in die Barbarei

Michael Psellus, Byzanz, 11. Jhd. p = 8 = 2,828...

Franco von Lüttich, 11. Jhd. p = (9/5)2 = 3,24

Adrian Metius (1585): p = 355/113 = 3,1415929... wiederentdeckt


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Quadratur des Kreises durch Dinostratus (400 v. Chr.)

mit der Quadratrix des Hippias von Elis (420 v. Chr.)


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Rechenleistungen

Ludolph van Ceulen (Köln) hatte 1596 p auf 20 Stellen berechnet, gegen Ende seines Lebens: 35 Stellen  Ludolphs Zahl

Isaac Newton (1642 - 1727) berechnete 15 Stellen 1665 zum Zeitvertreib

Abraham Sharp, Anfang 18 Jhd. 71 Stellen

Sherwin 72 Stellen

Machin (1680 - 1752), berechnete 100 Stellen in 1706

Leonhard Euler (1707 – 1783) berechnete in wenigen Stunden 20 Stellen

Lamy: 127 Stellen

John Dase (1824 - 1861), Rechengenie, multiplizierte innerhalb von Stunden hundertstellige Zahlen im Kopf, berechnete 205 Stellen

William Shanks (1812 - 1882) produzierte 607 Stellen, davon 527 richtige, später (1853) 707 Stellen, aber falsch jenseits der 527.

Der Fehler wurde erst 1945 erkannt, als D.F. Ferguson 530 Stellen berechnete. Letzte Berechnung mit Papier und Bleistift.

1947 berechnete Ferguson 808 Stellen mit einem Tischrechner.

1949 ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer): 2037 Stellen in 70 Stunden

1957 10000 Stellen, von denen aber wegen Maschinenfehlers nur 7480 richtig waren

1958 IBM 704: 10.000 Stellen in 100 Minuten

1961 IBM 7090: 100.000 Stellen in 9 Stunden

1973 CDC 7600: 1 Mio. Stellen in weniger als 1 Tag

1985 Symbolics 3670: 17 Mio. Stellen

1986 CRAY-2: 29 Mio Stellen in weniger als 28 Stunden

1987 100 Mio.

1995 6.442.450.000 Stellen, Yasumasa Kanada, Univ. Tokyo, in 116 Stunden

1999 206.158.430.000 Stellen, Takahashi und Kanada auf Hitachi SR8000, Univ. Tokyo

Die Ziffern scheinen normal verteilt, p scheint eine normale Zahl zu sein.


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Modulare Identitäten (unendliche Reihen)

S. Ramanujan (1914)

D.V. Chudnovsky und G.V. Chudnovsky (1989)


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Borwein (1989)


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Bailey (1996)


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Pkanterien

1897 passierte die Gesetzesvorlage Bill 246 das Parlament im US-Bundesstaat Indiana wonach

p := 3

scheiterte erst im Senat auf Intervention von Prof. C. Waldo.

Rajan Mahadevan, sagte am 5. 7. 1981

in 3 h 49 min 31812 Stellen der Zahl p aus dem Gedächtnis auf.

Hideaki Tomoyori, erinnerte 1987

in 17 h 21 min 40000 Stellen der Zahl p.

WORLD RECORD HOLDER :04 Jun 1979 - 11 Jul 1979 (15,151)02 Oct 1979 - 26 Jun 1980 (20,000)10 Mar 1987 - 17 Feb 1995 (40,000)


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Pkanterien

1897 passierte die Gesetzesvorlage Bill 246 das Parlament im US-Bundesstaat Indiana wonach

p := 3

scheiterte erst im Senat auf Intervention von Prof. C. Waldo.

Rajan Mahadevan, sagte am 5. 7. 1981

in 3 h 49 min 31812 Stellen der Zahl p aus dem Gedächtnis auf.

Hideaki Tomoyori, erinnerte 1987

in 17 h 21 min 40000 Stellen der Zahl p.

Die Näherungsformel des Japaners Arima

= 3.141592653589793238462643383275

Liefert p auf 30 Stellen genau.

Univ. Tokio: ca. 200 Mia Stellen berechnet.


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3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989


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in den ersten 1000 Dezimalstellen enthalten sind

116 mal die 1

103 mal die 2

103 mal die 3

93 mal die 4

97 mal die 5

94mal die 6

95 mal die 7

100 mal die 8

106 mal die9

93 mal die 0


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