Fourier transformatie

Fourier transformatie • continu signaal = algemeen geval • Fourier getransformeerde F(j) = - f(t) e-jtdt f(t) = 1/(2) -F(j) ejtd • periodiek signaal = speciaal geval • discrete Fourier ontbinding f(t) = a0+n=1 cn sin(nt+n) = 2/T a0 = 1/T 0T f(t)dt cn = (an2+bn2) n = bgtg(an/bn) an = 1/T 0T f(t)cos(nt)dt bn = 1/T 0T f(t)sin(nt)dt

SPECTRUM, signaalbandbreedte • SPECTRUM = amplitude en faze van de sinusoïdale componenten als functie van de frequentie • snelle veranderingen in tijdsdomein geven een bijdrage bij de hogere frequenties • fysische signalen: de meeste energie zit in een gebied tot een bepaalde frequentie, daarboven valt het spectrum zeer snel af: snelle veranderingen vragen veel vermogen • signaalbandbreedte W: frequentieband W waarbinnen zich 95 % van alle signaalenergie bevindt • grens langs boven • video: 0 Hz - 4 MHz • grens langs onder • spraak: 200 Hz - 4 kHz • muziek (CD): 16 Hz - 16 kHz • als amplitude en faze binnen W gekend is kunnen we het signaal met voldoende nauwkeurigheid reconstrueren

Lineaire vervorming • stelling: • signaal met bb W via sensor en transmissiemedium door versterker om elektronische geschaalde copie te krijgen  criteria voor de gecombineerde responsie, anders lineaire vervorming • amplitude moet vlak zijn over bb B die W omvat • fase moet lineair afnemen met frequentie binnen W • bewijs: • SENSOR TL VERSTERKER H(j) = Hs(j) Ht(j) Hv(j) = H0 e-jt0 transferfuncties ontkoppeld !!! R(j) = H(j) S(j) = H0 e-jt0 S(j) • onvervormd • vertraagd • geschaald • egalisatie door versterker

Lineaire vervorming:voorbeelden • lineaire vervorming: vervorming hangt niet af van amplitude van signaal • blokgolf: versterker met B < W: rimpel versterker met fasefouten: rimpel • geen belang voor audio • belang voor video (echo), meetversterkers (stabiliteit) eerste orde versterker: exponentiële responsie • te bepalen via Laplace: v0(t) = G0V(1-e-t/) Rs + + R0 + - + - Vi V1 C Vo RL Ri Av V1 - - als RL >> 1/jC: V0=(1/jC)/(1/jC+R0) Av V1

Niet-lineaire vervorming:stelt bovengrens V+ Vo Vi+ + V+ • versterker • voedingsklemmen: toevoer van energie • energie van voeding naar signaal • differentiële ingang, enkelvoudige uitgang Vo = F(Vi+-Vi-) = F(Vi) als Vi+,Vi- G G = (V+-, V-+) • verzadiging: geeft niet lineaire vervorming • uitgang: Vmax =V+-, Vmin = V-+ • voorbeeld • totale harmonische vervorming (THD) • sinus als input THD = (i=2 ai2)/a1 toepassen op Vo audio: 5 % is storend, vb. boxen V+ Vi versterker Vo Vi - V- Vi- V- V-

Ruis:stelt ondergrens • geen input, toch output nl. ruis • redenen • interferentie: inductieve en capacitieve koppeling (EM milieu) • thermische ruis: thermische beweging van elektronen • hagelruis: stroom is gequantiseerd

Ruis:EM interferentie • proeven • oorzaken • cosmische achtergrondstraling vd big bang • bliksem + uitleg • draadloze communicatie (TV, radio, GSM, …) • pulsen (onderbreking van inductieve ketens) • aardstromen • ESD + uitleg • ... • hoe binnensluipen • inductieve, capacitieve koppeling: stijgt als freq. stijgt • koppeling via gemeenschappelijk impedantie • maatregelen: • kleine kringen, korte kabels • twisted pair • grondvlakken, voedingsvlak • werk in op impedanties • afscherming: duur ! • coaxiale kabel • filters: binnen en buiten werkingsband

Ruis: thermische ruis i e e • thermische beweging van elektronen • gemiddelde is nul • gemiddelde kwadratische waarde is niet nul i2 = lim(t) 1/t 0t i2(t) dt = 4 kTG f (Nyquist) k = 1.38 10-23 Joule/°K (Boltzmann constante) • effectief waarde vd stroom = stroombron in = (i2) = (4 kTG f) • BEHOUD VAN VERMOGEN: vb • effectief waarde vd spanning = spanningsbron e2 = R2 i2 = 4 kTR f en = (e2) = (4 kTR f) • spectraaldichtheid vd ruisspanning over R is onafh. v. frequentie: NR = e2/f = 4 kTR • witte ruis • vb. Als R=10k, BB=16kHz, T=300K, dan en=1.63V, NR=1.656 10-16 V2/Hz R,G G R

Signaal-ruisverhouding • werkelijk uitgangssignaal = uitgangssignaal met waarde vs(t) + ruis en(t), dus uitgangssignaal > ruis is meestal noodzakelijk • signaal-ruisverhouding: S/N = vs/en (effectiefwaarden !!!) S/N (dB) = 20 log10 (vs/en) f moet gekend zijn • HET IS MOEILIJKER HOGE S/N TE BEREIKEN NAARMATE bb W GROTER IS • video (MHz) >< audio (kHz) • varia: deep space netwerk van de NASA

Ruis doorheen versterker • gemiddeld kwadratische ruisspanning aan uitgang dvo,n2 = |G|2en2 = G02 4kTR df /(1+(f/B)2) vo,n2 = 0G024kTR/(1+(f/B)2)df = G024kTR(B/2) • ideaal laagdoorlaatfilter met bb (B/2) • ruisbb Bn = (B/2) • S/N=(G02vs2/(G024kTR(B/2)))=vs/(4kTR(B/2)) • HET HEEFT GEEN ZIN B VEEL GROTER DAN W TE NEMEN • S/N<((V/2)/G0)/(4kTRB/2))=(V/G0)/(4kTRB)) anders niet-lineaire vervorming • vb. Als V=5V,G0=10,T=300K,R=10k,B=16kHz, dan S/N < 104.8 dB en(t) R + - vs(t) G = G0/(1+jf/B) vo ruisvrije versterker

Ruis:hagelruis • versterker • weerstanden: ook ruis • transistoren: hagelruis i2 = 2qIf met q = 1.6e-19 Coulomb dus evenredig met de stroom • equivalente ingangsruisspanning met spectraaldichtheid te vinden in de specs Nv = e2/f (meestal niet te verwaarlozen) vo,n2 = 0G02(4kTR+Nv)/(1+(f/B)2)df = G02(NR+Nv)(B/2) en(t) ev(t) R + - vs(t) G = G0/(1+jf/B) vo niet-ruisvrije versterker

Besluiten • geen lineaire vervorming: • bb B van verwerking moet bb W van signaal bevatten (maar mag niet veel groter zijn, zie verder) • lineair afnemend faseverloop over B • geen niet-lineaire vervorming: • voedingsspanning bepaalt maximale signalen • precisie: • beperking precisie door ruis (maat = S/N (dB)) • beperk ruis • EMC maatregelen • beperk bb • kies weerstanden verstandig • S/N verwerking  S/N bron (prijs !!!)

Fourier transformatie