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Logique et raisonnement scientifique. cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte. 6- Faut-il brûler la logique classique?. 6-1. Les logiques modales. C. I. Lewis, 1918 : les « paradoxes » de l’implication matérielle. (1) (2) ad impossibile sequitur quodlibet
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Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte
6- Faut-il brûler la logique classique? 6-1. Les logiques modales
C. I. Lewis, 1918 : les « paradoxes » de l’implication matérielle • (1) • (2) ad impossibile sequitur quodlibet • Ex: si « l’eau bout à 100° » est vraie, alors il est vrai que « si Charlemagne fut empereur, alors l’eau bout à 100° » • Distinguer une « implication stricte » d’une implication matérielle?
Implication stricte • P implique strictement Q si et seulement s’il est impossible que P soit vrai sans que Q le soit • Fait intervenir la notion de modalité
… une idée pas neuve • Aristote, Premiers Analytiques • cf. discussion sur l’aporie de Diodore Kronos (J. Vuillemin, 1984)
Aporie de Diodore - 1 • A – le passé est irrévocable, • B – si q suit nécessairement de p, alors s’il n’est pas possible que q, il n’est pas possible que p • C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, • D – de ce qui se réalise il n’a jamais été vrai qu’il ne se réalisera pas, • E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) qu’il ne se réalisera jamais
A – le passé est irrévocable, B – si q suit nécessairement de p, alors s’il n’est pas possible que q, il n’est pas possible que p C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, D – de ce qui se réalise il n’a jamais été vrai qu’il ne se réalisera pas, E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) qu’il ne se réalisera jamais Pp MPp L(p q)(Mq Mp) (Mp p Fp) p PFp p Fp PFp Aporie de Diodore - 1
Aporie de Diodore - 2 • toute thèse étant nécessaire (axiome de nécessitation), on a : L(p PFp) (par D) • p Fp PFp (par E) • PFp MPFp (par A) • p Fp MPFp par transitivité (syllogisme) • L(p PFp) (MPFp Mp) (par B) • MPFp Mp (par modus ponens appliqué à 1 et 5) • p Fp Mp (par 4, 6 et transitivité) • Mp p Fp (contraposition de 7), autrement dit : C.
Intérêt des logiques modales Introduire : • le temps dans la logique (logique temporelle) sous l’aspect d’opérateurs tels que P et F (passé et futur), • les considérations de contingence et de nécessité (logique aléthique), • celles de permission et d’obligation (logique déontique) • les notions de savoir et de croyance (logiques épistémiques et doxastiques).
opérateurs • logique aléthique : le nécessaire est le dual du possible • logique déontique : l’obligatoire est le dual du permis • logique de la prouvabilité : le prouvable est le dual du « consistant avec » ◊p □p
Premières approches : Lewis et Langford, 1932 • Présentation à la Hilbert
L’approche syntaxique (2) • Interprétation « naturelle »: □p = « il est nécessaire que p » • La logique modale (propositionnelle) est une extension du calcul propositionnel : • Toute logique modale doit contenir comme théorèmes au minimum toutes les tautologies du CP, • Comme il existe une procédure pour les déterminer (décidabilité), on peut admettre que chaque tautologie du CP est prise comme axiome
L’approche syntaxique (3) + axiomes « propres », permettant de manipuler « □ » Axiomes CP : toute formule ayant la forme d’une tautologie Axiome K : □() (□ □) Règles : modus ponens : |— |— |— nécessitation : |— |— □
L’approche syntaxique (4) Règles dérivées : Théorème : □() □ Preuve: () - axiome CP - □(() ) - nécessitation - □(() ) (□() □) - axiome K - □() □ - modus ponens
L’approche syntaxique (5) Règles dérivées : Théorème : □() (□ □) Preuve: : □() □ - th1- □() □- th1- □() (□□) - règle du CP - : ( ()) - axiome CP - □ □( ()) - <vérifier!> - □( ()) (□ □()) - axiome K - □ (□ □()) □ □ □()
L’approche syntaxique (6) Théorème de la déduction : Théorème : si 1,2… n,|— alors 1,2… n|— Preuve: Supposons 1,2… n,|— , alors dérivable à partir de 1,2… n, et de théorèmes 1, … m en utilisant seulement la règle de modus ponens (cf. restriction sur nécessitation), donc 1, … m,1,2… n,|— dans le CP, d’où par le théorème de la déduction dans CP: |— 1( … (m (1 (2 … (n ( ))…)))…). Cette formule est une tautologie de CP, donc un axiome 1 de K. Puisque 1, … m sont des théorèmes dans K, on obtient par MP: |— 1 (2 … (n ( ))…). En utilisant encore MP: 1,2… n|—
L’approche syntaxique (7) Problèmes avec l’approche syntaxique il est « facile » d’imaginer toutes sortes de systèmes d’axiomes… du genre: □, □ □□ , ◊□ , etc. mais… quel sens cela a-t-il véritablement? (insuffisance de notre intuition) Besoin d’une approche sémantique
Sémantique de la logique modale • Sémantique dite « de Kripke » • Deux notions-clés : • Monde possible • Relation d’accessibilité
Semantic frame • Un « frame » F est un couple (W, ) où: • W : un ensemble non vide (de « mondes possibles ») • une relation binaire sur W • Un modèle (de Kripke) sur F est un couple (F, V) où: • F est un « frame » • V est une application de {p1, p2, …, pn} W dans {0,1} (à chaque lettre propositionnelle et chaque monde possible: une valeur de vérité)
Sémantique (3) • Si dans le modèle M, V(p, w) = 1 (p: une lettre propositionnelle, w: un monde), on écrit: VM,w(p) = 1 ou: |=M,w p ou encore w |=M p • On étend V à toute formule au moyen de: • VM,w() = 1 ssi VM,w() = VM,w() = 1 • VM,w() = 0 ssi VM,w() = VM,w() = 0 • VM,w() = 1 ssi VM,w() = 0 • VM,w() = 1 ssi pour tout w’ tel que ww’, VM,w’() = 1
Sémantique (4) • |= ? ( découle sémantiquement de l’ensemble de prémisses ) On définira |= par: « pour tout M et tout w, si w |= pour tout dans , alors w |= » ie: si, quel que soit le modèle M, tout monde possible pour M qui admet toutes les formules de vraies, admet aussi pour vraie, alors on dit que est une conséquence de
Correction de la sémantique par rapport à K • Si |—K, alors |= • Dém: par récurrence sur la longueur de la dérivation. Cas de base: est un axiome, alors on vérifie que est bien vraie quel que soit le modèle M. • Hyp de récurrence: vrai pour une dérivation de longueur n. • Soit une dérivation de longueur n+1, supposons que son dernier pas soit une application de la règle de nécessitation, alors cela signifie que est obtenue par cette règle au moyen d’une formule p de longueur de dérivation n et que = �p. Supposons que |≠ �p. alors il existerait un monde w tel que w |≠ �p. Donc il existerait un monde w’ tel que ww’ et w’ |≠ p et on aurait |≠ p, ce qui est contradictoire avec l’hypothèse de récurrence.
Liens entre propriétés de et formules vraies dans une logique modale • Supposons que nous prenions comme axiome supplémentaire, la formule : □ • Quelle est sa signification en termes de « frame » ou de « relation d’accessibilité »?
Si est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w0, alors est vraie dans ce monde actuel • Autrement dit: w0 fait partie de ces mondes accessibles à partir de lui-même • w0 w0 • Autrement dit: est réflexive
□ w0 □
□ w2 w1 w3 w0 w7 w4 w6 w5
□ w2 w1 w3 w0 ? w7 w4 w6 w5
□ w2 w1 w3 w0 ? w7 w4 w6 w5
Propriétés de et formules vraies • Idem pour: □ □□ • Si est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w0, alors c’est le cas également de □ • Pour que □ soit vraie dans tout monde w accessible à w0, il faut que soit vraie dans tout monde accessible à tout monde w accessible à w0. • Donc la formule exprime le fait que si est vraie dans tout monde accessible à w0, alors elle est encore vraie dans tout monde accessible à tout monde accessible à w0.
ceci est assuré si: est transitive
□ □□ w0 □
□ □□ w2 w1 w3 w0 w7 w4 w6 w5
□ □□ □□ ? w0 w6 w5
□ □□ □□ ? w0 □ w6 w5 □
□ □□ □□ ? w0 w6 w5
□ □□ □□ ? w0 w6 w5
Qu’en est-il de: ◊□ ?
S’il existe un monde possible accessible au monde actuel où □ est vraie, alors est vraie dans le monde actuel • Soit w1 ce monde, dire que □ est vraie dans w1, c’est dire que estvraie dans tout monde possible accessible à w1 • Si on veut que toujours en ce cas, soit vraie dans w0, il suffit que w0 soit toujours accessible à w1 • Et ce, quel que soit le monde w1 accessible à w0 Donc que soit symétrique
Caractérisation d’un frame • caractérise une propriété de si et seulement si tout frame <W, > ayant cette propriété admet comme formule vraie • une relation est dite euclidienne si et seulement si : xyz x y x z y z
Caractérisation (2) • □ (axiome T) caractérise les frames réflexifs • □ □□ (axiome 4) caractérise les frames transitifs • ◊□ (axiome B) caractérise les frames symétriques • ◊ □◊ (axiome 5) caractérise les frames euclidiens
Différentes logiques • On a vu K (pas de propriété particulière de ) (logique modale minimale) • K + □ : logique T • T + □ □□ : logique S4 • S4 + ◊ □◊ : logique S5 • si on ajoute □ : collapsus (retour à CP)
complétude • Chacune de ces logiques est complète par rapport à son cadre • Propriété du modèle fini : • Un système S possède cette propriété si et seulement s’il existe une sémantique pour S telle que, pour toute formule qui peut être rendue fausse sur un certain modèle, elle peut nécessairement l’être aussi sur un modèle fini. • Les systèmes modaux possèdent la propriété du modèle fini
Une conséquence : décidabilité • K, T, S4, S5 : • Axiomatisables on peut énumérer les déductions possibles D1, D2, …Dn, …. • Complètes si non démontrable, alors a un contre-modèle • Pté modèle fini se contenter de contre-modèles finis on peut énumérer les modèles finis M1, M2, …, Mk, … • faire : suite alternée D1, M1, D2, M2, …. Dn, Mn, …. • tôt ou tard: soit une preuve de , soit un contre-modèle de
discussion (1) • � : • modalités ontiques : • s’il est nécessaire que , alors • modalités épistémiques : • s’il est su que , alors mais : • s’il est cru que , alors • modalités déontiques : • s’il est obligatoire que , alors
discussion (2) • � �� • modalités ontiques : • la nécessité de la nécessité =la nécessité (clôture) • modalités épistémiques : • s’il est su que , alors il est su qu’il est su que ? (conscience du savoir) • si je crois que , alors je crois que je le crois? • plutôt: je sais que je le crois • modalités déontiques : • s’il est obligatoire que , alors il est obligatoire que cela soit obligatoire
discussion (3) ◊ �◊ • modalités ontiques : • la possibilité est toujours nécessaire • modalités épistémiques : • si j’ignore que non- ,alors je sais que je l’ignore • modalités déontiques : • s’il est permis que , alors il est obligatoire que cela soit permis
Problèmes de la logique déontique • O O() • Est-ce que, si je dois payer mes impôts avant le 15 mars, je dois payer mes impôts ou regarder passer l’Isère ? • Pb avec K :O() (O O): • S’il est obligatoire d’acheter son billet pour aller à Nantes, si je dois aller à Nantes, je dois acheter mon billet • mais… si je n’y vais pas?
Logique épistémique (1) |— |— K toute vérité (logique) est connue…! (omniscience) • Axiome K : si x sait que A B alors s’il sait A, il sait B (« distribution ») • Connaissance : x sait que • Modus ponens
Logique épistémique (2) • 4 : KiKiKi • Axiome de l’introspection positive • 5 : KiKi Ki • Axiome de l’introspection négative • B : KiKi ???
