Алгебра логики

1. Алгебра логики Полнота системы функций. Нормальные формы.

2. Полные системы функций Система функций является полой, если любая логическая функция может быть записана с помощью этих связок. Примеры: • - составляет сигнатуру алгебры логики • - используется в микроэлектронике • - позволяет представить булевы функции в виде полиномов (Полиномы Жегалкина)

3. Система функций «и-не» Отрицание: Конъюнкция: Дизъюнкция:

4. Полиномы Жегалкина Полином, где в качестве сложения используется, в качестве умножения , а все коэффициенты берутся из множества Пример:

5. Критерий Поста Система связок полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком в одном из классов: • монотонные функции } • функции, сохраняющие нуль • функции, сохраняющие единицу • линейные функции • самодвойственные функции

6. Элементарная конъюнкция Элементарная конъюнкция – конъюнкция переменных и/или их отрицаний. Пример:

7. Элементарная дизъюнкция Элементарная дизъюнкция –дизъюнкция переменных и/или их отрицаний. Пример:

8. Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы КНФ: конъюнкция элементарных дизъюнкций Пример: ДНФ: дизъюнкция элементарных конъюнкций Пример:

9. Алгоритм построения КНФ/ДНФ • Перейти в сигнатуру алгебры логики ( • Преобразовать отрицания, оставив их только над элементарными переменными (закон Де-Моргана) • Для ДНФ: Раскрыть скобкиДля КНФ: Воспользоваться дистрибутивным законом так, что бы дизъюнкции выполнялись раньше конъюнкций

10. Обозначение Свойства: • тогда и только тогда, если . • тогда и только тогда, если • тогда и только тогда, если

11. Разложение функций по переменным Всякую логическую функцию можно представить в виде: где 1 ≤ k ≤ n

12. Пример разложения

13. Следствие 1. Разложение по k-ой переменной:

14. Следствие 2. Разложение по всем переменным: Следствие: всякая логическая функция представима в сигнатуре алгебры логики.

15. Совершенные нормальные формы Совершенная ДНФ: ДНФ, содержащая только полные и правильные конъюнкции Пример: Совершенная КНФ: КНФ, содержащая только полные и правильные дизъюнкции Пример:

16. Построение СДНФ Построить ДНФ: • Перейти в сигнатуру алгебры логики ( • Преобразовать отрицания, оставив их только над элементарными переменными • Раскрыть скобки Преобразовать ДНФ в СДНФ: • Удалить повторяющиеся ЭК (оставив только одну) • Сделать все ЭК правильными • Сделать все ЭК полными • Повторить шаги 3 и 4

17. Удаление повторяющихся ЭК Если в формуле несколько одинаковых ЭК, то оставляем только одну

18. Преобразование ЭК в правильные 1. Если в ЭК переменная входит со своим отрицанием, удаляем эту ЭК из формулы 2. Если в ЭК переменная входит несколько раз, удаляем повторяющиеся переменные

19. Преобразование ЭК в полные Если в ЭК не входит некоторая переменная, то дописываем к ней дизъюнкцию этой переменной с её отрицанием:

20. Построение СКНФ Построить КНФ: • Перейти в сигнатуру алгебры логики ( • Преобразовать отрицания, оставив их только над элементарными переменными • Применить дистрибутивный закон, что бы все дизъюнкции выполнялись раньше конъюнкций Преобразовать КНФ в СКНФ: • Удалить повторяющиеся ЭД (оставив только одну) • Сделать все ЭД правильными • Сделать все ЭД полными • Повторить шаги 3 и 4

21. Преобразование ЭД в полные Если в ЭД не входит некоторая переменная, то дописываем к ней конъюнкцию этой переменной с её отрицанием:

22. Построение СДНФ по таблицe истинности СДНФ:

23. Построение СКНФ по таблицe истинности СКНФ:

24. С использованием принципа двойственности Возьмём СДНФ для Применим отрицание: Получили СКНФ для