Алгебра логики
Download
1 / 24

Алгебра логики - PowerPoint PPT Presentation


  • 162 Views
  • Uploaded on

Алгебра логики. Полнота системы функций. Нормальные формы. Полные системы функций. Система функций является полой, если любая логическая функция может быть записана с помощью этих связок. Примеры: - составляет сигнатуру алгебры логики - используется в микроэлектронике

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Алгебра логики' - shelby-fuentes


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Алгебра логики

Полнота системы функций. Нормальные формы.


Полные системы функций

Система функций является полой, если любая логическая функция может быть записана с помощью этих связок.

Примеры:

  • - составляет сигнатуру алгебры логики

  • - используется в микроэлектронике

  • - позволяет представить булевы функции в виде полиномов (Полиномы Жегалкина)


Система функций «и-не»

Отрицание:

Конъюнкция:

Дизъюнкция:


Полиномы Жегалкина

Полином, где в качестве сложения используется, в качестве умножения , а все коэффициенты берутся из множества

Пример:


Критерий Поста

Система связок полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком в одном из классов:

  • монотонные функции

    }

  • функции, сохраняющие нуль

  • функции, сохраняющие единицу

  • линейные функции

  • самодвойственные функции


Элементарная конъюнкция

Элементарная конъюнкция – конъюнкция переменных и/или их отрицаний.

Пример:


Элементарная дизъюнкция

Элементарная дизъюнкция –дизъюнкция переменных и/или их отрицаний.

Пример:


Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы

КНФ: конъюнкция элементарных дизъюнкций

Пример:

ДНФ: дизъюнкция элементарных конъюнкций

Пример:


Алгоритм построения КНФ/ДНФ нормальные формы

  • Перейти в сигнатуру алгебры логики (

  • Преобразовать отрицания, оставив их только над элементарными переменными (закон Де-Моргана)

  • Для ДНФ: Раскрыть скобкиДля КНФ: Воспользоваться дистрибутивным законом так, что бы дизъюнкции выполнялись раньше конъюнкций


Обозначение нормальные формы

Свойства:

  • тогда и только тогда, если .

  • тогда и только тогда, если

  • тогда и только тогда, если


Разложение функций по переменным

Всякую логическую функцию можно представить в виде:

где 1 ≤ k ≤ n


Пример разложения переменным


Следствие 1. переменным

Разложение по k-ой переменной:


Следствие 2. переменным

Разложение по всем переменным:

Следствие: всякая логическая функция представима в сигнатуре алгебры логики.


Совершенные нормальные формы переменным

Совершенная ДНФ: ДНФ, содержащая только полные и правильные конъюнкции

Пример:

Совершенная КНФ: КНФ, содержащая только полные и правильные дизъюнкции

Пример:


Построение СДНФ переменным

Построить ДНФ:

  • Перейти в сигнатуру алгебры логики (

  • Преобразовать отрицания, оставив их только над элементарными переменными

  • Раскрыть скобки

    Преобразовать ДНФ в СДНФ:

  • Удалить повторяющиеся ЭК (оставив только одну)

  • Сделать все ЭК правильными

  • Сделать все ЭК полными

  • Повторить шаги 3 и 4


Удаление повторяющихся ЭК переменным

Если в формуле несколько одинаковых ЭК, то оставляем только одну


Преобразование ЭК в правильные переменным

1. Если в ЭК переменная входит со своим отрицанием, удаляем эту ЭК из формулы

2. Если в ЭК переменная входит несколько раз, удаляем повторяющиеся переменные


Преобразование ЭК в полные переменным

Если в ЭК не входит некоторая переменная, то дописываем к ней дизъюнкцию этой переменной с её отрицанием:


Построение СКНФ переменным

Построить КНФ:

  • Перейти в сигнатуру алгебры логики (

  • Преобразовать отрицания, оставив их только над элементарными переменными

  • Применить дистрибутивный закон, что бы все дизъюнкции выполнялись раньше конъюнкций

    Преобразовать КНФ в СКНФ:

  • Удалить повторяющиеся ЭД (оставив только одну)

  • Сделать все ЭД правильными

  • Сделать все ЭД полными

  • Повторить шаги 3 и 4


Преобразование ЭД в полные переменным

Если в ЭД не входит некоторая переменная, то дописываем к ней конъюнкцию этой переменной с её отрицанием:


Построение СДНФ по таблиц переменнымe истинности

СДНФ:


Построение С переменнымКНФ по таблицe истинности

СКНФ:


С использованием принципа двойственности

Возьмём СДНФ для

Применим отрицание:

Получили СКНФ для


ad