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# 设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为: - PowerPoint PPT Presentation

z. S 1. S 2. C. o. y. x. 二、空间曲线及其方程. 1. 空间曲线的一般方程. 设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为:. S 1 : F ( x , y , z ) = 0 S 2 : G ( x , y , z ) = 0. S 1 , S 2 的交线 C 上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此. (2). 即为交线 C 的方程, 称为 空间曲线 C 的一般方程. x 2 + y 2 =1. x + y + z =2. z. y. x. 0.

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Presentation Transcript

z

S1

S2

C

o

y

x

1. 空间曲线的一般方程

S1: F (x, y, z) = 0

S2: G (x, y, z) = 0

S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此

(2)

x2+y2=1

x+y+z=2.

z

y

x

0

2. 空间曲线的参数方程

x = x (t)

y = y (t) (3)

z = z (t)

z

O

M

t

h

A

M

y

x

z

O

M

t

A

M

y

x

(1) 动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM =  t. 从而

x = |OM | ·cosAOM = acos t

y = |OM | ·sinAOM = asin t

(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而

z = MM = vt

x = acos t

y = asin t

z = vt

z

O

M

h

t

A

M

y

x

x = acos 

y = asin 

z = b

F (x, y, z) = 0

G (x, y, z) = 0

(4)

z

H (x, y) = 0 (5)

C

o

o

y

H (x, y) = 0

z = 0

x

3. 空间曲线在坐标面上投影

x2 + y2 + z2 = 1

z

O

y

x2 + y2  1

x

(

x2 + y2 = 1

z = 0

§6 二次曲面的标准方程

1.定义

ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz +fyz + gx + hy + iz +j = 0

c,d,e,f

z

O

o

y

x

2. 几种常见二次曲面.

(1) 椭球面

1 用平面z = 0去截割, 得椭圆

2 用平面z = k去截割(要求 |k |  c), 得椭圆

特别:当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2, 表示球心在原点o, 半径为a的球面.

z

y

o

x

(2) 椭圆抛物面:

1 平面 z = k ,(k  0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆.

k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.

2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线

§1 n 阶行列式的定义

a11

a12

(1)

1.定义1

a21

a22

称数a11 a22－a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：

(－)

(＋)

a11 x1+ a12 x2 = b1

(1)

a21 x1+ a22 x2 = b2

2、二元一次 方程组的求解公式

a11 x1+ a12 x2 = b1

a21 x1+ a22 x2 = b2

(2)

——克莱姆(Gramer)法则

(3)

1.定义2

(+)

(+)

(+)

(－)

(－)

(－)

(4)

——克莱姆法则

<1> 由自然数1, 2, …, n 组成的一个有序数组i1, i2, …, in称为一个n级排列。

例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!＝6个，它们是

1 2 3;

1 3 2;

2 1 3;

2 3 1;

3 1 2;

3 2 1;

n级排列的总数为n!个。

<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。

1 3 2

2 1 3

(1 2 3)=0,

3 1 2

(3 1 2)=2,

(4 5 2 1 3)=7,

(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列

(4) 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。

6 5 3 1 2 4

6 2 3 1 5 4

( =11)

( = 8)

1 4 3 2

1 2 3 4

( =0)

( = 3)

 =2

 =0

 =2

 =3

 =1

 =1

n阶行列式

0

0

0

2 1 3

1 2 3

( = 0)

( =1)

3 1 2

1 3 2

( = 2)

( =1)

i 5 2 k 3

§2 行列式的性质

D = DT

= – D

推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。　　推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。

推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。

推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。

性质4若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。　　性质4若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。

+

性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。　　性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。

cj 表示 D 的第 j 列

ri  rj表示交换 i、j 两行

ri × k 表示第 i 行乘以 k

ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行

ri  k 表示第 i 行提出公因子 k

c1 c2

r2－ r1

D

r2  r3

r3 + 4 r2

r4 －8 r2

r4＋ 5r1

x+ x

x+ x

x+ x

(－1)i+j 称为 aij 的代数余子式，记作

§3行列式按行(列)的展开 　　　与克莱姆法则

1.定义1

= 84

+ 0

12

=72

=D,

= 24

+36

+60

=72

=D,

= 12

+84

24

=72

=D .

定理1 (Laplace展开定理) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

r2－ r1

r4 + 5 r1

r1 + 4 r2

r3－ 8 r2

§2

r4－x1r3

D4

r3－x1r2

r2－x1r1

r3－x2r2

r2－x2r1

(1)

(2)

(i=1, 2,…,n)

其中Di(i=1, 2, …, n)是用常数项b1, b2…;bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式，即：

(3)

注：在方程组(4.1)中，若所有的常数项b1= b2 = … = bn= 0，则方程组称为n元齐次线性方程组。

结论1：若齐次线性方程组(3)的系数行列式D  0，则方程组只有零解。平凡解

结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式 D = 0。非平凡解