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设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为: PowerPoint PPT Presentation


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z. S 1. S 2. C. o. y. x. 二、空间曲线及其方程. 1. 空间曲线的一般方程. 设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为:. S 1 : F ( x , y , z ) = 0 S 2 : G ( x , y , z ) = 0. S 1 , S 2 的交线 C 上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此. (2). 即为交线 C 的方程, 称为 空间曲线 C 的一般方程. x 2 + y 2 =1. x + y + z =2. z. y. x. 0.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


S 1 s 2

z

S1

S2

C

o

y

x

二、空间曲线及其方程

1. 空间曲线的一般方程

设有两块曲面S1, S2, 它们的方程依次为:

S1: F (x, y, z) = 0

S2: G (x, y, z) = 0

S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此

(2)

即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.


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x2+y2=1

x+y+z=2.

z

y

x

0

例5:柱面 x 2 + y 2 = 1与平面x+y+z=2

的交线是一个圆, 它的一般方程是


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2. 空间曲线的参数方程

将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数.

x = x (t)

y = y (t) (3)

z = z (t)

当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.


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z

O

M

t

h

A

M

y

x

例6:如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程.

解:取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).


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z

O

M

t

A

M

y

x

(1) 动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM =  t. 从而

x = |OM | ·cosAOM = acos t

y = |OM | ·sinAOM = asin t

(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而

z = MM = vt

得螺旋线的参数方程

x = acos t

y = asin t

z = vt

注:还可以用其它变量作参数.


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z

O

M

h

t

A

M

y

x

例如:令 =  t. 为参数; 螺旋线的参数方程为:

x = acos 

y = asin 

z = b

当从0变到0 +是, z由b0变到 b0+ b ,

即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.

特别, 当 = 2时, M点上升高度h = 2 b,

在工程上称 h = 2 b为螺距.


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F (x, y, z) = 0

G (x, y, z) = 0

(4)

z

由方程组(4)消去z后得方程

H (x, y) = 0 (5)

空间曲线 C 在 x O y 面上的

投影

曲线必定包含于:

C

o

o

y

H (x, y) = 0

z = 0

x

3. 空间曲线在坐标面上投影

设空间曲线C的一般方程

方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,

曲线 C 一定在柱面上.


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注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.


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椭圆柱面

例7:已知两个球面的方程分别为:

x2 + y2 + z2 = 1

和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.

解:联立两个方程消去 z ,得

两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为


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z

O

y

x2 + y2  1

x

(

圆柱面)

例8:

设一个立体由上半球面        和锥面

所围成, 求它在xoy面上的投影.

解:半球面与锥面的交线为

由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1

于是交线C在xoy面上的投影曲线为

x2 + y2 = 1

z = 0

这是xoy面上的一个圆.

所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2  1


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§6 二次曲面的标准方程

由x, y, z的二次方程:

1.定义

ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz +fyz + gx + hy + iz +j = 0

所表示的曲面, 称为二次曲面.

其中a, b, …, i, j为常数且a, b, 不全为零.

c,d,e,f

研究方法是采用平面截痕法.


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z

O

o

y

x

2. 几种常见二次曲面.

(1) 椭球面

1 用平面z = 0去截割, 得椭圆

2 用平面z = k去截割(要求 |k |  c), 得椭圆

当 |k |  c时, |k |越大, 椭圆越小;

当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.


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3 类似地, 依次用平面x = 0,平面 y = 0截割, 得椭圆:

  特别:当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2, 表示球心在原点o, 半径为a的球面.


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z

y

o

x

(2) 椭圆抛物面:

1 平面 z = k ,(k  0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆.

k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.

2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线


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3 类似地,用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.


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§1 n 阶行列式的定义

一、二阶行列式的概念

a11

a12

(1)

1.定义1

设有数表

a21

a22

  称数a11 a22-a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式,记为:

副对角线

主对角线

(-)

(+)


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a11 x1+ a12 x2 = b1

对于

(1)

a21 x1+ a22 x2 = b2

2、二元一次 方程组的求解公式

当a11 a22-a12 a21  0时,

得唯一解


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a11 x1+ a12 x2 = b1

a21 x1+ a22 x2 = b2

方程组(1)的解可以表示为:

(2)

——克莱姆(Gramer)法则


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(3)

二、三阶行列式

设有数表

1.定义2

引进记号:

主对角线

副对角线

(+)

(+)

(+)

(-)

(-)

(-)

称为对应于数表(3)的三阶行列式


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例 如:


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(4)

易证:

对于线性方程组


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方程组有唯一解,记

则方程组(4)的解为:

——克莱姆法则


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三、排列与逆序数

<1> 由自然数1, 2, …, n 组成的一个有序数组i1, i2, …, in称为一个n级排列。

定义3

  例如,由1,2,3可组成的三级排列共有3!=6个,它们是

1 2 3;

1 3 2;

2 1 3;

2 3 1;

3 1 2;

3 2 1;

n级排列的总数为n!个。


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<2> 一个排列中,若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时,称这一对数 is it 构成一个逆序。

一个排列中逆序的总数,称为它的逆序数。记为(i1, i2, … in),简记为 。

1 3 2

2 1 3

例如:

(1 2 3)=0,

3 1 2

(3 1 2)=2,

(4 5 2 1 3)=7,


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(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列

逆序数为奇数的排列称为奇排列

(4) 将一个排列中两个位置上的数互换,而其余不动,则称对该排列作了一次对换。

例如:

6 5 3 1 2 4

6 2 3 1 5 4

( =11)

( = 8)

1 4 3 2

1 2 3 4

( =0)

( = 3)


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定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性

结论:在 n (  2) 级排列中,奇偶排列各有 个。


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四、n阶行列式的定义

分析:

 =2

 =0

 =2

 =3

 =1

 =1


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类似地:


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定义4

n阶行列式


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0

0

0

例1计算下列n阶行列式


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0


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0


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考察:

2 1 3

1 2 3

( = 0)

( =1)

3 1 2

1 3 2

( = 2)

( =1)

行排列

列排列


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定理2n阶行列式的定义也可写成

推论:


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其列标所构成的排列为:

i 5 2 k 3

则 4 5 2 1 3是

奇排列。

例2: 选择 i 和 k ,使

成为5阶行列式中一个带负号的项

解:

可将给定的项改为行标按自然顺序,即

若取 i = 1,k = 4,

则 (1 5 2 4 3) = 4,是偶排列,

该项则带正号,

对换1,4的位置,

故 i = 4,k = 1 时该项带负号。


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§2 行列式的性质

一、行列式的性质

性质1:将行列式的行、列互换,行列式的值不变

即:

D = DT

行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。


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证:

设行列式 DT 中位于第 i 行,第 j 列的元素为 bij

显然有 bij = aji (i, j=1, 2, …; n)


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性质2互换行列式的两行(列),行列式仅改变符号

则 D=-M


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证:在 M中第 p行元素

第 q行元素

= – D


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  推论1:若行列式中有两行(列)对应元素相同,则行列式为零。

交换行列式这两行,有D = -D,故D = 0

证明:


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  性质3若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k,等于该行列式乘以数 k,即:


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证明:

  推论2:若行列式中的某行(列)全为零,则行列式为零。

  推论3:若行列式中有两行(列)的对应元素成比例,则该行列式为零。


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  性质4若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和,则该行列式等于两个行列式的和。

即:


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+

证明:


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  性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变。

即:


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记号:

用 ri 表示 D 的第 i 行

cj 表示 D 的第 j 列

ri  rj表示交换 i、j 两行

ri × k 表示第 i 行乘以 k

ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行

ri  k 表示第 i 行提出公因子 k


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例1计算行列式

解:


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c1 c2

r2- r1

例2计算行列式

解:

D


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r2  r3

r3 + 4 r2

r4 -8 r2

r4+ 5r1


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例3:计算

解:

x+ x

x+ x

x+ x


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一.拉普拉斯展开定理

余子式带上符号

(-1)i+j 称为 aij 的代数余子式,记作

§3行列式按行(列)的展开    与克莱姆法则

1.定义1

在n阶行列式

中,划去元素 aij 所在的行和列,

余下的元素按原来顺序构成的一个n-1阶行列式,

称为元素 aij 的余子式,记作 Mij,


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例如: 在四阶行列式

中,a23 的余子式 M23和代数余子式 A23,

分别为:


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考察三阶行列式

其中:A11, A12,A13 分别为a11, a12, a13的代数余子式.

三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。


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考察三阶行列式

其中:A11, A12,A13 分别为a11, a12, a13的代数余子式.

三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。


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再考察二阶行列式

二阶行列式也可由其子式的组合表示.


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例3.计算三阶行列式

解:

D =


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还可看出

= 84

+ 0

12

=72

=D,

= 24

+36

+60

=72

=D,


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以及

= 12

+84

24

=72

=D .


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  定理1 (Laplace展开定理) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

即:


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证明步骤:

<1>证


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<2>证


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<3>


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r2- r1

r4 + 5 r1

按 c2 展开

r1 + 4 r2

r3- 8 r2

例4用Laplace展开定理求例2

§2

解:


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按 c1 展开


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例5证明四阶范德蒙行列式


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r4-x1r3

D4

r3-x1r2

r2-x1r1

按c1展开

证:


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按c1展开

r3-x2r2

r2-x2r1


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推论:n阶范德蒙(Vandermonde)行列式


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定理2行列式的任一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

即:


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综合定理1和定理2,得:


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(1)

的系数行列式

二. 克莱姆法则

定理3(克莱姆法则)

设线性方程组


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(2)

(i=1, 2,…,n)

则方程组(1)有唯一解,且解可表示为:

  其中Di(i=1, 2, …, n)是用常数项b1, b2…;bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式,即:


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例3解线性方程组

解:

方程组的系数行列式

所以方程组有唯一解。


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又:


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D=-6, D1=-18, D2= 0, D3= 6, D4=-6

所以:


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(3)

  注:在方程组(4.1)中,若所有的常数项b1= b2 = … = bn= 0,则方程组称为n元齐次线性方程组。

显然有零解x1 = x2 = … = xn= 0


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  结论1:若齐次线性方程组(3)的系数行列式D  0,则方程组只有零解。平凡解

  结论2:若齐次线性方程组(3)有非零解,则系数行列式 D = 0。非平凡解


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