日本経済学会  2006年10月21日  13:10-14:00
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日本経済学会  2006年10月21日  13:10-14:00. 実現ボラティリティ. 森棟公夫 京都大学経済学部 45=35+10. アウトライン. ボラティリティとは何か? 収益率の 分散 (あるいは 標準偏差 ). なぜ分散の性質を研究するのか 効率的な市場だと,対数価格は ランダム・ウォーク に従う。   (前期値に乱数が付加されるだけ). 役に立つのか?? リスク管理 オプション価格の決定要因 ボラティリティの取引. 従来の研究は

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森棟公夫 京都大学経済学部 45=35+10

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Presentation Transcript


45 35 10

日本経済学会  2006年10月21日  13:10-14:00

実現ボラティリティ

森棟公夫

京都大学経済学部

45=35+10


45 35 10

アウトライン

  • ボラティリティとは何か?

    • 収益率の分散(あるいは標準偏差)

  • なぜ分散の性質を研究するのか

    • 効率的な市場だと,対数価格はランダム・ウォークに従う。

        (前期値に乱数が付加されるだけ)

  • 役に立つのか??

    • リスク管理

    • オプション価格の決定要因

    • ボラティリティの取引


45 35 10

  • 従来の研究は

    • ARCH (ノーベル賞) , GARCH   条件付き不均一分散モデル ,SVなど (渡辺敏明 ボラティリティ変動モデル 朝倉書店)

  • 実現ボラティリティ(Realized Volatility: RV)とは?

    • 高頻度データを使って計算したボラティリティ推定値,標本分散 (モデル不要)

  • 実現ボラティリティの長所と特徴

    • モデルを使わなくて良い。モデルのスペックエラーを避けられる

    • 容易に計算できる

  • 実現ボラティリティの未解決大問題

    • ノイズの影響

  • 実現ボラティリティの将来性

    • モデル依存型からモデルに依存しない実現ボラティリティへ:利用度高まる


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ボラティリティ分析の基礎


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ボラティリティに関する基礎知識

  • 収益率の図


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時系列分析の基礎知識

  • 自己相関係数:同一変数の,t期と(t-k)期の値の相関係数。無関係なら0,よく似ていると1に近い値を取る。

    • 自分のt時点の体重と,一年前の体重の相関係数

  • kを0とすれば,同じ値だから相関係数は1になる。(図の最初の棒)

  • 例えば,kとして50以下の正の整数をとり,相関係数をすべてのkについて計算する,これを自己相関関数という

  • 時系列の性質自己相関関数に集約

  • 図は,収益率に時系列構造がないことを示している。つまり,効率的市場仮説が支持されている。


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収益率の自己相関関数(k次ラグの相関係数)


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  • ところが,収益率の分散を見てみると,一定とは言えない。

  • 収益率の図をみると理解できるように,収益率の散らばりの幅は時間と共に変化し,かつ,大きな散らばりは固まって現れる。これをボラティティ・クラスタリングという。


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  • ボラティリティが観測できないので,収益率の二乗の自己相関関数を求める

    • 有意な相関がみつかる。自己相関係数に時系列構造が生じる。ボラティリティ・クラスタリングとは,このような時系列構造。


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ボラティリティ推定法


Arch garch sv

ARCH, GARCH, SVモデルなど盛りだくさん。

  • 収益率式とボラティリティ式の二式で構成

    • 第一式は収益率式:

    • 収益率 

    • 条件付き分散(ボラティリティ)  

    • 分散が1のホワイト・ノイズ(確率変数ということ)


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もう1個の式はボラティリティ式

  • 分散が,「過去」を所与とした上で,上式により表現できるとする。これを条件付き不均一分散 (CH)という。これは未知

      過去への依存具合をモデル化する事が必要。

  • 最もポピュラーなGARCH(1,1)モデルは,

  • ノーベル賞を貰ったEngleのARCH(アーチ)は


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二式を結びつけるのは条件付き期待値

  • 過去を条件とした,収益率の条件付き分散は


Garch

ボラティリティをGARCHで推定

  • ボラティリティーは観測不可能

    先のGARCH(1,1)の推定をする。図の収益率上下の黒線は2シグマ線で,GARCH推定により得られる。通常2シグマ線は均一分散で,直線


Realized volatility rv

ボラティリティ研究の新展開:実現ボラティリティ(Realized Volatility,RV)


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  • 一日に数十個の日中観測値があれば,一日当たり収益率と,日中収益率の標本分散=RVが計算できる。モデル不要!!これが重要!!

  • 理論的な根拠

    • Merton (1980)、高頻度のデータから求まる標本分散によって,任意の時間の条件付き分散が正確に推定できる


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例:一日当たり収益率と標本標準偏差

  • 収益率と2シグマ=      の図


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実現ボラティリティの長所と短所

  • 初等統計における標本分散だから,計算が容易。

    • ボラティリティの性質を直接検討することができる

    • 従来は,収益率だけ観測可能→GARCH

  • 漸近分布なども利用可能で,実用性が非常に高い。

  • 従来のARCH,GARCH,SVモデルのような高度の知識や複雑な計算法が不必要である

  • 問題は

    • データのavailabilityが低い。高価!!

    • 原系列は使えないので,フィルターしないといけない。

    • 観測誤差の影響が大


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実現ボラティリティの数値例

  • データの基礎的な性質を求めるために便利

    • 収益率は裾厚分布,ボラティリティは長期記憶性


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絵で見る収益率データ:基礎的な性質

  • データ:N株に関する2843日分の60分足系列から求めた標準化日次収益率


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N株 収益率:標準正規密度と比較すれば,ヒストグラムは裾厚、尖度過剰


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N株RVの時系列を見ると,クラスタリング

収益率の二乗ではなくRVを利用


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N株 収益率をRVで標準化する

収益率を各日のRVで標準化すれば,分布は標準正規に近づく


N rv logrv

N株 RVとlogRVの自己相関関数

  • クラスタリング明らか。また長期記憶性も

    • 収益率に関しては自己相関関数は有意な値が無かった。収益率の2乗については,6次まで有意だった。RVに関しては,50次以上有意


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長期記憶性の検討

自己相関関数の形状から,長期記憶性が明らかになる。

長期記憶性:昔の影響が残る


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計算ツールの紹介:差分演算子

  • ラグ:LXt=Xt-1

  • 一階差分:(1-L)Xt=Xt-LXt =Xt-Xt-1  

  • 二階差分:(1-L)2Xt=(1-2L+L2)Xt =Xt-2LXt +L2Xt

                  = Xt-2Xt-1 +Xt-2

  • 小数差分:dが小数だと,2項展開して

      (1-L)dXt=Xt +


Stationarity

定常性(Stationarity)のまとめ

  • {Xt} t=1,2,….,T が定常: 原系列が定常

    • ARMA (後で紹介)

  • 定常性?Cov(Xt Xt-k)が,時間差kに依存,時点tに依存しない

  • {(Xt-Xt-1)} ={(1-L) Xt} t=1,2,….,T が定常:差分が定常

    • ARIMA

    • ARIMA=ARMA×I

  • 小数和分 {(1-L)dXt} t=1,2,….,T が定常:小数差分が定常

    • ARFIMA あるいは FARIMA (後で紹介)

    • ARFIMA=ARMA×FI

  • 全て分析法が異なる。検定によって調べる。


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  • 1.  通常の時系列は,原系列 {Xt} が定常。

     定常性とは,Cov(Xt Xt-k)が,kに依存し,時点tに依存しないといった性質。

  • 2.  1985-1995年に集中的に研究された単位根系列あるいは和分過程{Xt}は,(Xt-Xt-1)= (1-L) Xtが定常。ランダムウォーク

         一階の差分を取ると定常になる,といわれる。

    Granger ノーベル賞

  • 3.  長期記憶過程{Xt}とは小数和分過程ともいわれるが,小数dに関して, {(1-L)dXt} が定常になる。小数差分が定常

        特にd<0.5なら,定常な長期記憶過程となる。

    • 参考:蓑谷千凰彦「金融データの統計分析」東洋経済新報社


N 0 d 0 5

長期記憶性検定 (N株に関する検定結果:0<d<0.5)

  • 修正R/S検定:

    • RVは3.9で1%有意,対数RVに関しては5.3でやはり1%有意となる

  • GPH検定:

    • RVに関するdは0.36,検定統計量は3.6で1%有意,したがって定常な長期記憶となる

  • ハースト係数:

    • RVのハースト係数は0.70,対数RVは0.79となり,ともに定常な長期記憶という結果になる

  • 局所Whittle検定:

    • R/S検定の結果と変わらない

  • パラメトリックモデルの推定:

    • 定常な長期記憶という結果になる


Garch rv

GARCHなどとRVを比較する

 比較の基準:予測平均平方誤差(MSPE)

予測にはモデルが必要。


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比較のためのMSPE基準

  • データ:RVデータは日次で2842個,その内最初の1842日を用いて推定を行い,まず1843日目だけの一日予測をする。

  • 推定を日々アップデートし,一日予測を1000回繰り返す

  • RVについても,過去データを推定し,t期のRVを予測する。それをt期の観測値と比較。

  • 比較の基準はMSPE(予測の平均平方誤差)


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予測のためのモデルの紹介

  • GARCH(ボラティリティ  観測不可)

    収益率式

    ボラティリティ式

  • RVに関するARMA法 (古典的な時系列法)

    収益率式  使わない

    ボラティリティ式


Rv arfima farima

RVに関するARFIMA(FARIMA)

  • 長期記憶を扱うためのARMAの改良

  • ARFIMA=ARMA×FI(小数和分)

    • ARFIMAモデルが一番良いということになっている。ABDL論文

      • Andersen, Bollerslev, Diebold, Labys (2003) ‘Modeling and Forecasting Realized Volatility’ Econometrica 71 529-626


Rv arfima farima1

RVに関するARFIMA(FARIMA)

  • ARFIMA

    • 収益率式使わない

    • ボラティリティ式   (ARMAの拡張)


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このような諸推定法の比較を行った

  • EGARCH (追加)

  • GARCH

  • ARMA

  • FARIMA

  • これらのモデルのMSPEを比較


1 mspe

表1  予測平均平方誤差(MSPE)の比較


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最初の4モデルの比較

結果:

  • GARCHよりRVを使うARFIMAがはるかに優れている

    • これはABDLの再確認

  • しかし,RVだけの系列を使った一変数分析。収益率RETを利用していない。RETとRVの両方使うにはVAR(複数ARMA)が適切


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VAR

  • VARモデル

  • VARを考えると,収益率とボラティリティ間の,Leverage効果も容易に分析できる。 Leverage =Causality,共相関関数の分析が利用できる。


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レバレッジは?


V arfima

VARFIMA

  • 収益率式とボラティリティ式のVAR(2式のARMA)。しかし,小数和分はどうするか??小数差分を取る

  • 長期記憶を処理

    • ボラティリティに小数差分表現を使う。簡単なモデルは


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この式の推定は困難

  • そこで,小数差分を展開して,有限項で近似する。

    • 展開は

    • VAR式は


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各         を展開すると,


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  • この式を整理して


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係数に関する制約

  • 係数には制約が含まれる

    など,高次まで続く。

  • 推定は,係数制約を無視して最小2乗法で行う。独立変数の数は211個,一日毎のupdate推定を1000回繰り返して,MSPEを求めた。


1 mspe1

表1  予測平均平方誤差(MSPE)の比較

5 RV +収益率 VAR-FIMA RV=200, RET=10 132% 217


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結論

  • この報告では,最近のボラティリティ研究を概説した

  • RVに関する計算例を示したが,長期記憶性に関する性質を含め,最近の諸結果を追認するものとなる

  • RVに関する応用は,ボラティリティ値が容易に推定可能になるため,ティックデータの利用可能性が高まるにつれ急速に広まっていくと予想される

  • 予測では,VARFIMA=高次VARMAが最も優れている

  • RVを利用する際の最大問題は観測ノイズの処理だが,これは困難な諸問題を含む


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