5. Propiedades de Cierre de los lenguajes regulares
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5. Propiedades de Cierre de los lenguajes regulares 5.1. Introducción. 5.2. Cierre respecto a: 5.2.1 Intersección. 5.2.2 Unión. 5.2.3 Complementación. 5.2.4 Diferencia. 5.2.5 Reverso. 5.2.6 Concatenación. 5.2.7 Clausura. 5.2.8 Homomorfismos. 5.2.9 Homomorfismos inversos.

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Presentation Transcript


5 propiedades de cierre de los lenguajes regulares 5 1 introducci n 5 2 cierre respecto a

  • 5. Propiedades de Cierre de los lenguajes regulares

  • 5.1. Introducción.

  • 5.2. Cierre respecto a:

    • 5.2.1 Intersección.

    • 5.2.2 Unión.

    • 5.2.3 Complementación.

    • 5.2.4 Diferencia.

    • 5.2.5 Reverso.

    • 5.2.6 Concatenación.

    • 5.2.7 Clausura.

    • 5.2.8 Homomorfismos.

    • 5.2.9 Homomorfismos inversos.


5 propiedades de cierre de los lenguajes regulares 5 1 introducci n 5 2 cierre respecto a

1. Introducción

Un conjunto C es cerrado bajo  siix, y  C  x  y  C

2.1 Cierre respecto a Intersección

L1, L2 regulares  L1 = L(A1), L2 = L(A2) con

Ai = (Qi, , i, qi, Fi), i = 1, 2.

Construimos A = (Q, , , q0, F) con:

- Q = Q1 × Q2

- q0 = [q1, q2]

- F = F1 × F2

- ([p1, p2], a) = [1(p1, a), 2(p2, a)],

 p1  Q1 , p2  Q2 , a  

  • Demostración. Veamos que L(A) = L1  L2

  • ([p1, p2], x) = [1(p1, x), 2(p2, x)],  [p1, p2]  Q,  x  *

  • (inducción en longitud de x)


5 propiedades de cierre de los lenguajes regulares 5 1 introducci n 5 2 cierre respecto a

q1

q2

q1

q3

b

a

a

b

a

a

b

q2

 ([q1 , q1], a) = [q1 , q2] (Notación  (q11, a) = q12 )

 ([q1 , q2], b) = [q2 , q3] (Notación  (q12, b) = q23 )

 ([q2 , q3], a) = [q1 , q1] (Notación  (q23, a) = q11 )

q11

q23

a

F = F1 × F2 = {q11, q12}

a

b

q12


5 propiedades de cierre de los lenguajes regulares 5 1 introducci n 5 2 cierre respecto a

x  L(A) (q0 , x) F  ([p1, p2], x)  F 

[1(p1, x), 2(p2, x)] F1 × F2 

1(p1, x) F1 2(p2, x) F2

 x L(A1)  x L(A2) 

 x L1  x  L2 

 x L1  L2

2.2 Cierre respecto a Unión

L1, L2 regulares  L1 = L(A1), L2 = L(A2) completos con

Ai = (Qi, , i, qi, Fi), i = 1, 2.

Construimos A = (Q, , , q0, F) con:

- Q= Q1 × Q2 - q0 = [q1, q2]

- F = F1 × Q2  Q1 × F2

- ([p1, p2], a) = [1(p1, a), 2(p2, a)],

 p1  Q1 , p2  Q2 , a  


5 propiedades de cierre de los lenguajes regulares 5 1 introducci n 5 2 cierre respecto a

2.3 Cierre respecto a Complementación

L1 regular  L1 = L(A1) completo con A1 = (Q1, , 1, q1, F1)

Construimos A = (Q1, , 1, q1, Q1 -F1)

-Veamos que L(A) = L(A1)

x  L(A) 1(q1 , x) Q1 -F1

1(q1 , x) F1

x  L(A1) ( = L1)

x  L1

2.4 Cierre respecto a Diferencia

Viene de que L1 - L2 = L1 L2


5 propiedades de cierre de los lenguajes regulares 5 1 introducci n 5 2 cierre respecto a

2.5 Cierre respecto a Reverso

L1 regular  L1 = L(A1) con A1 = (Q1, , 1, q1, F1={qf}).

Se puede suponer que | F1 | =1, caso contrario...

Si construimos A = (Q1, , , qf, {q1 })

con q (p, a)  p 1(q, a)

Se cumple que L(A) = Lr

2.6 Cierre respecto a Concatenación

Construcción vista con AF


5 propiedades de cierre de los lenguajes regulares 5 1 introducci n 5 2 cierre respecto a

2.8 Cierre bajo homomorfismo.

2.9 Cierre bajo homomorfismo inverso.

L1 regular  h-1(L1) regular  h :   *

Dem.

L1 regular  L1 = L(A1) con A1 = (Q1, , 1, q1, F1).

Sea A = (Q1, , , q1, F1)

con  (p, a) = 1(p, h(a)) si 1(p, h(a)) está definido.

Se cumple que L(A) = h-1(L1)


5 propiedades de cierre de los lenguajes regulares 5 1 introducci n 5 2 cierre respecto a

L = L(A)

b

q1

q4

a

a

h(0) = aa, h(1) = b, h(2) = 

a

b

q2

q3

a

2

1

q1

q4

0,2

0

2

1

h-1(L)

q2

q3

0

2

2


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