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一、向量组线性关系的判定 PowerPoint PPT Presentation


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习 题 课. 典型例题. 一、向量组线性关系的判定. 二、求向量组的秩. 三、基础解系. 四、相关的证明. 一、向量组线性关系的判定. 研究这类问题一般有两个方法. 方法 1  从定义出发. 整理得线性方程组. 方法 2  利用矩阵的秩与向量组的秩之间关     系判定. 1.  讨论下列向量组的线性相关性. 解一. 整理得到. 解二. 2. 求向量组. =. -. =. -. -. T. T. (. 1. ,. 1. ,. 0. ,. 0. ),. (. 1. ,. 2. ,. 1. ,. 1.

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一、向量组线性关系的判定

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习 题 课

典型例题

一、向量组线性关系的判定

二、求向量组的秩

三、基础解系

四、相关的证明


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一、向量组线性关系的判定


6336912

研究这类问题一般有两个方法

方法1 从定义出发

整理得线性方程组


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方法2 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关

    系判定


6336912

1. 讨论下列向量组的线性相关性

解一


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整理得到


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解二


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2.

求向量组

=

-

=

-

-

T

T

(

1

,

1

,

0

,

0

),

(

1

,

2

,

1

,

1

),

a

a

1

2

=

-

=

-

T

T

(

0

,

1

,

1

,

1

),

(

1

,

3

,

2

,

1

),

a

a

3

4

=

-

T

(

2

,

6

,

4

,

1

)

.

a

的秩

5

二、求向量组的秩


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三、基础解系

3.用基础解系表示下列方程组的全部解.


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所以原方程组等价于

取x3=1, x4=2得x1=0, x2=0 ,

取x3=0, x4=19得x1=1, x2=7 ,

因此基础解系为

方程组的全部解为

(x1 , x2 , x3 , x4)T =c11 + c22 (c1, c2R).


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于是, 原方程组的通解为

x = c11 + c22 + ,

其中 c1 , c2是任意常数.


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4.已知矩阵

的各个列向量都是齐次线性方程组


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的解向量, 问这四个解向量能否构成方程组的基础

解系? 是多了还是少了? 多了如何去掉? 少了如何

补充?


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方程组的增广矩阵 B为

初等行变换


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因此方程组的基础解系由

个向量构成.

故矩阵 A的四个列向量不构成基础解系,

在不构成基础解系时是多了.

下面再来求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组.


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初等行变换


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由此可知矩阵 A的秩

所以矩阵A的列向量组的最大无关组由两

个向量构成, 令


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线性无关,但方程组的基础解系由

3个向量构成,因此还需补充一个解向量,这个解

向量加到向量组

后所得向量组应线性无

关.

则向量组

线性无关, 且都是解向量, 故

它即为所求的基础解系.


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5 .k取何值时, 下列方程组无解? 有唯一解?

或有无穷多解? 在有无穷多解时, 求出其全部

解.


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非齐次线性方程组有解的充要条件是,

它的系数矩阵的秩 R(A) 与增广矩阵的秩 R(B) 相

等, 即

R(A) = R(B),

且当 R(A) = R(B) = r < n ( n为未知数的个数) 时,

方组有无穷多解;

当 R(A) = R(B) = r = n时 , 有

下面对方

当 R(A) R(B) 时, 方程组无解.

唯一解;

程组的增广矩阵 B进行初等行变换.


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行变换

时,

故此时方程

组有无穷多解.

此时方程组变为:


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其保留方程组为:

解之得通解为:

为任意常数.


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时,

对 B继续施行初等行变换得

行变换

行变换

此时, 当

时, 因为

故方程组无解;

而当

时,

有唯一解.


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结论: 原方程组

时, 无解;

时, 有唯一解;

时,

有无穷多解, 其通解为

为任意常数.


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非齐次线性方程组有解的充要条件是,

它的系数矩阵的秩 R(A) 与增广矩阵的秩 R(B) 相

等, 即

R(A) = R(B),

且当 R(A) = R(B) = r < n ( n为未知数的个数) 时,

方程组有无穷多解;

当 R(A) = R(B) = r = n时 , 有


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唯一解;

当 R(A) R(B) 时, 方程组无解.

下面对方

程组的增广矩阵 B进行初等行变换.

行变换


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因为系数矩阵 A的秩

且与 k无关,

所以原方程组无唯一解;

因为

所以原方程组无解;

有无穷多解.

当方程组有无穷多解时,其通解分别求解如下:


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原方程组变为

解之得通解为

为任意常数.


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原方程组变为

解之得通解为

为任意常数.


6336912

结论: 原方程组

无唯一解;

无解;

有无穷多解;

其通解为

为任意常数;

其通解为

为任意常数.


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6.已知 Ax = b的三个特解为

(1)求对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的通解;

(2) 求 Ax = b的通解;

(3) 求满足上述要求的一个非齐次线性方程组.


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(1)由已知知方程组 Ax = b是含有

且系数行列式 A的秩

变量的方程, 即

所以它对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由

由非齐次方程组的

个向量构成.

若 1 , 2为 Ax = b的

解与齐次方程组解的关系:

故可令

解, 则1-2为 Ax = 0 的解.


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则 1 , 2为方程组 Ax = 0 的解,且 1 , 2线性无

关, 所以 1 , 2即为方程组 Ax = 0 的基础解系.


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(2)方程组 Ax = b的通解为

(3)因为

所以满足条件的方程组

Ax = b的保留方程组只有1个方程, 设为

则可得方程组


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解之得

d为任意常数.

故所求方程为

所求的一个方程组为


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7.已知三维向量组:

问t为何值时,

(1) 可由 1 , 2 , 3线性表示, 且表达式是唯

一的, 并求出表达式.

(2) 可由1 , 2 , 3线性表示,但表达式不唯一.

(3) 不能由 1 , 2 , 3线性表示.


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设   k11 + k22 + k33则可得关于

k1 , k2 , k3的线性方程组


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则本题的三个问题可转化为以下的三个等价问题:

(1)t取何值时, 方程组有唯一解;

(2)t取何值时, 方程组有无穷多解;

(3)t取何值时, 方程组无解.

方程组的增广矩阵 B为


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对增广矩阵 B进行初等行变换得

行 变 换


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由此可知

(1)当

时, 该方程组有唯

一解, 即  可由 1 , 2 , 3线性表示, 且表达式唯

这时方程组可化简为

一.

解之得


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所以此时

时,

(2)当

方程组有无穷多解, 即  可由 1 , 2 , 3线性表

示, 但表达式不唯一.

(3)当

时, 因为

所以此时方程组

无解, 即  不能由 1 , 2 , 3线性表示.


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四、相关的证明

8.设 A为 mn矩阵, B为 n s矩阵, 若

AB = O, 试证: R(A) + R(B) ≤n.

证明

方程组 Ax=0 的基础解系中恰有 n-R(A)

个线性无关的向量.

由于 AB = O , 故 B的所有列向

量都是 Ax = 0 的解向量,

因此 B的列向量中线性

无关的向量个数不会超过 n- R(A), 此即

R(B) ≤n-R(A),

于是 R(A) + R(B) ≤n .


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9.设 A,B均是 m n矩阵, 证明:

R(A + B) ≤R(A) + R(B) .

证明

设 R(A) = r , R(B) = s , 则

A有r个线性无关的行向量, 设为 1 , 2 , ··· , r ;

B有s个线性无关的行向量, 设为 1 , 2 , ··· , s ;

且 A 的任一行向量均可由 1 , 2 , ··· , r线性表

出, B的任一行向量也均可由 1 , 2 , ··· , s线性

表出,


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因此 A + B的任一行向量可由向量组

C : 1 , 2 , ··· , r , 1 , 2 , ··· , s

线性表出,

所以 R(A + B) ≤ R(C),

而 R(C) ≤ r + s = R(A) + R(B) ,

即 R(A + B) ≤ R(A) + R(B) .


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10.设 n阶方阵 A满足 A2 = A, 试证:

R(A) + R(A-E) = n .

证明

   因为 A(A - E) = A2-A = O,

故由

R(A) + R(A - E) ≤n.

又 R(A) + R(A-E)

= R(A) + R(E - A) ≥R(A+ E - A)

= R(E) = n .

综合这两个不等式便得 R(A) + R(A - E) = n.


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11.设 A是 m k矩阵, B是 k n矩阵, 试证:

R(AB) ≤ min { R(A) , R(B) } .

证明

若x是方程 Bx = 0 的解, 则它也必

是方程 ABx = 0 的解,

所以 Bx = 0 的解空间是

ABx = 0 的解空间的子空间.

而 Bx = 0 的解空间

的维数为 n-R(B) , ABx = 0 的解空间的维数为

n-R(AB) , 故


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n-R(AB) ≥n-R(B) ,

于是得 R(AB) ≤R(B).

又 R(AB) = R[(AB)T]

= R(BTAT) ≤R(AT) = R(A),

所以 R(AB) ≤ min { R(A) , R(B) } .


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第四章  测试题

一、填空题(每小题5分,共40分).


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(每小题8分,共24分).

二、计算题


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(每小题8分,共24分).

三、证明题


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四、向量组 线性无关,问常数 满足

什么条件时,向量组

线性无关.

(12分)


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测试题答案


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