A informa o e sua representa o parte i
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A Informação e sua Representação (Parte I). A Informação e sua Representação. Em um computador são armazenados e processados apenas dados e instruções. Um computador executa operações sobre dados numéricos (os números) ou alfabéticos (letras e símbolos).

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A Informação e sua Representação (Parte I)

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Presentation Transcript


A informa o e sua representa o parte i

A Informação e sua Representação

(Parte I)


A informa o e sua representa o

A Informação e sua Representação

  • Em um computador são armazenados e processados apenas dados e instruções.

  • Um computador executa operações sobre dados numéricos (os números) ou alfabéticos (letras e símbolos).

  • É preciso definir uma forma de representar os dados, codificados em uns e zeros, que possam ser interpretados pelo computador, de forma correta e eficiente (com bom desempenho e pouco consumo de memória).


A informa o e sua representa o1

A Informação e sua Representação

Os dados podem ser:

  • Alfabéticos

    • letras, números e símbolos (codificados em ASCII e EBCDIC)

  • Numéricos

    • ponto fixo, números inteiros

    • ponto flutuante (números reais ou fracionários)

    • BCD (representação decimal codificada em binário)

  • Lógicos

    • Variáveis que possuem apenas dois valores para representação (FALSO e VERDADEIRO).


Representa o de n meros inteiros

Representação de Números Inteiros

  • Todos os dados numéricos são representados em um computador como uma seqüência de 0s e 1s.

  • Os números podem ser positivos ou negativos. As operações aritméticas, em particular a subtração, podem originar resultados negativos.

  • Um aspecto primordial a ser definido seria então como representar o sinal.

  • Como é que um computador sabe que um dado número é negativo?


Representa o de n meros inteiros1

Representação de Números Inteiros

  • A resposta a esta pergunta é que isso depende da convenção usada na representação de números.

  • As convenções mais usuais são as seguintes :

    • Representação de grandeza com sinal (sinal e magnitude)

    • Representação em complemento de 2

Outras formas de representação:

Complemento de 1: para negar o valor de um número deve-se inverter os bits do sinal (obsoleta) e Excesso de 2m-1: representação do número é dada pela soma de seu valor absoluto com 2m-1. Exemplo: Um sistema de 8 bits é chamado de excesso de 128 e um número é armazenado com seu valor real somado a 128. Ex.:-3=011111012 (-3+128=125)


Representa o de grandeza com sinal

sinal

magnitude

Representação de grandeza com sinal

  • O bit mais significativo representa o sinal:

    • 0 (indica um número positivo)

    • 1 (indica um número negativo)

  • Os demais bits representam a grandeza (magnitude).

  • O valor dos bits usados para representar a magnitude independe do sinal (sendo o número positivo ou negativo, a representação binária da magnitude será a mesma).

  • Exemplos: (8 bits)

    • 001010012 = +4110

    • 101010012 = - 4110


    Representa o de grandeza com sinal1

    Valor decimal

    Valor binário com 8 bits

    (7 + bit de sinal)

    +9

    00001001

    -9

    10001001

    +127

    01111111

    -127

    11111111

    Representação de grandeza com sinal

    Exemplos: (8 bits)

    Assim, uma representação em binário com n bits teria disponível para a representação do número n-1 bits (o bit mais significativo representa o sinal).


    Representa o de grandeza com sinal2

    Representação de grandeza com sinal

    • Apresenta uma grande desvantagem: ela exige um grande número de testes para se realizar uma simples soma de dois números inteiros.

    • Requer que na UAL existam dois circuitos distintos para a adição e a subtração.

    • Existem duasrepresentações para o zero.


    Representa o em complemento de 2

    Representação em complemento de 2

    • Representação de números inteiros positivos

      • igual à representação de grandeza com sinal.

    • Representação de números inteiros negativos

      • mantém-se os bits menos significativos da direita para a esquerda até à ocorrência do primeiro bit igual a 1 (inclusive), sendo os bits restantes complementados de 1.

      • Esta operação equivale a realizar: complemento de 1 + 1.

    Exemplo : (8 bits)

    000011002 = +1210

    11110100c2 = -1210

    Exemplo : (8 bits)

    001010012 = +4110

    11010111c2 = -4110


    Representa o em complemento de 21

    Representação em complemento de 2

    Exemplo: Números inteiros codificados embinário de 8 bitsem um sistema que utiliza complemento de 2:

    (-128, -127, ..., -2. -1, 0, +1, +2,..., +127)

    {10000000, 10000001, ..., 11111110, 11111111, 00000000, 00000001, 00000010, ..., 01111111}

    Bit mais significativo informação de sinal

    (0 = positivo e 1 = negativo)


    Representa o em complemento de 22

    Representação em complemento de 2

    • Requer um só circuito (somador) para fazer a adição e a subtração.

    • Há apenas uma representação para o valor 0 (disponibilidade para mais uma representação) - mais um número negativo pode ser representado (para 8 bits, pode-se representar o número –12810 100000002) .

    • A quantidade de números positivos é diferente da quantidade de números negativos.


    Representa o de n meros inteiros2

    Representação de Números Inteiros

    Exemplo:

    Escreva os números decimais abaixo nas seguintes representações: sinal e magnitude; representação em complemento de 1; representação em complemento de 2 e excesso de 128 (utilizando 8 bits, se existir representação).

    a) -1

    b) –20

    c) –127

    d) –128


    Representa o de n meros inteiros3

    Representação de Números Inteiros

    Números negativos de 8 bits expressos em 4 sistemas diferentes


    Representa o de n meros reais

    Representação de Números Reais

    • Em alguns tipos de cálculo, a faixa de variação dos números envolvidos é muito grande.

    • Exemplo:

      • 1) Massa do elétron - da ordem de 9 x 10-28 gramas

      • 2) Massa do Sol - aproximadamente igual a 2 x 1033 gramas

      • Faixa de variação: > 1060

      • Exemplo de representação (34 dígitos à esquerda do ponto decimal e 28 dígitos à direita do mesmo)

    • Como representar esses números no computador?

    1) 0000000000000000000000000000000000.0000000000000000000000000009

    2) 2000000000000000000000000000000000.0000000000000000000000000000


    Representa o de n meros reais1

    Representação de Números Reais

    • Forma usual de representação de números reais: parte inteira, vírgula (ou ponto), parte fracionária.

    • Esta representação, embora cômoda para cálculos no papel, não é adequada para processamento no computador.

    • Exemplo: 45,724


    Representa o de n meros reais2

    Representação de Números Reais

    • O número 45,724 pode ser expresso como:

      • 45,724 x 100

      • 45724 x 10-3

      • 0,45724 x 102

    • É necessário o uso de um sistema de representação de números no qual a faixa de variação dos números seja independente do número de dígitos significativos dos números representados.


    Representa o em ponto flutuante

    Representação em Ponto Flutuante

    • Uma maneira de separar a faixa de variação dos números de sua precisão consiste em representá-lo na notação científica.

      n = f x 10e

      • f - fração ou significando (ou mantissa)

      • e - expoente (inteiro positivo ou negativo)

    • Qualquer número (inteiro ou fracionário) pode ser expresso no formato número x baseexpoente, podendo-se variar a posição da vírgula e o expoente.

    • Denominação (computacional): representação em ponto flutuante (o ponto varia sua posição, modificando, em conseqüência, o valor representado).


    Representa o em ponto flutuante1

    Representação em Ponto Flutuante

    • Representação pode variar (“flutuar”) a posição da vírgula, ajustando a potência da base.

    • Exemplos:

      • 3,14 = 0,314 x 10-1 = 3,14 x 100

      • 0,000001= 0,1 x 10-5 = 1,0 x 10-6

      • 1941 = 0,1941 x 104 = 1,941 x 103

    • A faixa de variação dos números é determinada pela quantidade de dígitos do expoente e a precisão é determinada pela quantidade de dígitos do significando.


    Representa o em ponto flutuante2

    Representação em Ponto Flutuante

    • Forma normalizada: usa um único dígito antes da vírgula, diferente de zero (*).

    • Na representação computacional de números em ponto flutuante, a representação normalizada é, em geral, melhor que a não-normalizada.

      • Forma normalizada: só existe uma forma de representar um número.

      • Forma não normalizada: um mesmo número pode ser representado de diversas maneiras.

    (*) Padrão IEEE 754 para números em ponto flutuante – significando normalizado – começa com um bit 1, seguido de um ponto (vírgula) binário e pelo resto do significando (número = ± 1,_ _ ... x 2exp )

    Mantissanormalizada - começa com o ponto (vírgula) binário seguido por um bit 1 e pelo resto da mantissa (bit antes da vírgula igual a zero).


    Representa o em ponto flutuante3

    Representação em Ponto Flutuante

    Ilustração:

    • No sistema binário:

      • 110101 = 110,101x23 = 1,10101x25 = 0,0110101x27

    • Números armazenados em um computador - os expoentes serão também gravados na base dois

      • Como 310 = 112 e 7=1112

      • 110,101 x (10)11 = 1,10101x(10)101 = 0,0110101x(10)111

    • Representação normalizada - há apenas um “1” antes da vírgula

      • Exemplo: 1,10101x(10)101


    Representa o em ponto flutuante4

    Representação em Ponto Flutuante

    Algumas definições:

    • No número 1,10101x(10)101:

      • 1,10101 = significando

      • 101 = expoente

  • OBS:

    • a base binária não precisa ser explicitada

      (o computador usa sempre esta)

    • O “1” antes da vírgula, na representação normalizada – se esta for adotada, também pode ficar implícito, economizando um bit (“bit escondido”)


  • A informa o e sua representa o parte ii

    A Informação e sua Representação

    (Parte II)


    Opera es aritm ticas sistema bin rio

    Operações aritméticas – Sistema Binário

    • Adição

    • Subtração

    • Multiplicação

    • Divisão

    As operações aritméticas nos sistemas binário, octal, decimal e hexadecimal obedecem a regras similares.


    Adi o sistema bin rio

    Adição – Sistema binário

    • Adiçãodeslocamento à direita na série, cada deslocamento correspondendo a adição de uma unidade.

    • Adição entre dois números de um algarismo pode-se obter resultados com um ou dois dígitos.

    • Estouro (maior algarismo é ultrapassado): Carry(transporte) ou vai-um.


    Adi o sistema bin rio1

    Adição – Sistema binário

    Regra:


    Subtra o sistema bin rio

    Subtração – Sistema binário

    • Inversa à adição deslocamento à esquerda do minuendo de tantas unidades quantas forem o subtraendo.

    • Se o minuendo é menor que o subtraendo ?

      Estourosubtrair uma unidade do minuendo ou somar uma unidade ao subtraendo da casa seguinte.

    • Estouro borrow (empréstimo) ou vem-um.


    Subtra o sistema bin rio1

    Subtração – Sistema binário

    Regra:


    Outras opera es aritm ticas multiplica o sistema bin rio

    Outras Operações Aritméticas Multiplicação – Sistema binário

    Regra

    0  0 = 0

    0  1 = 0

    1  0 = 0

    1  1 = 1

    Multiplicação pela base

    • Desloca-se os algarismos de um número para a esquerda ou a sua vírgula para a direita.


    Outras opera es aritm ticas divis o sistema bin rio

    Outras Operações Aritméticas Divisão – Sistema binário

    • Procedimento igual ao dos decimais, considerando-se apenas que: 0/1 = 0 e 1/1 = 1.

    • Divisão pela Base

    • Deslocando-se os algarismos de um número para a direita ou a sua vírgula para a esquerda.


    A informa o e sua representa o2

    A Informação e sua Representação

    • Aritmética em Sinal e Magnitude

    • Aritmética em Complemento de 2


    Aritm tica em sinal e magnitude

    Aritmética em Sinal e Magnitude

    Algoritmo para operação aritmética de adição:

    • Verificam-se os sinais dos números e efetua-se uma comparação entre eles.

    • Se ambos os números têm o mesmo sinal, somam-se as magnitudes; o sinal do resultado é o mesmo das parcelas.

    • Se os números têm sinais diferentes:

      a) identifica-se a maior das magnitudes e registra-se o seu sinal;

      b) subtrai-se a magnitude menor da maior (apenas as magnitudes);

      c) sinal do resultado é igual ao sinal da maior magnitude.


    Aritm tica em sinal e magnitude1

    Aritmética em Sinal e Magnitude

    • Exemplo: Realize as operações aritméticas a seguir (em sinal e magnitude). Considere a palavra de dados com 6 bits.

      a) (+13)10 + (+12)10 b) (+18)10 + (-11)10

      c) (-21)10 + (+10)10 d) (-17)10 + (-9)10

      e) (+17)10 + (+19)10 f) (-17)10 + (-19)10


    Aritm tica em sinal e magnitude2

    Aritmética em Sinal e Magnitude

    Solução:

    a) (+13)10 + (+12)10 b) (+18)10 + (-11)10

    c) (-21)10 + (+10)10 d) (-17)10 + (-9)10

    +13001101

    +12001100

    +25011001

    +18010010

    -11101011

    + 7000111

    -21110101

    +10001010

    - 11101011

    -17110001

    -9101001

    -26111010


    Aritm tica em sinal e magnitude3

    Aritmética em Sinal e Magnitude

    Solução:

    a) (+17)10 + (+19)10 b) (-17)10 + (-19)10

    “vai 1”

    “vai 1”

    +17010001

    +19010011

    +36100100

    -17110001

    -19110011

    -36 100100

    overflow

    Estouro (overflow) - existência de um “vai 1” para o bit de sinal.

    Faixa de representação de valores para 6 bits (em sinal e magnitude)  -31 a + 31.


    Aritm tica em sinal e magnitude4

    Aritmética em Sinal e Magnitude

    Subtração (Minuendo - Subtraendo = Resultado)

    Algoritmo para operação aritmética de subtração:

    1. Troca-se o sinal do subtraendo.

    2. Procede-se como no algoritmo da adição.


    Aritm tica em sinal e magnitude5

    Aritmética em Sinal e Magnitude

    • Exemplo: Realize as operações aritméticas a seguir (em sinal e magnitude). Considere a palavra de dados com 6 bits.

      a) (-18)10 - (+12)10

      b) (-27)10 - (-14)10

      c) (+27)10 - (+31)10

      d) (+19)10 - (-25)10


    Aritm tica em sinal e magnitude6

    Aritmética em Sinal e Magnitude

    Solução:

    a) (-18)10 - (+12)10 b) (-27)10 - (-14)10

    c) (+27)10 - (+31)10 d) (+19)10 - (-25)10

    -1210

    +1410

    -18110010

    -12101100

    -30111110

    -27111011

    +14001110

    -13 101101

    -3110

    +2510

    vai 1

    +27011011

    -31111111

    - 4100100

    +19010011

    +25011001

    +44101100

    overflow


    Aritm tica em sinal e magnitude7

    Aritmética em Sinal e Magnitude

    • O problema encontrado pelos fabricantes de computadores na implementação da ULA (Unidade Lógica e Aritmética) que efetuasse operações aritméticas com valores representados em sinal e magnitude residiu, principalmente, em dois fatores: custo e velocidade.

      • Custo - necessidade de construção de dois elementos, um para efetuar somas e outro para efetuar subtração (dois componentes eletrônicos).

      • Velocidade - ocasionada pela perda de tempo gasto na manipulação dos sinais, de modo a determinar o tipo de operação e o sinal do resultado.


    Aritm tica em sinal e magnitude8

    Aritmética em Sinal e Magnitude

    • Outro inconveniente: dupla representação para o zero , o que requer um circuito lógico específico para evitar erros de má interpretação.

    • Sistemas modernos não empregam aritmética em sinal e magnitude, a qual foi definitivamente substituída pela aritmética em complemento de 2 (no caso de representação em ponto fixo).


    Aritm tica em complemento de 2

    Aritmética em Complemento de 2

    Algoritmo para operação aritmética de adição:

    1. Somar os dois números, bit a bit, inclusive o bit de sinal.

    2. Desprezar o último “vai 1” (para fora do número), se houver.

    3. Se, simultaneamente, ocorrer “vai 1” para o bit de sinal e “vai 1” para fora do número, ou se ambos não ocorrerem, o resultado está correto.

    4. Se ocorrer apenas um dos dois “vai 1” (ou para o bit de sinal ou para fora), o resultado está incorreto. Ocorreu um overflow.

    • O overflow somente pode ocorrer se ambos os números tiverem o mesmo sinal (seja positivo ou ambos negativos) e, nesse caso, se o sinal do resultado for oposto ao dos números.


    Aritm tica em complemento de 21

    Aritmética em Complemento de 2

    Algoritmo para operação aritmética de subtração:

    1. Complementar a 2 o subtraendo, independentemente se é um valor positivo ou negativo.

    2. Somar os números, utilizando o algoritmo da adição já mostrado anteriormente.


    Aritm tica em complemento de 22

    Aritmética em Complemento de 2

    • Exemplo: Realize as operações aritméticas a seguir (em complemento de 2). Considere a palavra de dados com 6 bits.

      a) (+13)10 + (+15)10b) (+23)10 + (+20)10

      c) (+15)10 + (-13)10d) (+20)10 - (+17)10

      e) (-24)10 - (-15)10 f) (-24)10 - (+15)10


    Aritm tica em complemento de 23

    Aritmética em Complemento de 2

    Solução:

    a) (+13)10 + (+15)10 b) (+23)10 + (+20)10

    001111

    +13001101

    +15001111

    +28011100

    010100

    +23010111

    +20010100

    +43101011

    Resultado incorreto - houve “vai 1” apenas para o bit de sinal.

    Overflow - faixa de representação para 6 bits (-32 a 31)

    Resultado correto - não houve “vai 1” nem para o bit de sinal nem para fora do número.


    Aritm tica em complemento de 24

    Aritmética em Complemento de 2

    Solução:

    c) (+15)10 + (-13)10 d) (+20)10 - (+17)10

    111111

    +15001111

    -13110011

    +2000010

    111100

    +20010100

    -17101111

    +3000011

    Resultados corretos - houve “vai 1” para o bit de sinal e para fora do número; este é desprezado.


    Aritm tica em complemento de 25

    Aritmética em Complemento de 2

    Solução:

    e) (-24)10 - (-15)10 f) (-24)10 - (+15)10

    001000

    -24101000

    +15001111

    -9110111

    100000

    -24101000

    -15110001

    -39011001

    Resultado incorreto - houve “vai 1” apenas para fora do número.

    Overflow - faixa de representação para 6 bits (-32 a 31)

    Resultado correto - não houve “vai 1” para o bit de sinal nem para fora do número.


    Aritm tica em complemento de 26

    Aritmética em Complemento de 2

    Resumindo, é importante lembrar que:

    • As operações de adição e subtração são normalmente realizadas como adição.

    • As operações de subtração são realizadas como soma de complemento (minuendo mais o complemento do subtraendo).

    • Se o resultado encontrado é um valor positivo:

      • o valor decimal correspondente da magnitude é obtido por pura conversão de base 2 para base 10.

    • Se o resultado encontrado é um valor negativo:

      • O valor está representado em complemento de 2.


    Aritm tica em complemento de 27

    Aritmética em Complemento de 2

    • A aritmética em complemento de 2 requer apenas um componente (somador) para somar dois números e um componente que realize a operação de complementação.

    • O algoritmo básico refere-se, então, à soma dos números, considerando-se que os números negativos estejam representados em complemento de 2; ele acusa, também, se o resultado ultrapassar a quantidade de bits representáveis na ULA, overflow.

    Pode-se efetuar a multiplicação através de sucessivas somas e a divisão através de sucessivas subtrações (processo lento!).


    Opera es aritm ticas sistema bin rio1

    Operações aritméticas – Sistema Binário

    Observação:

    • A multiplicação em computadores pode ser feita por um artifício:

      • para multiplicar um número A por n, basta somar A com A, n vezes.

      • Por exemplo, 4 x 3 = 4 + 4 + 4.

    • A divisãotambém pode ser feita por subtrações sucessivas!

    • O que concluímos?Umaoperação aritmética pode ser realizada em computadores apenas através de somas (diretas ou em complemento)!


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