regels bij kansrekeningen
Download
Skip this Video
Download Presentation
Regels bij kansrekeningen

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 28

Regels bij kansrekeningen - PowerPoint PPT Presentation


  • 79 Views
  • Uploaded on

Regels bij kansrekeningen. aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten. Kansdefinitie van Laplace. P ( G ) =. Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P ( G 1 of G 2 ) = P ( G 1 ) + P ( G 2 ).

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Regels bij kansrekeningen' - shana


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
regels bij kansrekeningen
Regels bij kansrekeningen

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

Kansdefinitie van Laplace

P(G) =

Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt

P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2).

ComplementregelP(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis).

Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt

P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2).

  • Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je
  • trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen.

10.1

slide2

Voorbeeld somregel

  • In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers,
  • Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas.
  • a P(2 of 3 rood) = P(2 rood) +P(3 rood)
  • b P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) +P(1 groen)

4 2

4 3

6 1

6 0

.

.

=

+

≈ 0,333

10 3

10 3

4 0

4 1

6 3

6 2

.

.

=

+

≈0,667

10 3

10 3

de complementregel
De complementregel
  • P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1
  • P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)

P(minder dan 8 witte) =

P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) =

1 – P(8 witte)

10.1

het vaasmodel
Het vaasmodel
  • Bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken.
  • P(2r, 2w, 1b) = ?
  • Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans
  • Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren
  • om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken.
  • Dat kan op manieren.
  • Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren
  • om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken.
  • Dat kan op
  • P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

15 5

8 2

4 2

3 1

.

.

manieren.

2+2+1=5

8 2

4 2

3 1

.

.

8+4+3=15

15 5

10.1

slide5

a P(minstens één prijs)

  • = 1 – P(geen prijs)
  • =
  • bP(100 euro)
  • = P(1 × 100) + P(2 × 50)
  • =
  • cP(minstens 30 euro)
  • = 1 – P(minder dan 30 euro) = 1 – (P(niets) + P(10 euro) + P(20 euro))
  • =

opgave 6

≈ 0,370

≈ 0,048

≈ 0,173

slide7

opgave 21

a P(minstens 2) = 1 – P(geen of 1)

= 1 – P(geen) – P(1)

= 1 – 0,788 - · 0,22 · 0,787 ≈ 0,554

bP(zes of zeven) = P(zes) + P(zeven)

= · 0,536 · 0,476 + · 0,537 · 0,475 ≈ 0,434

c P(hoogstens 2 zakken) = P(minstens 8 slagen)

= P(8) + P(9) + P(10)

= · 0,718 · 0,292 + · 0,719 · 0,29 + 0,7110≈ 0,410

8

1

12

7

12

6

10

8

10

9

slide8

opgave 31

  • a Als er van de 10 knikkers a rood zijn en de rest zwart,
  • zijn er 10 – a zwarte knikkers.
  • b P(zwarte knikker) =
  • c P(2 zwarte knikkers) =
slide9

opgave 32

  • a P(rr) =
  • b P(zwarte en rode) = P(zr) + P(rz)
  • c Voer in y1 = (17x - 2x2)/66 en maak een tabel.
  • Je ziet dat y1 maximaal 0,545 is voor x = 4.
  • In vaas I zitten dan 4 rode en 7 zwarte knikkers
  • en in vaas II 4 rode en 2 zwarte knikkers.
slide10

In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn.

  • a P(rr) =
  • b P(rode en witte) = 2 · P(rw) =
  • c Voer in y1 = (50x – x2)/1225 en maak een tabel.
  • Je ziet dat y1 > 0,5 voor x = 22 tot en met x = 28.
  • Bij x = 22 horen 50 – 22 = 28 witte knikkers
  • en bij x = 28 horen 50 – 28 = 22 witte knikkers.
  • Dus er zitten 22 of 23 of 24 of … of 28 witte knikkers in de vaas.

opgave 37

De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn.

Er zijn 50 – p witte knikkers

bernoulli experimenten
Bernoulli-experimenten

Kansexperimenten waarbij het uitsluitend om de gebeurtenissen succes en mislukking gaat, heten Bernoulli-experimenten.

De complement-gebeurtenis van succes is mislukking.

De kans op succes geven we aan met p.

10.3

binomiaal kansexperiment
Binomiaal kansexperiment
  • Bij een binomiaal kansexperiment is :
  • n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd
  • X het aantal keer succes
  • p de kans op succes per keer
  • de kans op k keer succes is gelijk aan
  • P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k.

n

k

10.3

slide13

a n = 6 en p = = 0,4

  • P(X = 4) = · 0,44 · 0,62≈ 0,138
  • b n = 12 en p = = 0,9
  • P(Y = 10) = · 0,910 · 0,12 ≈ 0,230

opgave 45

6

4

12

10

slide16

voorbeeld

a X = het aantal keer minstens vijf ogen.

p = P(minstens 5 ogen) =

P(X≤ 10) = binomcdf(15, , 10) ≈ 0,998

b X = het aantal keer meer dan zeven ogen.

p = P(meer dan 7 ogen) =

p = P(X = 5) = binompdf(18, , 5) ≈ 0,097

som van de ogen

slide17

opgave 49

a X = het aantal keer banaan.

P(X = 5) = binompdf(10, 0.2, 5) ≈ 0,026

bX = het aantal keer appel.

P(X = 3) = binompdf(18, 0.4, 3) ≈ 0,025

cX = het aantal keer appel.

P(X ≤ 2) = binomcdf(20, 0.4, 2) ≈ 0,004

d X = het aantal keer banaan

P(X = 4) = binompdf(5, 0.2, 4) ≈ 0,006

slide18

opgave 53

a X = het aantal keer oost.

P(in B uitkomen)

= P(X = 2) = binompdf(8, , 2) ≈ 0,260

b P(in C uitkomen)

= P(X = 4) = binompdf(8, , 4) ≈ 0,026

cP(via A in B)

= P(X = 1) · P(X = 1)

= binompdf(5, , 1) · binompdf(3, , 1) ≈ 0,140

d P(ten noorden van de lijn AC)

= P(X ≤ 3) = binomcdf(8, , 3) ≈ 0,969

2

1

4

6

4

4

1

2

werkschema het maken van opgaven over binomiale kans experimenten
Werkschema: het maken van opgaven over binomiale kans-experimenten
  • Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X
  • Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf.
  • Bereken de gevraagde kans met de GR.

P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3)

P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5)

= P(X = 6) + P(X = 7)

10.4

slide20

a X = het aantal keer even.

P(X > 10) = 1 – P(X≤ 10)

= 1 – binomcdf(16, ½, 10) ≈ 0,105

b X = het aantal keer 3 ogen.

P(X < 2) = P(X ≤ 1)

= binomcdf(16, ⅙, 1) ≈ 0,227

c X = het aantal keer 6 ogen

P(X = 5)

= binompdf(16, ⅙, 5) ≈ 0,076

opgave 60

slide21

⅓ haakt voortijdig af dus ⅔ voltooit de studie.

opgave 63

p = 0,40

a 60% van 120 is 72

X = het aantal dat studie met succes voltooit.

P(X > 72) = 1 – P(X≤ 72)

= 1 – binomcdf(120, ⅔, 72) ≈ 0,925

bX = het aantal dat de studie voortijdig staakt.

P(X≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2)

= 1 – binomcdf(6, 0.40, 2) ≈ 0,456

het berekenen van n bij een binomiale verdeling
Het berekenen van n bij een binomiale verdeling

X = het aantal treffers.

Voor welke n is P(X≥ 5) > 0,9,

oftewel voor welke n is 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 ?

opgave 70

TI

1 – binomcdf(n, 0.4, 4) > 0,9

Voer in y1 = 1 – binomcdf(x, 0.4, 4).

Maak een tabel en lees af

voor n = 17 is y1 ≈ 0,874

voor n = 18 is y1 ≈ 0,906.

Dus minstens 18 vrije worpen.

Casio

1 – P(X ≤ 4) > 0,9

Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0,1 ?

Proberen geeft

voor n = 17 is P(X ≤ 4) ≈ 0,126

voor n = 18 is P(X ≤ 4) ≈ 0,094.

Dus minstens 18 vrije worpen.

10.4

de binomiale en de normale verdeling combineren

a X = het aantal optredens dat langer dan 2 uur duurt.

X is binomiaal verdeeld met n = 22 en

p = normalcdf(120, 1099, 112, 5) = 0,054…

P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3)

= 1 – binomcdf(22, 0.054…, 3) ≈ 0,030

b X = het aantal optredens dat korter duurt dan 105 minuten.

X is binomiaal verdeeld met n = 120 en

p = normalcdf(-1099, 105, 112, 5) = 0,080…

Je verwacht dat er 120 · 0,080… ≈ 10 optredens

korter duren dan een uur en drie kwartier.

De binomiale en de normale verdeling combineren

opgave 76

werkschema het berekenen van de verwachtingswaarde e x van de toevalsvariabele x
Werkschema: het berekenen van de verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X
  • Stel de kansverdeling van X op.
  • Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans.
  • Tel de uitkomsten op.
  • De som is E(X).
  • Dus E(X) = x1· P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn).

10.5

slide25

a W = uitbetaling - 2

E(W) = -2 · 0,96 + 8 · 0,03 + 48 · 0,01 = -1,20

De winstverwachting is - € 1,20 per lot.

bEen lot moet dan 2 – 1,20 = € 0,80 kosten.

opgave 79

1 keer eerste prijs van de 100

4 prijzen, 96 keer niet prijs van de 100

3 keer tweede prijs van de 100

slide26

a P(13 euro terugbetalen)

= P(twee van de drie dagen slecht weer)

= 3 · 0,42 · 0,6 = 0,288

b P(niets terugbetalen) = 0,63 = 0,216

P(6,50 euro terugbetalen) = 3 · 0,4 · 0,62 = 0,432

P(19,50 euro terugbetalen) = 0,43 = 0,064

V = de verdienste per kaart = 20 - terugbetaling

E(V) = 20 · 0,216 + 13,50 · 0,432 + 7 · 0,288 + 0,50 · 0,064 = 12,20

De eigenaar verdient naar verwachting 228 · 12,20 = 2781,60 euro.

opgave 85

de somregel voor de standaardafwijking
De somregel voor de standaardafwijking
  • Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt
  • de somregel voor de standaardafwijking
  • σx+ y = √σ2x + σ2y
  • VAR(X) = σ2x(de variantie van X)
  • σ2x+ y = σ2x + σ2y
  • dus
  • VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y)

10.5

ad