楊正宏 編著 全華科技圖書股份有限公司 印行

1. 使用C/C++語言 楊正宏 編著 全華科技圖書股份有限公司 印行

2. 第九章 排 序(1/4) • 9-1 前言 • 9-2 內部排序法(Internal Sort) • 9-2-1 交換式排序法 • 9-2-1-1 氣泡排序法(Bubble Sort) • 9-2-1-2 交換-線性選擇排序法(Linear Selection with Exchange Sort) • 9-2-1-3 過濾排序(Sifting Sort) • 9-2-1-4 快速排序法(Quick Sort) • 9-2-2 插入式排序 • 9-2-2-1 中心插入排序法(Centered Insertion Sort)

3. 第九章 排 序(2/4) • 9-2 內部排序法(Internal Sort) • 9-2-2 插入式排序 • 9-2-2-2 二元插入排序法(Binary Insertion Sort) • 9-2-2-3 謝耳排序法(Shell Sort) • 9-2-3 選擇和樹狀排序 • 9-2-3-1 線性選擇排序法(Lineal Selection Sort) • 9-2-3-2 二次選擇排序法(Quadratic Selection Sort) • 9-2-3-3 賽程排序(Tournament Sort) • 9-2-3-4 堆積排序法(Heap Sort)

4. 第九章 排 序(3/4) • 9-2 內部排序法(Internal Sort) • 9-2-3 選擇和樹狀排序 • 9-2-3-5 二元樹排序法(Binary Tree Sort) • 9-2-4 其它排序 • 9-2-4-1 合併排序法(Merge Sort) • 9-2-4-2 計數排序法(Counting Sort) • 9-2-4-3 基數排序法(Radix Sort) • 9-3 外部排序法(External Sort) • 9-3-1 直接合併排序法(Direct Merge Sort) • 9-3-2 自然合併排序法(Natural Merge Sort)

5. 第九章 排 序(4/4) • 9-3 外部排序法(External Sort) • 9-3-3 k路合併法(k-Way Merge Sort) • 9-3-4 多階段合併法(Polyphase Merge) • 9-4 排序法的效益評估

6. 前言 • 將一些資料，依照某種特定的原則或需求安排成遞增(increment)或遞減(decrement)的順序。 • 方法分為兩種：內部排序(internal sort)與外部排序(external sort)。 • 相關的名詞和性質 ： • 記憶體空間 • 效率 • 穩定性(stability)

7. 內部排序法(Internal Sort) • 交換式排序(Interchange Sort) • 原理：兩項資料互相比較，若符合交換原則(如第二項大於第一項) 。 • 氣泡排序法(Bubble Sort) • 交換線性選擇排序法(Linear Selection with Exchange Sort) • 過濾排序法(Sifting Sort) • 快速排序法(Quick Sort)

8. 氣泡排序法(1/4) • 排序的時候，讓較大的元素往下沉，或較小的元素往上浮。 • 其排序處理程序是從元素的開始位置起，相鄰的兩個元素相比較，若第i個的元素大於第(i+1)的元素，則兩元素互換，比較過所有的元素後，最大的元素將會沈到最底部。

9. 氣泡排序法(2/4) • 一陣列存有82, 16, 9, 95, 27, 75, 42, 69和34等九個值， 利用氣泡排序法排序 表格中粗體字表示正在比較 移動次數 次 一 第 次 二 第 次 三 第 次 四 第 次 五 第 次 六 第 次 七 第 次 八 第 1 82 16 16 16 16 16 16 16 2 16 82 9 9 9 9 9 9 3 9 9 82 82 82 82 82 82 資 4 95 95 95 27 27 27 27 27 料 5 27 27 27 95 75 75 75 75 數 6 75 75 75 75 95 42 42 42 7 42 42 42 42 42 95 69 69 8 69 69 69 69 69 69 95 34 9 34 34 34 34 34 34 34 95

10. 氣泡排序法(3/4) • 重覆每一個循環都會把巡視到的最大元素放在巡視範圍內最低的位置，且每次循環的巡視範圍都比前一次循環少一個元素，如此重覆至一個循環中都沒有互換產生才停止。

11. 氣泡排序法(4/4) • 效率： • 每次循環所作的比較依序是(n-1), (n-2), (n-3), ..., 2, 1，合計所需的比較次數序：(n-1) + (n-2) + … + 2 + 1 = n(n-1)/2次。 • 每一循環所作的互換元素的次數為(n-1), (n-2), ..., 2, 1，共需(n-1) + (n-2) + … + 2 + 1 = n(n－1)/2的互換動作。 • 效率 f(n) = O(n2)。

12. 氣泡排序法演算法 1Procedure Bubble_Sort(p,n) 2 flag  1 3 for i0 to n-1 do 4 if flag=0 then return 5 flag0 6 for j0 to n-1 do 7 if p(j+1)<p(j) then 8 swap p(j),p(j+1) 9 flag1 10 end 11 end 12 end 13end

13. 交換-線性選擇排序法(1/3) • 找出陣列中最小的資料(a[lower])，然後與陣列中第一個位置上的資料(a[0])交換。 • 接著進行循環(在陣列中找出最小值)，從剩餘的資料中(a[1]~a[n-1])，找到最小的資料與最左邊的資料(a[1])互換。 • 繼續循環，直至整個陣列都排序好。

14. 交換-線性選擇排序法(2/3)

15. 交換-線性選擇排序法(3/3) • 效率： • 在k筆資料中循序找出最小值，共需k-1次比較，而完成n筆資料的排序，共需重複此步驟n次，所以總比較次數為 • 資料交換的次數將不會超過n次，資料的次序與總比較次數無關，但與交換次數有關。 • 如資料值已由小而大排好，則總比較次數為n*(n-1)/2，但資料卻不需交換，即f(n) ＝O(n2)。 • 是最簡單的排序法，但相對它的效率較差，僅適用於元素較少的資料排序。

16. 1Procedure LSE_Sort(p,n) 2for i1 to n-1 do 3 lowerp(i) 4 addressi 5 for ji+1 to n do 6 if p(j)<lower then 7 lowerp(j) 8 addressj 9 end 10 end 11 p(address)p(i) 12 p(i)lower 13 end 14end 交換-線性選擇排序演算法

17. 過濾排序法(1/5) • 兩階段的步驟： • 和氣泡排序一樣兩兩比較，假設data[n]為現在指標(箭頭指向的位置)的資料，data[n+1]為下一筆資料，若data[n+1]<data[n]則交換。 • 交換後要重新確認data[n]筆以前的資料是否符合由小到大的規則，若沒有，則重複第一步驟。

18. ↓ 82 95 27 75 42 69 34 16 9 82 95 27 75 42 69 34 16 9 第1次比較 過濾排序法(2/5) • 原資料 • 交換後

19. 82 27 ↓ 27 82 95 ↓ 95 75 75 42 42 69 69 34 34 16 16 9 9 27 82 95 82 27 95 75 75 42 42 69 69 34 34 16 16 9 9 第2次比較 過濾排序法(3/5) 第二次交換後 指標位置

20. 27 27 27 82 75 75 75 82 82 95 42 ↓ 95 42 95 42 69 69 69 34 34 34 16 16 16 9 9 9 27 75 82 95 42 69 34 16 9 第3次比較 第4次比較 過濾排序法(4/5) 第三次交換後

21. 27 9 27 75 16 42 75 27 42 82 82 34 95 42 95 69 69 69 34 34 75 16 82 16 9 95 9 過濾排序法(5/5) 第四次交換後 第五次交換後 以下類推 … 最後結果 效率： 在最差情況下比較次數為1+2+3+….+(n-1)=n(n-1)/2，其複雜度為O(n2)。

22. 快速排序法(1/5) • 又稱分割排序法(Partition Exchange Sort) • 處理原則：Divide and Conquer • 隨機在所有元素中設定基準值，依此基準值將所有的元素分割兩部份，然後在兩邊各設一個新的基準值，再分成兩邊，如此一直分到不能再分為止。 • 撰寫程式的兩種方式： • 遞迴式 • 非遞迴式

23. 快速排序法(2/5) • 操作方式 • 選取第一個之元素 為鍵值亦即是基準值K。 • 由左至右，一直掃視到Ki > K (i = 2, 3, 4, …, n-1, n)。 • 由右至左，一直掃視到Kj < K (j = n, n-1, …, 4, 3, 2)。 • 當 時，Ri與Rj互換，否則 與Rj互換。 • (此時陣列分成兩個部份，一個是小於 ，另一半是大於 )

24. 快速排序法(3/5) • 效率： • 假設資料數量n是2的整數次方，並令n = 2m，使得m=log2n • 對於整個排序動作所需的比較總次數 • 時間複雜度為O(n*m)，也就是O(nlog2n) (共有m項)

25. 快速排序法(4/5) • 若鍵值在左邊的快速排序法，則它的最壞情況會發生在資料陣列已經排序好的狀況。 • 排序好整份資料共需比較的次數 • 對於“完全未排序”的資料，我們使用快速排序法可以有最佳狀況。 • 若是資料已經排序過，快速排序法就發揮不了作用了。這樣的現象正好與泡沫排序法相反。 ＝O(n2)

26. 快速排序法(5/5) • 缺點： • quicksort是recursive本質，很難去寫一個non-recursive演算法。 • quicksort的最差情況是O(n2)，故quicksort只在平均情況下是最佳的sorting。 • 當資料已經排序好或完全相反次序時，均需O(n2)。 • 是一種不穩定的排序法(unstable sorting method)。所需額外空間甚多，O(logn)～O(n)。

27. 快速排序演算法(1/2) Procedure Quick_Sort(p,left,right) //鍵值(key) 位於最左邊之演算法 if left<right then ileft+1;jright;divided=left ┌ loop 做數值的比較與交換迴圈 │ repeat ii+1 until p(i)>p(divided) │ repeat jj-1 until p(j)<p(divided) │ if i<j then swap p(i),p(j) │ else exit └ forever swap p(divided),p(j) //與鍵值更換// call Quick_Sort(p,left,j-1) ┐ call Quick_Sort(p,j+1,right)] ┘ //做左右兩半排序// end end

28. 快速排序演算法(2/2) Procedure Quick_Sort(p,left,right) // 鍵值位於中間之演算法 if left<right then ileft;jright; divided=(right+right)/2 ┌ loop 做數值的比較與交換迴圈 │ repeat ii+1 until p(i)>p(divided) │ repeat jj-1 until p(i)<p(divided) │ if i<j then swap p(i),p(j) │ else exit └ forever swap p(divided),p(j) //與鍵值更換// call Quick_Sort(p,left,j-1) ┐ call Quick_Sort(p,j+1,right)] ┘ //做左右兩半排序// end end

29. 插入式排序法 • 運作原則是將逐一比對後的資料插入到適當的位置中，所以對一個n個元素的陣列，進行插入式排序法時，需具備一個與資料長度n相同的輔助陣列。 • 中心插入排序法(Centered Insertion Sort) • 二元插入排序法(Binary Insertion Sort) • 謝耳排序法(Shell Sort)

30. 中心插入排序法(1/3) • 具備一個與資料長度相同的輔助陣列。 • 先將原始資料陣列中的第一個資料放入輔助陣列中間的位置。 • 設有兩個指標 Low 和 High 指向該位置，其中Low和High分別代表陣列中的所存在資料的最低和最高位址。

31. 中心插入排序法(2/3) • 從原陣列開始，依序取出一筆資料與 Low 所指的資料相比較 • 若原資料較大，則再與位置Low + 1到High間的元素相比較，一直找到一個大於它的元素，才把原資料插入於該位置上，而大於此元素的元素皆往右移一位，如向右移已沒有空位，則從插入元素前的位置至Low的位置向左移一位，Low再減1。 • 若原資料較小，則將資料放入Low-1的位置上，然後再將Low值減1，此時若Low值等於0的話，則把Low至High之間的資料往右移動，再將原資料放入第0位，High值再加1。

32. 中心插入排序法(3/3) • 效率： • 中心插入法對於一個n元素的陣列的比較作法為1, 2, 3, …, (n-1)次，共需1 + 2 + 3 + ... +(n-1 ) = n(n-1)/2。至於移動次數則可估為1+2+3＋… +(n-1) = n(n-1)/2所以其效率可估計為f(n) = O( n2 )。

33. 二元插入排序法(1/5) • 先將一筆資料插入一串有序的資料(ordered data：依大小做好排列的資料)R1, R2, …, Ri中( R1 ≤ R2 ≤ R3 ... ≤ Ri ) 。 • 一開始將輸入第一筆資料於已預先設定好的陣列長度中的第一位或是最後一位，等待第二筆資料輸入後，與其比較大小，其大小關係影響其陣列排列順序。

34. 二元插入排序法(2/5) • 第一種排序： • 將第一筆的資料放在陣列的第一位，此時的這一筆資料在整個一串資料中被當成是最小，下一筆資料和其比較的情形可分為比其大或小。 • 若下一筆資料較大：則將這一筆資料放在整個陣列中的第二位，而最小的指標依然不變。 • 若下一筆資料較小：則將第一筆輸入的資料移到陣列的第二個位置,而第二筆輸入的資料則放在第一個位置，而最小的指標則指向第二筆輸入的資料。若資料數超過三個時則必須一直比下去，直到每筆資料皆比過。但是若遇到前一筆資料比較大時便可停止。

35. 二元插入排序法(3/5) • 第二種排序： • 將第一筆的資料放在陣列的最後一位，此時的這一筆資料在整個一串資料中被當成是最大，下一筆資料和其比較的情形可分為比其大或小。 • 若較小：則將這一筆資料放在整個陣列中的倒數第二位，而最大的指標依然不變。 • 若較大：則將第一筆輸入的資料移到陣列的倒數第二個位置，而第二筆輸入的資料則放在最後第一個位置，而最大的指標則指向第二筆輸入的資料。若資料數超過三個時則必須一直比下去，但是若遇到前一筆資料比較小時便可停止。

36. 二元插入排序法(4/5) • 效率： • 執行n-1次插入的動作，所以必須對陣列中的資料做比較與交換的動作，在最差的狀況下共要做1+2+3+…+(n-1)次，經計算n(n-1)/2是O(n2)。 • 在平均的狀況下，雖然每次插入只取用一半之資料，不必取用全部資料，但是對於時間複雜度來說，其計算結果依然為O(n2)。

37. 二元插入排序法(5/5) • 特性： • 平均時間複雜度與最差時間複雜度均為O(n2)。 • 為一穩定的排序( stable sorting )。 • 需要兩個額外的記錄空間，其中一個作為虛擬記錄(dummy record)，另一個作為交換時間的暫存空間。

38. 謝耳排序法(1/5) • 由D.L. Shell所提出，方法是插入排序法演進而來，允許所要排序的元素距離較遠，目的是減少插入排序法中元素搬移的次數，增快排序的速度。 • 利用某一變數的間隔來比對其相間隔的元素。 • n個元素排序，初始間隔是 Gap = ，開始時是第i個與第 i + Gap個進行比，若第i個元素較大，則兩元素互換，反之則不互換。若有互換時則必須再與往上數Gap項比較，以決定是否再互換；若不再互換，則繼續往下比較，直到 n-Gap 次的比較，然後再互換間隔 ，重覆操作直到 Gap = 0 就停止，表示已經排序完成。

39. 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 82 82 16 16 9 9 95 95 27 27 75 75 42 42 69 69 34 34 謝耳排序法(2/5) • 原始資料： • 第一次交換：Gap= = 4

40. 27 0 1 16 2 9 3 69 34 4 75 5 42 6 7 95 8 82 27 16 9 69 34 75 42 95 82 謝耳排序法(3/5) • 分成的群組有：(0, 4, 8)，(1, 5)，(2, 6)，(3, 7)。 • 其比較先後次序如下： • 先比較(0, 4)，(1, 5)，(2, 6)，(3, 7)。 • 再比較第二部分(4, 8) • 結果： • 第二次交換：Gap=4/2=2

41. 9 0 1 16 2 27 3 69 34 4 75 5 42 6 7 95 8 82 9 16 27 69 34 75 42 95 82 謝耳排序法(4/5) • 分成的群組有：(0, 2, 4, 6, 8)，(1, 3, 5, 7)。 • 其比較先後次序如下：(0, 2)，(1, 3)，(2, 4)，(3, 5)，(4, 6)，(5, 7)，(6, 8) • 結果： • 第三次交換：Gap=2/2=1 每個資料互相比較：(0, 1)，(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，(4, 5)，(5, 6)，(6, 7)，(7, 8)

42. 9 16 27 34 42 69 75 82 95 謝耳排序法(5/5) • 結果： • 最後一次：Gap=1/2=0 排序完畢 • 效率： • 每個PASS 的比較次數最少為n-Gap 次，因此 Ｃprimary = = n(log 2 n) - n

43. 選擇和樹狀排序 • 線性選擇排序法(Linear Selection Sort) • 二次選擇排序法（Quadratic Selection Sort） • 賽程排序(Tournament Sort) • 堆積排序法(Heap Sort) • 二元樹排序法（Binary Tree Sort）

44. 線性選擇排序法(1/2) • 每執行一次循環(Pass)便從陣列中選擇最小的資料，並依序存入輸出陣列中。(參考下表) • 第一循環時(Pass1)，我們先設定Lower為p[0]，而address為0，然後從第1個資料開始依序比較，直到找到較小值：(Lower：95) 。 • (Lower：95)表示Lower值與 95 比較，其他類推。 • 此時找到較小值9，然後把Lower設定成新的較小值9，同時將Lower值之位置指定給address（即address=8）。 • Lower及address設定成新值後，再繼續比較取代，直到所有陣列資料都巡視過。

46. 線性選擇排序法(2/2) • 效率： • 對於n個資料的陣列，線性選擇法共需要n次循環，每一次循環都包含(n-1)次的比較(包括與MAXINT或Z比較)，因此線性選擇排序法總共要n*(n-1)次的比較。但這並不完全代表該排序的效率，因為它還包括移動較小值到lower及較小資料之位置到address，而移動次數完全依陣列的排列而定，例如有一排序好的陣列，那移動次數為零，若以相反順序排(最差情況下)，則需要n-1次移動(每一循環)，因此f(n) = O(n2)。

47. 線性選擇排序演算法 • 1Procedure LS_Sort(p,q,n) • 2 for i1 to n do q(i)MAXINT • 3 for i1 to n do • 4 lowerp(1) • 5 address1 • 6 counter0 • 7 for j1 to n do • 8 if p(j)<lower then • 9 lowerp(j) • 10 addressj • 11 q(i)lower • 12 countercounter+1 • 13 end • 14 if counter=0 then q(i)lower • 15 p(address)MAXINT • 16 end • 17 end 18 end

48. 二次選擇排序法(1/2) • 若原始陣列具有 n 個資料，我們可以把它劃分成部份。若 n 不是完全平方的數，我們就以緊接的完全平方數n來代。 • 劃分好後，分別從各個部份選擇最小的資料，依次放到一輔助陣列，同時把各部份的相對資料以Z取代。 • 再從輔助陣列的個資料中找到最小的資料，把它置入輸出陣列，並且以Z代表輔助陣列的該最小資料。 • 以Z代表輔助陣列的該最小資料。然後從該最小資料所屬的部份再找出一較小資料 ，再放入輔助陣列，重覆找最小資料的動作。

50. 二次選擇排序法(2/2) • 最後結果： • 效率： • 第一個最小資料的選擇需要K(L-1) + (K-1)次比較 • 每一較小資料都要有(L-1) + (K-1)次比較(包括與Z之比較) 。 • (n-1)個資料需要(n-1)[(L-1)+(K-1)]次比較。 • 總共合計：K(L-1) + (K-1) + (n-1) [(L-1) + (K-1)] = KL-1 + (n-1)(L+K-2)。 • 複雜度 f(n)=O(n3/2)。