Análisis Combinatorio

1. Análisis Combinatorio

2. Combinatoria El arte de contar “La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.” Introducción a la combinatoria Ian Anderson

3. El papiro Rhind: En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry Rhind compró en Luxor (Egipto) el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes, encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 antes de nuestra era. Comienza con la frase: “Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios.” El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia antigua conocida.

4. El papiro Rhind: Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución. Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y  trigonometría básica. El problema 79 es de combinatoria. Veamos una versión “moderna”...

5. La regla del producto Según iba a St. Ives, me crucé con un hombre con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas. ¿Cuántos iban a St. Ives? St. Ives Mother Goose (La mamá oca de San Ives)

6. Estás comiendo en el restaurante de Emile y el camarero le informa que tiene (a) dos opciones para aperitivos: sopa o jugo; (b) tres para el plato principal: carne, pescado o un plato de verduras y (c) dos para el postre: helado o pastel. ¿Cuántas opciones posibles tienes para tu comida completa?. El total de posibilidades será: 2 . 3 . 2 = 12

7. a2 a1 b3 b1 b3 b1 b2 b2 c2 c2 c2 c1 c1 c2 c1 c1 c2 c1 c2 c1 Principio multiplicativo (ilustración gráfica) El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a1 o a2. El segundo de tres maneras distintas: b1, b2o b3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c1oc2. El total de posibilidades será: 2 x 3 x 2 = 12

8. Mozart compuso un vals con 11 posibilidades distintas para14 de los 16 compases y 2 posibilidades para cada uno de los restantes. ¿Se habrán llegado a escuchar alguna vez todas las realizaciones posibles? La regla del producto o principio multiplicativo Si una elección tiene m alternativas posibles y otra n, entonces la realización de ambas tiene mxn.

9. ¿Cuántas fotografías distintas podemos hacer cambiando a los personajes de posición? ¿Cuántas permutaciones son posibles? 1 3 2 6 4 7 5

10. Permutaciones (sin repetición) Dados n objetos distintos, llamamos permutación a una ordenación particular de los n objetos en una fila. Ejemplo: Hay 6 posibles permutaciones con las tres letras a, b, c: abc, acb, bac, bca, cab, cba. El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados todos a la vez es n! (se lee “n factorial” o “factorial de n”). Usando la regla del producto: hay n posibles objetos para la primera plaza de la fila, n-1 objetos posibles para ocupar la segunda, etc..

11. Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar? Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos: {D, I, S, C, O}, que no están repetidos. El cálculo del número de permutaciones “n!” se cree que apareció por primera vez en la India. Se tiene constancia de ejemplos del año 300 antes de nuestra era. En el siglo XI la "fórmula general" era bien conocida en la India y los países árabes.

12. Existencia de infinitos números primos Podemos encontrar uno de los primeras aplicaciones del factorial en una prueba de Euclides de la existencia de infinitos números primos. Euclides argumentaba que siempre existe al menos un primo entre n y (n! + 1) de la siguiente manera: (a)n! y (n! + 1) no tienen factores comunes. (b) O bien (n! + 1) es primo o bien es factorizable: (b.1) Si (n! + 1) es primo queda demostrada la afirmación. (b.2) Si (n! + 1) puede descomponerse en factores, por (a) ninguno de ellos puede dividir a n!. De modo que cualquier factor de (n! + 1) estará entre n y (n! + 1). (b.2.1) Si el factor es primo queda demostrada la afirmación. (b.2.2) Si el factor no es primo, entonces por el mismo argumento (b.2), será mayor que n y podemos volver a descomponerlo hasta encontrar finalmente un primo mayor que n.

13. Explosión combinatoria ¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas? El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × 1067. Observa que a partir de una simple baraja obtenemos un enorme número, superior, por ejemplo, al cuadrado del número de Avogadro: 6,02 × 1023.

14. Fórmula de Stirling James Stirling presentó su fórmula en “Methodus Differentialis” publicado en 1730. La demostración de la fórmula de Stirling puede encontrarse en la mayoría de textos de análisis. Vamos a verificar la bondad de la aproximación usando el programa StirlingApproximations, que imprime: (a) n!, (b) la aproximación de Stirling y (c) el cociente de ambos valores. Observemos como ese cociente se acerca a 1 a medida que n crece. Se dice entonces que la aproximación es asintótica. A veces, al resolver un problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximación asintótica formada por funciones cuyo comportamiento es fácil de comprender que la solución exacta, cuyo comportamiento escapa a nuestra intuición.

15. Supongamos que los siete personajes de Star Treck se hacen fotografías en fila en todas las permutaciones posibles. ¿En cuántos casos Data y Picard aparecen juntos? Pensemos que Data y Picard son siameses o que van dentro de un saco. El número de posibles fotografías sería entonces de: 6! = 720. Pero además, para cada una de esas fotografías, Data puede estar a la derecha o a la izquierda de Picard. Luego el resultado es: 2x6! = 1440.

16. Varias personas se sientan a una mesa redonda. Consideraremos que dos formas de sentarse coinciden si cada persona tiene los mismos vecinosen ambos lados. ¿De cuántos modos diferentes se pueden sentar 4personas? ¿Y 7? ¿Y n? (1) La relación de vecindad se conserva en las permutaciones cíclicas yen caso de una simetría. En el caso de 4 personas, tendremos 4 permutaciones cíclicas y una simetría especular para cada una: 2 x 4 = 8 transformaciones que conserven la relación de vecindad.

17. Permutaciones cíclicas Espejo Permutaciones simétricas Como el número total de permutaciones de 4 personas es igual a 4!= 24, tendremos 24 / 8 = 3formas distintas de sentarse.

18. (2) Si hay 7 personas alrededor de la mesa,tendremos 7! /(7 x 2) =360 modos. (3) Y, en general, en el caso de n personas: n! / (n x 2)formas.

19. En una reunión deben intervenir 5 personas: A, B, C, D y E. ¿Decuántas maneras se pueden distribuir en la lista de oradores, con lacondición de que B no debe intervenir antes que A? El número total de posibles listas de oradores distintas es 5!. Podemos asociar a cada permutación del tipo: (...A...B...) la misma permutando (...B...A...). Esta última no nos vale. De modo que por cada par hay sólo una manera que satisface la condición planteada. Tendremos 5! / 2=60 maneras.

20. El mismo problema, pero con la condición de que A deba intervenirinmediatamente antes que B. Si A interviene inmediatamente antes que B, podemos considerarloscomo si fuesen un solo orador. Es decir, ahora sólo contamos las permutaciones tipo: ...AB... Tendremos entonces: 4!=24 formas.

21. Emparejamientos Dados 2n objetos distintos, ¿cuántas maneras hay de formar n parejas? Intentemos agrupar los 2n objetos usando n pares de paréntesis: ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) Hay 2n espacios vacíos y 2n objetos, luego los podemos colocar de (2n)! maneras distintas. Pero para cada paréntesis tenemos 2! = 2 ordenaciones posibles que han de contarse como una sola (dan lugar al mismo par), debemos dividir entre 2 x 2 x ... x 2 = 2n.

22. El orden en que hemos colocado los paréntesis tampoco nos importa y como hay n! maneras distintas de hacerlo, cada emparejamiento posible ha sido obtenido de hecho n! veces. Entonces el número de parejas distintas es:

23. Generalicemos el problema: dados mx n objetos, ¿cuántas maneras hay de formar n conjuntos de m objetos? Agrupemos los mx n objetos usando n paréntesis: ( , , ... , ) ( , , ... , ) ( , , ... , ) ... (, , ... , ) Haym x n espacios vacíos y m·n objetos, luego los podemos colocar de (mx n)! maneras distintas. Pero para cada paréntesis tenemos m! ordenaciones posibles que han de contarse como una sola (dan lugar a la misma m-terna). Luego hemos de dividir entre m! xm! x ... xm! = (m!)n.

24. El orden en que hemos colocado los paréntesis tampoco nos importa y como hay n! maneras distintas de hacerlo, cada emparejamiento posible ha sido obtenido de hecho n! veces. Entonces el número de maneras es:

25. Variaciones (sin repetición) Un comentarista deportivo de fútbol Argumentaba que, para conseguir el equipo ideal de entre sus 20 jugadores, un entrenador probara todas las posibilidades para dar con el 10 ideal (el portero lo daba por indiscutible). ¿Le daría tiempo en una liga?

26. Variaciones (sin repetición) Según la regla del producto, las maneras de escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden, será igual al producto de: Esta expresión se conoce como variaciones de n elementos tomados de r en r, y se representa por Vn,r. Habitualmente se expresa como: En el problema anterior:

27. ¿Cuántos números de tres cifras distintas significativas se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?.¿Y si admitimos el 0? Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse. Si admitimos el 0, como primera opción seguimos teniendo 9 números, pero ahora como segundo número podemos usar también el 0, luego tenemos 9 posibles candidatos...:

28. Variaciones con repetición Raymond Queneau escribió el libro de poemas llamado “Cent mille milliards de poèmes”. Una obra de poesía combinatoria. Constaba de 10 páginas. En cada página aparecía un soneto. Cada soneto está formado por 14 versos. Según Queneau es posible escoger como primer verso cualquiera de los primeros versos de los 10 sonetos originales, como segundo verso, el segundo verso de cualquiera de los 10 sonetos originales y así sucesivamente hasta el verso 14. Y el soneto resultante tiene sentido. ¿Hace justicia el título al libro?

29. Variaciones con repetición Según la regla del producto, las maneras de escoger r elementos de entre un total de n según un determinado orden, y con la posibilidad de repetir los elementos en cada elección, son: Esta expresión se conoce como variaciones con repetición y se representa como: Se lee: “variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r”.

30. ¿Cuántos números de tres cifras significativas se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?. ¿Y si admitimos el 0? Al tratarse de números el orden importa y además nos dice que las "cifras se pueden repetir”: Si admitimos el 0, como primera opción seguimos teniendo 9 números. Pero ahora como segundo número podemos usar también el 0, luego tenemos 10 posibles candidatos e ídem para el tercero:

31. Combinaciones (sin repetición) ¿Cuántas posibles combinados de dos bebidas podemos hacer con ginebra, vodka y tequila? Si el orden importara tendríamos 3 · 2 = 6. Pero en realidad: (g, v) = (v, g), (g, t) = (t, g) y (t, v) = (v, t), porque el orden no importa. De modo que debemos dividir entre 2: 6 / 2 = 3. ¿Cuántas posibles combinados de tres bebidas podemos hacer con ginebra, vodka, tequila y ron? De nuevo, si el orden importara tendríamos 4 · 3 · 2 = 24. Pero en realidad: (g, v, t) = (g, t, v) = (v, g, t) = etc..., porque el orden no importa. De modo que debemos dividir entre 3!: 24 / 3! = 4.

32. Combinaciones (sin repetición) ¿Cuántas posibles configuraciones de r elementos podemos construir desde un conjunto de n elementos diferentes, sin que importe el orden y no sea posible la repetición? Si el orden importara tendríamos n x (n-1) x...x (n - r + 1) posibilidades. Las podemos partir en clases, de forma que en cada clase estén aquellas configuraciones que sean la misma salvo el orden. Como hemos escogido r elementos, cada clase estará formada por las r!formas distintas de ordenar esos elementos.

33. Este número se conoce como las combinaciones de n elementos tomados de r en r y se denota por: ¿Cuántos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los 30 alumnos de una clase. (Un grupo es distinto si se diferencia por lo menos en un alumno)?. No importa el orden. No puede haber dos alumnos iguales (no hay clones) en un grupo, luego no hay repetición.

34. ¿Cuántas manos distintas pueden darse a 4 jugadores con 5 cartas cada uno y una baraja de 52 cartas? (Intenta primero una respuesta a ojo). El primer jugador puede recibir C(52, 5) manos distintas. Una vez el primer jugador tiene su mano el segundo puede recibir C(47, 5) manos distintas (5 cartas de las 47 restantes). El tercero: C(42, 5) y el cuarto: C(37, 5). Por la regla del producto tendremos un total de:

35. ¿De cuántas maneras distintas podemos pintar una tira de cinco casillas, pintando 2 de rojo y 3 de azul? Respuesta: Combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2. O de 5 elementos tomados de 3 en 3: C(5,2) = C(5,3) = 10.

36. Cualquier posible recorrido consiste en 8 movimientos a la derecha (1) y 4 movimientos hacia arriba (0). La solución es, por tanto: Cine ¿Cuántos caminos distintos podemos recorrer desde hogar a cine? (Cada movimiento debe acercarnos al cine). Hogar, dulce hogar 011010111110

37. El triángulo de Pascal (o de Tartaglia) Ejemplo: para generar el 5º elemento en la fila #7, sumamos el 4º y 5º elemento en la fila #6.

38. Fila 5, posición 2: Fila 10, posición 7: Números combinatorios

40. Identidad de Pascal

41. Demostrar la identidad de Pascal: Demostración:

42. La suma de fila enésima es el número total de subconjuntos posibles de un conjunto de n elementos = 2n Fila 5:

43. Respuesta: Imaginemos una bola cayendo por el triángulo de Pascal. Cada fila que baja puede caer hacia la derecha o hacia la izquierda. ¿Cuántos posibles caminos nos llevan a la posición 2 de la fila 7? ¿Por qué?. Imaginemos que la bola va siempre a la izquierda, 7 veces a la izquierda. Acabaremos en la posición 0 de la fila 7. Si va 5 veces a la izquierda y 2 a la derecha, independientemente del orden en que lo haga, acabará en la posición 2 de la fila 7.

44. (1)La buena de la señora Evita Gastos pretendía pasar de largo junto a la máquina de chicles de bola sin que sus gemelitos se dieran cuenta. Primer gemelo:¡Mamá yo quiero un chicle! Segundo gemelo:¡Mamá, yo también. Y lo quiero del mismo colorque el de Toñito!

45. 1 2 3 La máquina, tiene chicles de bola de color rojo y verde. Cada chicle cuesta Bs 1. No hay forma de saber el color de la próxima bola. Si la Sra. Gastos quiere estar segura de sacar dos bolas iguales, ¿cuántos bolívares tiene que estar dispuesta a gastar? "El peor de los casos posibles."

46. 1 2 3 4 1 2 n n+1 ... + 1 (2)Supongamos ahora que la máquina contiene 6 bolas rojas, 4 verdes y 5 azules. ¿Cuántas monedas necesita la señora Evita Gastos para estar segura de conseguir dos bolas iguales?. Generaliza a n conjuntos de bolas, donde cada conjunto es de un color. El peor de los casos posibles.

47. 1 2 3 4 5 6 (3)Ahora pasa por delante de la máquina la señora Notengo Plata con sus trillizos. La máquina contiene ahora 6 bolas rojas, 4 verdes y 1 azul. ¿Cuántas monedas necesita la señora para estar segura de conseguir tres bolas iguales?

48. Podríamos haber atacado el problema en forma bruta. Asignando a cada bola una letra y examinando cada una de las: posibles extraccionespara determinar cuál presenta una secuencia inicial máxima antes de que aparezcan 3 bolas idénticas. La idea “¡ajá!” consiste en establecer el caso más “desfavorable”. ¡Ajá!, Martin Gardner

49. Principio del palomar o de los cajones de Dirichlet En promedio la cabeza de una persona tiene alrededor de 150.000 cabellos. ¿Existen dos personas en Caracas con la misma cantidad de pelos en la cabeza ? El principio del palomar establece que si n palomas se distribuyen en m palomares y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. Por ejemplo: si se toman trece personas, al menos dos habrán nacido el mismo mes. El primer enunciado del principio se cree que proviene de Dirichlet en 1834 con el nombre de Schubfachprinzip ("principio de los cajones"). Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 -1859)

50. ¿Cuántas palabras distintas(con o sin sentido) podemos construir utilizando todas las letras de MISSISSIPPI? S = { 1×M, 4×I, 4×S, 2×P } Llenemos las 11 casillas: