Αριθμητική Ανάλυση Μεταπτυχιακού

1. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Αριθμητική Ανάλυση Μεταπτυχιακού Ακαδημαϊκό Έτος 2008-2009 Τετάρτη 12 , Νοεμβρίου 2008 4η Εβδομάδα

2. Θέμα: (α)ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Γ.Σ. (Iterative Methods) (β)ΑΣΤΑΘΗ Γ.Σ. – Συντελεστής αστάθειας – Conditioning

3. Π Ρ Ο Κ Α Τ Α Ρ Τ Ι Κ Α

4. Οι τρεις βασικές επαναληπτικές μέθοδοι :

5. Αριθμητικά αποτελέσματα με : Jacobi, Gauss-Seidel &SOR Η λύση του συστήματος είναι : . Ερώτημα: Ποια είναι η βασική διαφορά μεταξύ των επαναληπτικώνσχημάτων (2), (3) και (4);

6. ΜΕΛΕΤΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ

7. Παρατηρήσεις - Εφαρμογή

8. Δηλαδή, οι ιδιοτιμές τωνR είναι τα τετράγωνα των G-S , που είναι τα τετράγωνα των J, όλες δε είναι μικρότερες της μονάδας. Σημειώσεις: (1)Ο D. Young απέδειξε για την ειδική κατηγορία των Γ.Σ. που ο πίνακας των συντελεστών του αγνώστου έχει τη δομή που καλείται «PropertyA», ότι οι ιδιοτιμές μ του TJ και οι ιδιοτιμές λ του TR συνδέονται με τη σχέση: Εάν εφαρμόσουμε την (11) για ω=1 (δηλαδή G-S) τότε έχουμε την ιδιότητα: όπως συνέβη στο προηγούμενο παράδειγμά μας. • Το βέλτιστο ω συνδέεται με την ισότητα των δύο ριζών λ1 και λ2 (που η συνθήκη αυτή συνεπάγεται τον μηδενισμό της διακρίνουσας στη δευτεροβάθμια εξίσωση) που σημαίνει: απ’ όπου λαμβάνουμε: ή, με πολλαπλασιασμό του β’ μέλους με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή τελικά έχουμε:

9. Προσδιορισμόςτου βέλτιστου ω, όταν το σύστημα κέκτηται την«Property A» Άρα,όταν το σύστημα πληροί την «Property A», τότε ο προσδιορισμός του ω : έχει ανάγκη μόνο την φασματική ακτίνα του πίνακα Jacobi. Το ενδιαφέρον είναι ότι στις εφαρμογές και ιδιαίτερα στις α- ριθμητικές επιλύσεις των διαφορικών εξισώσεων τα Γ. Σ. που παρουσιάζονται ικανοποιούν την «Property A»,πράγμα που βοηθά στηναξιοποίηση της Relaxation για την ταχεία εύρεση της λύσεως του Γ.Σ. Η «Property A»,σχετίζεται με τον τρόπο κατανομής των μη-διαγώ- νιων στοιχείων του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων, σε τελική δε μορφή διαχωρίζει τους αγνώστους σε δύο ομάδες, που κάθε άγνωστος της μιάς ομάδας συνδέεται μόνον με ομοίους του

10. «Property A» (συνέχεια ) της άλλης ομάδας. • Ο τρόπος ελέγχου της «Property A»επιτυγχάνεται με τον διαχωρισμό του συνόλου των δεικτών των μη μηδενικών συντελεστών σε δύο υποσύνο- λα ξένα μεταξύ τους ,με ένωση το σύνολο των δεικτών , όπως θα δώσουμε στο παράδειγμα που ακολουθεί , για τον πίνακα Β : Βήμα 1ο: Εξετάζουμε τα μη-μηδενικά (και μη-διαγώνιο ) στοιχεία της πρώ- της γραμμής. Αυτά έχουν δείκτες (1,2)και (1,3),που σημαίνει ότι ο δείκτης 1 θα ανήκει στο πρώτο υποσύνολο, έστω αυτό το Σ, ενώ οι δύο άλλοι πρέπει να ανή- κουν στο άλλο υποσύνολο, έστω αυτό το Τ. Βήμα 2ο : Εξετάζουμε τα μη-μηδενικά (και μη-διαγώνιο ) στοιχεία της 2ης γραμμής. Αυτά είναι τα : (2,1) και (2,4). Εξ αυτών, οι δείκτες 1 και 2 έχουν ήδη

11. Διαδικασία ελέγχουτης «Property A» καταταγεί, ενώ ο δείκτης 4 σαφώς πρέπει να καταταγεί στο Σ. Βήμα 3ο : Εξετάζουμε τα μη-μηδενικά (και μη-διαγώνιο ) στοιχεία της 3ης γραμμής. Αυτά είναι τα (3,1) και (3,4), που οι δείκτες τους ανήκουν σε δια- φορετικά υποσύνολα, ως ώφειλαν για την ελεγχόμενη ιδιότητα. Βήμα 4ο : Εξετάζουμε τα μη-μηδενικά (και μη-διαγώνιο ) στοιχεία της 4ης γραμμής. Αυτά είναι τα (4,2) και (4,3), με δείκτες που έχουν ήδη καταταγεί. Έτσι έχουμε για τους δείκτες {1.4}εΣ και {2,3}εΤ, με ΣUT={1,2,3,4} και το κενό σύνολο, πράγμα που υποδηλώνει ότι ο πίνακας Β πληροί την ιδιότητα Α. Τέλος, με εναλλαγή της 2ης και 4ης γραμμής του πίνακα μαζί με την εναλλαγή και των αντίστοιχων στηλών ο Β μετασχηματίζεται σε πίνακα «con- sistently ordered» - συνεπώς διατεταγμένο - που είναι ο :

12. Διαδικασία ελέγχουτης «Property A» Παρατηρήσατε στον συνεπώς διατεταγμένο πίνακα (14) ότι οι 2 πρώτες μετα- Βλητές συνδέονται μόνον η κάθε μία τους, με τις 2 τελευταίες μεταβλητές, και αντίστροφα. (5) Οι τριδιαγώνιοι πίνακες πληρούν την«Property A» . (6) Οι block 3-διαγώνιοι πίνακες με διαγώνια στοιχεία διαγώνιους πίνακες πλη- ρουν την «Property A» . (7) Στον τριδιαγώνιο πίνακα ν-τάξεως : αποδεικνύεται, γενικώτερα, ότι οι 3 φασματικές ακτίνες είναι :

13. Σαφής υπεροχή τηςS.O.R.έναντι των 2 άλλων επαναληπτικών μεθόδων Έτσι, εάν πάρουμε ν=21, μπορούμε να έχουμε μιά γενικώτερη εικόνα,την ακό- λουθη για τις ταχύτητες σύγκλισης : πράγμα που σημαίνει ότι σε κάθε επανάληψη τηςS.O.R. το σφάλμα μειούται κατά 25% ,ενώ η J και η G-S το μειώνουν κατά 1% και 2% αντίστοιχα. Άρα, 30περίπου επαναλήψεις της J ισοδυναμούν με 1 της S.O.R. ,αφού : Προφανώς, το κλειδί της επιτυχίας της S.O.R. - που είναι ακόμη πιο εντυπω- σιακή σε μεγαλύτερες διαστάσεις- είναι το βέλτιστο ω , η επιταχυντική παρά- μετρος, για την οποία έχει γίνει εκτεταμένη έρευνα, όπως και γίνεται ακόμη και για άλλα είδη επιταχυντικών παραμέτρων - αφού Γ.Σ. με χιλιάδες αγνώστους είναι το κύριο αντικείμενο δουλειάς της συντριπτικής πλειονότητας των Η.Υ. ανά τον κόσμο - που είναι όμως πέραν των στόχων αυτών των παρουσιάσεων.

14. Ασταθή Συστήματα Ερχόμεθα τώρα στον ρεαλισμό των εφαρμογών, όπου τα διάφορα δεδομένα δεν είναι ακέραιοι αριθμοί, αλλά αριθμοί που προκύπτουν από πειραματικά κυρίως αποτελέσματα, άρα είναι δεδομένα με θόρυβο, δηλ. με ανακρίβειες. Στόχος μας δε θα είναι να περιορίσουμε κατά το δυνατό, τις συνέπειες αυ- των των ανακριβών δεδομένων στα αποτελέσματα μας. Ήδη, στην περασμένη παρουσίαση μας και σε σχέση με τους πίνακες Hilbert, που είναι γνωστοί για την αστάθεια τους, δώσαμε ένα τρόπο υπέρβασης της αβεβαιότητας της λύσης, με αύξηση της χρησιμοποιουμένης ακρίβειας των πράξεων, αντιμετώπιση που δεν λειτουργεί πάντα, πράγμα που μας οδηγεί σε μιά βαθύτερη μελέτη του προβλήματος, που την ξεκίνησαν για τα Γ.Σ. οι Newmann – Goldsteinμε μία εκτεταμένη μνημειώδη εργασία 40 περίπου σε- λίδων. Εμείς εδώ θα αρκεστούμε σε τρία θεωρήματα που θα μας εφοδιάσουν Με άνω φράγματα σε 3 σημαντικές περιπτώσεις, τις : (α) Αβεβαιότητας στο σταθερό διάνυσμα, (β) Αβεβαιότητας στον πίνακα των συντελεστών αγνώστων, (γ) Αβεβαιότητας και στο σταθερό διάνυσμα και στον πίνακα των συντελεστών των αγνώστων.

15. (α) Αβεβαιότητας στο σταθερό διάνυσμα Θεώρημα 1:Έστω Α ένας μη ιδιάζων πίνακας και δβ μια διαταραχή του σταθε- ρού διανύσματος του Γ.Σ. : τότε , φυσικά θα ικανοποιείται η εξίσωση : Θα αποδείξουμε ότι ισχύει η σχέση – άνω φράγμα στο σχετικό σφάλμα της λύσεως : Απόδειξη : Με εκτέλεση των πράξεων στην (16), παίρνουμε διαδοχικά τις : και επειδή όταν πάρουμε στάθμες από την (16) έχουμε: οπότε με διαίρεση των 2 τελευταίων και ανακατάταξη εύκολα παίρνουμε την αποδεικτέα :

16. (β) Αβεβαιότητας στον πίνακα των συντελεστών των αγνώ-στων Θεώρημα 2: Έστω Α ένας μη ιδιάζων πίνακας και δΑ μια διαταραχή του πίνακα των συντε- λεστών των αγνώστων.Στο Γ.Σ. : ισχύει το ακόλουθο φράγμα στην διαταραχή της λύσεως : Απόδειξη. Προφανώς θα ισχύει : Με εκτέλεση των πράξεων διαδοχικά έχουμε :

17. (γ) Αβεβαιότητας στον Α και το β Θεώρημα 3: Έστω Α ένας μη ιδιάζων πίνακας και δΑ , δβ διαταραχές του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων και του σταθερού διανύσματος. Στο Γ.Σ. : Εάν ισχύει η συνθήκη : Τότε αποδεικνύεται το παρακάτω άνω φράγμα : Απόδειξη . Προφανώς θα ισχύει : μετά την εκτέλεση των πράξεων και των σχετικών ανακατατάξεων, έχουμε : Λόγω των: και της :

18. Θα έχουμε διά διαιρέσεως διά της πρώτης και αντικατάστασης της δεύτερηςτην αποδεικτέα (25) :

19. Παραδείγματα : • Έστω το Γ.Σ. : Για το οποίο υποθέτουμε την αναγραφείσα αβεβαιότητα στο σταθερό διάνυσμα, οπότε για το άνω φράγμα στο σφάλμα της λύσεως , βάσει του (19), πρέπει να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα των συντελεστών των αγνώστωνμε G.-J. : καθώς επίσης και οι στάθμες αυτών, π.χ. οι άπειρες στάθμες είναι : Έτσι η (19) δίδει για τις άπειρες στάθμες : που σημαίνει ότι το μέγιστο σφάλμα που μπορεί να παρουσιασθεί είναι της τάξεως των μονάδων.

21. 2. Στο Γ.Σ. : Που ακολουθεί : η αβεβαιότητα θεωρείται ότι βρίσκεται στον πίνακα των συντελεστών των αγνώστων, οπότε κατά τα γνωστά για το φράγμα στο σφάλμα από τον (21) : αφού: Τέλος, στην προκειμένη περίπτωση μπορούμε να λύσουμε το (28), να βρούμε την λύση του και να επαληθεύσουμε την (29):

22. που γίνεται : 3. Στο Γ.Σ. : υποθέτουμε ότι υπάρχουν αμφότερες οι αβεβαιότητες και λύνουμε το :

23. Η πολύ μεγάλη απόκλιση είναι συνέπεια του μεγάλου συντελεστή αστάθειας Εάν λύσουμε το Γ.Σ. : με 1 επί πλέον δ.ψ. τότε η λύση δεν αφίσταται σημαντικά της πρώτης.