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TEMA 10 * 3º ESO

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TEMA 10 * 3º ESO. CUERPOS DE REVOLUCIÓN. TEMA 10.4 * 3º ESO. VOLÚMENES DEL CILINDRO Y CONO. VOLUMEN del PRISMA. Volumen = l.a.h. Volumen de un cuerpo es el espacio físico que ocupa. Para que exista volumen debe tener tres dimensiones: Largo, ancho y alto.

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tema 10 3 eso

TEMA 10 * 3º ESO

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

tema 10 4 3 eso

TEMA 10.4 * 3º ESO

VOLÚMENES DEL CILINDRO Y CONO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

volumen del prisma
VOLUMEN del PRISMA
  • Volumen = l.a.h
  • Volumen de un cuerpo es el espacio físico que ocupa.
  • Para que exista volumen debe tener tres dimensiones: Largo, ancho y alto.
  • El prisma regular recto es el cuerpo más representativo, por tener sus lados perpendiculares entre sí.
  • La unidad de volumen es el metro cúbico, m3, que es un cubo de 1 m de arista.
  • Cuando el cuerpo geométrico no es sólido, sino hueco, se habla de capacidad.
  • La unidad de capacidad es el litro, que es lo que cabe en un volumen de un decímetro cúbico:
  • 1 litro = 1 dm3

Alto = h

Ancho = a

Largo = l

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

principio de cavalieri
PRINCIPIO DE CAVALIERI
  • Si dos o más cuerpos de igual área de la base y la misma altura se cortan por planos paralelos a la base, y las secciones producidas por cada plano en esos cuerpos tienen la misma área, entonces esos cuerpos tienen el mismo volumen.

h

h

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

volumen del cilindro
VOLUMEN DEL CILINDRO
  • El volumen de un prisma es:
  • V = l.a.h
  • En general:
  • V = Sb.h
  • “Volumen = Superficie de la base por la altura”
  • Como el cilindro es un prisma con una base de infinito número de lados, podemos poner que su volumen es:
  • V = Sb.h
  • V = π .r2.h
  • Pues la superficie de la base es un círculo de radio r.

h

h

r

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

volumen de la pir mide
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
  • El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma que tiene idéntica superficie de la base e igual altura.
  • Por tanto:
  • V = Sb.h / 3
  • Es indiferente el polígono de la base, con tal de tener IGUAL ÁREA.
  • Para el volumen no cuenta, como se ve, ni la apotema de la pirámide ni su arista lateral.

h

h

a

l

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

volumen del cono
VOLUMEN DEL CONO
  • Un cono se puede considerar como una pirámide cuyo polígono de la base tiene infinitos lados.
  • Por tanto tenemos:
  • V = Sb.h / 3
  • V = π.r2.h / 3
  • que es el volumen de un cono.

h

h

r

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

volumen del tronco de pir mide y del tronco del cono
Volumen del Tronco de Pirámide y del Tronco del Cono
  • Un tronco de pirámide, al igual que un tronco de cono, es la región del espacio comprendido entre la base y la sección que produce un plano paralelo a la misma.
  • En ambos casos volumen será la semidiferencia de los volúmenes que producirían los dos prismas o los dos cilindros que generarían las bases.
  • Tronco de Pirámide: Tronco de cono:
  • V = (AB+Ab).h / 2 V = (π.R2 + π.r2).h / 2

a’

l’

r

h

h

R

a

l

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

ejercicio 1
Ejercicio_1
  • Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura.
  • Hallar las dimensiones de otro prisma de igual altura y volumen, sabiendo que su base es un rectángulo de doble largo que ancho.
  • El volumen del prisma regular dado será:
  • V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2
  • En el otro prisma:
  • V = Ab.h = a. l . h
  • 250 = a. 2. a .10  250 = 20.a2
  • De donde:
  • a2 = 250 / 20 = 12,5
  • a = √12,5 = 3,54 cm
  • l = 2.a = 7,08 cm

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

ejercicio 2
Ejercicio_2
  • Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura.
  • Hallar las dimensiones de un cilindro de igual altura y volumen.
  • El volumen del prima regular dado será:
  • V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2
  • En el cilindro:
  • V = Ab.h = π.r2.h
  • 250 = π.r2..10
  • de donde:
  • r2 = 250 / 31,41 = 8
  • r = √8 = 2.√2 cm

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

ejercicio 3
Ejercicio_3
  • Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura.
  • Hallar las dimensiones de una pirámide regular de igual altura y volumen, sabiendo que su base es exagonal.
  • El volumen del prima regular dado será:
  • V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2
  • En la pirámide:
  • V = Ab.h = Ab. 10
  • 250 = Ab.10  Ab = 25 cm2
  • En el exágono:
  • A = 6.l.[ l.√3 / 2) / 2
  • 25 = 6 l 2 . √3 / 4  100 / 6√3 = l 2
  • l 2 = 9,62  l = 3,10 cm es el lado del hexágono de la base.

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

ejercicio 4
Ejercicio_4
  • Una pirámide regular de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 9 cm por altura.
  • Hallar el radio de la base de un cono de igual altura y volumen.
  • El volumen de la pirámide será:
  • V = Ab.h / 3 = l 2 . h / 3 = 5 2 .9 / 3 = 25. 3 = 75 cm3
  • En el cono:
  • V = Ab. h / 3 = π. r2 . h / 3
  • 75 = π. r2. 9 / 3
  • 75 . 3 / π. 9 = r 2 8 = r 2
  • r = 2,82 cm es el radio de la base del cono.

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

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