Tema 10 3 eso
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TEMA 10 * 3º ESO. CUERPOS DE REVOLUCIÓN. TEMA 10.4 * 3º ESO. VOLÚMENES DEL CILINDRO Y CONO. VOLUMEN del PRISMA. Volumen = l.a.h. Volumen de un cuerpo es el espacio físico que ocupa. Para que exista volumen debe tener tres dimensiones: Largo, ancho y alto.

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TEMA 10 * 3º ESO

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Tema 10 3 eso

TEMA 10 * 3º ESO

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Tema 10 4 3 eso

TEMA 10.4 * 3º ESO

VOLÚMENES DEL CILINDRO Y CONO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Volumen del prisma

VOLUMEN del PRISMA

  • Volumen = l.a.h

  • Volumen de un cuerpo es el espacio físico que ocupa.

  • Para que exista volumen debe tener tres dimensiones: Largo, ancho y alto.

  • El prisma regular recto es el cuerpo más representativo, por tener sus lados perpendiculares entre sí.

  • La unidad de volumen es el metro cúbico, m3, que es un cubo de 1 m de arista.

  • Cuando el cuerpo geométrico no es sólido, sino hueco, se habla de capacidad.

  • La unidad de capacidad es el litro, que es lo que cabe en un volumen de un decímetro cúbico:

  • 1 litro = 1 dm3

Alto = h

Ancho = a

Largo = l

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Principio de cavalieri

PRINCIPIO DE CAVALIERI

  • Si dos o más cuerpos de igual área de la base y la misma altura se cortan por planos paralelos a la base, y las secciones producidas por cada plano en esos cuerpos tienen la misma área, entonces esos cuerpos tienen el mismo volumen.

h

h

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Volumen del cilindro

VOLUMEN DEL CILINDRO

  • El volumen de un prisma es:

  • V = l.a.h

  • En general:

  • V = Sb.h

  • “Volumen = Superficie de la base por la altura”

  • Como el cilindro es un prisma con una base de infinito número de lados, podemos poner que su volumen es:

  • V = Sb.h

  • V = π .r2.h

  • Pues la superficie de la base es un círculo de radio r.

h

h

r

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Volumen de la pir mide

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

  • El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma que tiene idéntica superficie de la base e igual altura.

  • Por tanto:

  • V = Sb.h / 3

  • Es indiferente el polígono de la base, con tal de tener IGUAL ÁREA.

  • Para el volumen no cuenta, como se ve, ni la apotema de la pirámide ni su arista lateral.

h

h

a

l

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Volumen del cono

VOLUMEN DEL CONO

  • Un cono se puede considerar como una pirámide cuyo polígono de la base tiene infinitos lados.

  • Por tanto tenemos:

  • V = Sb.h / 3

  • V = π.r2.h / 3

  • que es el volumen de un cono.

h

h

r

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Volumen del tronco de pir mide y del tronco del cono

Volumen del Tronco de Pirámide y del Tronco del Cono

  • Un tronco de pirámide, al igual que un tronco de cono, es la región del espacio comprendido entre la base y la sección que produce un plano paralelo a la misma.

  • En ambos casos volumen será la semidiferencia de los volúmenes que producirían los dos prismas o los dos cilindros que generarían las bases.

  • Tronco de Pirámide:Tronco de cono:

  • V = (AB+Ab).h / 2V = (π.R2 + π.r2).h / 2

a’

l’

r

h

h

R

a

l

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Ejercicio 1

Ejercicio_1

  • Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura.

  • Hallar las dimensiones de otro prisma de igual altura y volumen, sabiendo que su base es un rectángulo de doble largo que ancho.

  • El volumen del prisma regular dado será:

  • V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2

  • En el otro prisma:

  • V = Ab.h = a. l . h

  • 250 = a. 2. a .10 250 = 20.a2

  • De donde:

  • a2 = 250 / 20 = 12,5

  • a = √12,5 = 3,54 cm

  • l = 2.a = 7,08 cm

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Ejercicio 2

Ejercicio_2

  • Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura.

  • Hallar las dimensiones de un cilindro de igual altura y volumen.

  • El volumen del prima regular dado será:

  • V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2

  • En el cilindro:

  • V = Ab.h = π.r2.h

  • 250 = π.r2..10

  • de donde:

  • r2 = 250 / 31,41 = 8

  • r = √8 = 2.√2 cm

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Ejercicio 3

Ejercicio_3

  • Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura.

  • Hallar las dimensiones de una pirámide regular de igual altura y volumen, sabiendo que su base es exagonal.

  • El volumen del prima regular dado será:

  • V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2

  • En la pirámide:

  • V = Ab.h = Ab. 10

  • 250 = Ab.10Ab = 25 cm2

  • En el exágono:

  • A = 6.l.[ l.√3 / 2) / 2

  • 25 = 6 l 2 . √3 / 4 100 / 6√3 = l 2

  • l 2 = 9,62  l = 3,10 cm es el lado del hexágono de la base.

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Ejercicio 4

Ejercicio_4

  • Una pirámide regular de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 9 cm por altura.

  • Hallar el radio de la base de un cono de igual altura y volumen.

  • El volumen de la pirámide será:

  • V = Ab.h / 3 = l 2 . h / 3 = 5 2 .9 / 3 = 25. 3 = 75 cm3

  • En el cono:

  • V = Ab. h / 3 = π. r2 . h / 3

  • 75 = π. r2. 9 / 3

  • 75 . 3 / π. 9 = r 2 8 = r 2

  • r = 2,82 cm es el radio de la base del cono.

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