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行列式的计算是一个重要的问题 , 也是一个很麻烦的问题 . 对于 - PowerPoint PPT Presentation


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1.3 行列式的性质. 行列式的计算是一个重要的问题 , 也是一个很麻烦的问题 . 对于. 很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算. 阶行列式 , 当. 几乎是不可能的 . 为此有必要对行列式的性质进行研究 , 从而简. 化行列式的计算. 记. 称行列式. 为行列式. 的转置行列式. 性质 1 行列式与其转置行列式相等 , 即. 性质 2 互换行列式的两行 ( 列 ) 元素 , 则行列式变号. 推论 1 若行列式中某两行元素对应相等 , 则行列式的值为零. 等于用. 乘以行列式 , 即. 性质 3 行列式某行元素都乘以数. , 则.

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1.3 行列式的性质

行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.对于

很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算

阶行列式,当

几乎是不可能的.为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简

化行列式的计算.

称行列式

为行列式

的转置行列式.


性质1行列式与其转置行列式相等,即

性质2互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号.

推论1若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零.

等于用

乘以行列式,即

性质3行列式某行元素都乘以数


,

推论2由性质3知若行列式中某行(列)元素含有公因数

可以将数

提到行列式外.

推论3若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的

值为零.

性质4若行列式的某一行(列)是两组数之和,则这个行列式可

以写成两个行列式的和,即

此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式.


性质5把行列式中某行(列)元素的

倍加到另外一行(列)的

对应元素上去,行列式的值不变.即


6计算行列式

的值,其中

解:


7计算行列式

的值,其中

解法一:分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第

一行得


解法二:利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得

例8计算行列式

的值,其中


:

例9 计算行列式

的值,其中


加到后一列上去得

解:把前一列乘以

加到

再将第三列乘以

加到第四列上去,第二列乘以

第三列上去得

由于此时行列式的第三列和第四列相等,因此由行列式的

性质可得 .


1.5 行列式按行(列)展开

1.5.1 余子式与代数余子式

定义6在

阶行列式

中划去元素

所在的第

行和第

个元素按原来的排法

列的元素,剩下的

构成一个

的余子式,

阶的行列式,称为元素

符号

后称为元素 的代

记作

.对 冠以

数余子式,记为

,即


1.5.2 行列式按行(列)展开

引理 设

是一个

阶行列式,如果其中第

行所有元素除

外都为零,那么这个行列式的值等于

乘以它的代数

余子式

,即

定理1行列式的值等于其某行(列)元素与其代数余子式乘

积之和,即

这个定理称为行列式按行(列)展开法则.


10算行列式

的值,其中

解:


的值,其中

例11计算行列式

解:


例12 设行列式

的值.

解:

为行列式

的值等于行列式

按第二行的展开式,因此



作为定理1的推论,我们有:

推论

阶行列式的

的任意一行(列)的各元素与另一行(列)

对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即


.试求

例13:设多项式

的根.

解法一:

解得 的解为:


时,

解法二:由性质2推论3知,当

,故

的根。

由于

的4次多项式,因此,

只有4个根。


1.4 克莱姆法则

1.6.1 克莱姆(Cramer)法则

现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.

定理2如果线性方程组


的系数构成的行列式

那么线性方程组

有解,并且解是惟一的,解可以由下式给出

中第

列换成方程组的常数项

其中

是行列式

而得到的行列式.

此定理称为克莱姆法则,克莱姆法则主要解决方程个数

与未知量个数相等的方程组的求解问题,而这类方程组又

是非常特殊、非常重要的方程组.


14解方程组

解:方程组的系数行列式


由克莱姆法则得:

.

所以方程组的唯一解为:


定理3 如果齐次线性方程组

的系数构成的行列式

那么它只有零解.


1.4.2 克莱姆法则的推论

定理4若非齐次线性方程组无解或有多个解,则其系数

行列式

.

推论 :如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式

.

例15

为何值时,方程组

有非零解.

解: 由以上推论知, 当齐次线性方程组有非零解时它的系数

行列式

,即


所以

.不难验证,当

时方程组确有非零解.

取何值时,齐次线性方程组

例16 问

有非零解?

解: 由以上推论知, 当齐次线性方程组有非零解时它的系数

行列式

,即


.不难验证,当

时,该齐次线性方程组有非零解.


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