Operations research
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 36

Operations Research PowerPoint PPT Presentation


  • 76 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Operations Research. Hoorcollege week 4 Deel 2 Inleiding wachtrijsystemen De klassificatie van Kendall Het M/M/1-model R.B.J. Pijlgroms Instituut Informatica en Elektrotechniek Hogeschool van Amsterdam. Wachtrijsystemen. K enmerken van Wachtrijen. verdeling van aankomsttijd

Download Presentation

Operations Research

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Operations research

Operations Research

Hoorcollege week 4Deel 2

Inleiding wachtrijsystemen

De klassificatie van Kendall

Het M/M/1-model

R.B.J. PijlgromsInstituut Informatica en ElektrotechniekHogeschool van Amsterdam


Wachtrijsystemen

Wachtrijsystemen


K enmerken van wachtrijen

Kenmerken van Wachtrijen

  • verdeling van aankomsttijd

    • ook: interarrivaltime

  • verdeling van bedieningstijd

    • ook: servicetime

  • aantal servers of loketten

#servers

aankomsten

bedieningen


K enmerken van wachtrijen vervolg

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)

  • Verdeling van aankomst- resp. bedieningstijden

  • Notatie:

    • M : de tussenaankomsttijd is negatief exponentiëel verdeeld

    • D : de tussenaankomsttijd is constant

    • G : de tussenaankomsttijd is willekeurig verdeeld


K enmerken van wachtrijen vervolg1

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)

  • maximaal aantal toegestane klanten in het systeem

    • of ook: systeem-capaciteit

  • omvang van de gehele populatie van mogelijke klanten

  • protocol van bediening van de wachtrij


K enmerken van wachtrijen vervolg2

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)

  • Systeem-capaciteit:

    • oneindig: ‘iedereen’ kan zich als klant melden

    • eindig: bijv. de wachtruimte is beperkt! (vergelijk de printbuffer of het geheugen, beperkte ruimte in kapsalon.)


K enmerken van wachtrijen vervolg3

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)

  • De populatie (dit is ietsanders dan de systeem-capaciteit)

    • veelal oneindig (‘iedereen’ kan zich als klant melden)

    • soms eindig (vergelijk bijv. kapotte machines die zich ‘melden’)


K enmerken van wachtrijen vervolg4

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)

  • Protocol: volgorde waarin de wachtrij wordt bediend

    • FIFO - First In First Out

      • FCFS - First Come First Served

  • LIFO - Last In First Out

    • LCFS - Last Come First Served

  • SJN - Shortest Job Next

  • SIRO - Service In Random Order

  • SPT - Shortest Processing Time first

  • PR - according to PRriority


  • De k endall notatie

    De Kendall-notatie

    • de genoemde kenmerken worden afgekort volgens Kendall, bijv.:

      • M/M/1/¥/¥/FIFO

        • negatief exponentieel verdeelde aankomsttijd

        • negatief exponentieel verdeelde bedieningstijd

        • één server

        • systeem-capaciteit (= oneindige wachtruimte + 1 = ¥)

        • oneindige populatie

        • First In First Out bedieningsvolgorde


    De k endall notatie vervolg

    De Kendall-notatie(vervolg)

    • dit wordt afgekort tot M/M/1

    • voortaan meestal korte notatie

      • dus capaciteit en populatie worden dan oneindig verondersteld en volgorde is FIFO. Zoniet, dan de lange notatie.

    • Enkelevoorbeelden

      • M/M/4M/D/3/8

      • M/G/1M/M/4/4

      • D/M/2/4 M/M/2/5/5


    Notatie van kendall

    A/B/s/N/Kmet:

    A= verdeling aankomsttussentijd

    B= verdeling bedieningstijd

    s= aantal servers

    N= capaciteit van het systeem

    K= omvang van de ‘doelgroep’

    afkortingen verdelingen (d.w.z. A, B):

    M = exponentieel

    D = constant/deterministisch

    G = algemeen

    (Ek= Erlang)

    Notatie van Kendall


    Parameters wachtrijsysteem

    Parameters wachtrijsysteem

    Resumerend

    gedrag wachtrij-systeem afhankelijk van

    • aankomstproces (l en verdeling tussentijd)

    • bedieningsproces (m en verdeling bedientijd)

    • aantal loketten

    • capaciteit van het systeem

    • omvang van de doelgroep

    • bedienings-protocol


    Kendall notatie

    Kendall notatie

    oefeningen

    • kapsalon met 3 knipstoelen en 5 wachtstoelen

    • 6 machines die onderhouden worden en 1 monteur met Poisson-verdeelde bedieningsintensiteit

    • vliegtuigen die landen op 1 landingsbaan

    • Wachtrij in kantine met exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden en constante bedieningstijden


    Interessante afgeleide systeem variabelen

    Interessante afgeleide systeem-variabelen

    • r= bezettingsgraad (server utilization, percentage van de tijd dat een server bezig is waarbij s =aantal parallelle servers)

    • Pn= kans op n klanten in het systeem

    • Nq= gemiddeld aantal klanten in het systeem (bediening en wachtrij)

    • Nw= gemiddeld aantal klanten in de wachtrij

    • Tq= gemiddelde tijd dat een klant in het systeem aanwezig is (bediening en wachtrij)

    • Tw= gemiddelde tijd dat een klant in de wachtrij aanwezig is


    Overgangs en stationair gedrag

    Overgangs- en stationair gedrag

    • overgangsgedrag (vanaf t = 0)

      prestatie indicatoren als gemiddelde wachttijdTw en gem. aantal klanten in de wachtrij Nw afhankelijk van de tijd d.w.z. Tw(t), Nw(t)

    • stationair gedrag ( t=>¥)

      prestatie-indicatoren als gemiddelde wachttijd niet meer afhankelijk van de tijd (d.w.z. de waarschijnlijkheid dat systeem zich in gegeven toestand bevindt is niet tijdsafhankelijk)


    Overgangsgedrag

    Overgangsgedrag

    • geschiedenis aantal klanten in systeem = grafiek aantal klanten tegen tijd

    • Kan ook in tabel

    • Je moet het wachtrij-protocol kennen

      • FIFO (first in first out)

      • LIFO (last in first out)

      • SIRO (service in random order)

      • SPT (shortest processing time first)

      • PR (according to priority)


    Geschiedenis

    Geschiedenis

    oefening

    Nq

    • aantal bezoeken afgelegd door verpleger (N) ?

    • voor alle N bezoeken de begintijd ?

    • voor alle bezoeken de door patient in systeem doorgebrachte tijd ?

    • voor alle bezoeken de door patient in rij doorgebrachte tijd ?


    Het m m 1 model

    Het M/M/1// - model


    Het m m 1 model1

    Het M/M/1// - model

    • Negatief-exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden ( gemiddelde aankomstintensiteit = l [klanten/sec], gem. tussenaankomsttijd = l-1 [sec] ) (N.B.: l-1 =1/ l)

    • Negatief-exponentieel verdeelde bedieningstijden (gemiddelde bedieningsintensiteit = m [klanten/sec], gem. bedieningstijd Ts=m-1 [sec])

    • aantal loketten s = 1

    • Systeemcapaciteit is oneindig

    • Populatiegrootte is oneindig


    De markov keten en de evenwichtsvergelijkingen m m 1

    De Markov-keten en de evenwichtsvergelijkingen: M/M/1

    - Markov-keten.- Cirkels geven toestanden aan waarin het systeem kan verkeren.- Overganskansen i.h.a. niet constant.


    Het m m 1 model2

    Het M/M/1-model

    • In het M/M/1-model is:

      • het aankomstproces een Poisson-proces met gemiddeld l aankomsten per tijdseenheid

      • de tijd tussen het afronden van twee bedieningen negatief exp. verdeeld met gemiddeld m bedieningen per tijdseenheid

      • het aantal servers=loketten gelijk aan 1

  • Dus parameters ln en mn hangen niet van n af!!


  • Het m m 1 model vervolg

    Het M/M/1-model(vervolg)

    • Dus ln = l voor alle n=0,1,2,...

    • En mn = m voor alle n=1,2,3, ...

    • Wel moet gelden : l<m

      • anders loopt het systeem “vol”

  • De grootheidwordt de bezettingsgraad van het systeem genoemd

  • De evenwichtsvergelijkingen worden :


  • Het m m 1 model vervolg1

    l l l

    l l l

    0

    n-1

    1

    n

    2

    n+1

    3

    n+2

    m m m

    m m m

    Het M/M/1-model(vervolg)


    Het m m 1 model vervolg2

    Het M/M/1-model(vervolg)

    • Bovendien is de som van alle kansen 1


    Het m m 1 model vervolg3

    Het M/M/1-model(vervolg)

    VOORBEELD

    • Er komen op een netwerkserver gemiddeld 10 berichten per minuut binnen.

    • De gemiddelde verwerkingstijd voor een bericht is 4 seconden.

      • wat is de kans op een ‘idle server’?

      • wat is de kans op 1, 2 resp. 3 berichten in het systeem?

      • wat is de kans op minstens 4 berichten in het systeem?


    Het m m 1 model vervolg4

    Het M/M/1-model(vervolg)

    ANTWOORD

    • Eerst: l is natuurlijk 10 (berichten per minuut)

    • En: m is 15 !! (berichten per minuut)

  • Dus de bezettingsgraad r=10/15=2/3

  • De kans op een ‘idle server’ = de kans op 0 berichten in het systeem: P0 dus.


  • Het m m 1 model vervolg5

    Het M/M/1-model(vervolg)

    We vonden:Pn = rn (1-r)

    De kans op 4 of meer :1-0.333-0.222-0.148-0.099=0.198


    Nogmaals de notaties voor afgeleide systeemvariabelen

    Nogmaals de notaties voor afgeleide systeemvariabelen

    • We definieren een aantal stochasten:

      • Ns = het aantal klanten dat bediend wordt

      • Tq = de tijd die een klant in het systeem doorbrengt

        • (ook wel de doorlooptijd genoemd)

    • Tw = de tijd die een klant in de rij staat

    • Ts = de tijd die nodig is voor de bediening van een klant

    • Nq = het aantal klanten in het systeem

    • Nw = het aantal klanten in de wachtrij


    Little s result

    Little’sResult

    • We nemen voortaan aan dat alle genoemde stochasten niet afhangen van de tijd

    • Er geldt :

      Nq = Nw + Ns

      Tq = Tw + Ts

  • Bovendien geldt Little’s result:

    E(Nq) = l E(Tq)

    E(Nw) = l E(Tw) en

    E(Ns) = l E(Ts)


  • Little s result vervolg

    Little’sResult (vervolg)

    • Zoals aldooris l het gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid

    • Little heeft bewezen dat dit resultaat geldig is onafhankelijk van de aankomstverdeling!!

    • Het bewijs is abstract, het resultaat eenvoudig en aannemelijk.


    De verwachting van n q m m 1 model

    De verwachting van Nq(M/M/1-model)

    help!


    Wiskunde trucs

    wiskunde trucs!!!


    De verwachting van n q en t q

    De verwachting van Nq en Tq

    Uit het voorgaande volgt dus:(bedenk dat r=l/m < 1 )

    En dan volgt met het Result van Little:


    De verwachting van n w en t w

    De verwachting van Nw en Tw

    • De verwachte wachttijd is :

      • de verwachte totale tijd in het systeem minus de verwachte bedieningsduur


    Operations research

    The End


  • Login