第八章   立体几何
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第八章 立体几何. 8.1 空间几何体. 8.2 空间几何体的表面积和体积. 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系. 8.4 平行与垂直( 1 ). 8.5 平行与垂直( 2 ). 8.6 空间角与距离的求法. 8.7 空间向量与立体几何. 8.1 空间几何体. 知识要点. 考点剖析. 1. 棱柱的定义及表示法

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第八章 立体几何

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第八章 立体几何

8.1 空间几何体

8.2 空间几何体的表面积和体积

8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4 平行与垂直(1)

8.5 平行与垂直(2)

8.6 空间角与距离的求法

8.7 空间向量与立体几何


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8.1 空间几何体

知识要点

考点剖析


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1.棱柱的定义及表示法

有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.用表示底面各顶点的字母来表示.

提醒:有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形,这些面围成的几何体不一定是棱柱.


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2.棱柱的分类

棱柱:

3.棱柱的性质:

(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形;

(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;

(3)平行于侧棱的截面均为平行四边形.

4.棱锥的定义及表示方法

有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面所围成的多面体叫做棱锥.类比棱柱,可以得到棱


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锥的顶点、侧面、底面、侧棱的定义.表示方法可用表示顶点和底面顶点的字母表示.

提醒:正棱锥是许多高考题的载体.底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥定义为正棱锥.

5.棱台的定义及其表示

棱台来自于棱锥.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台.表示方法类似于棱柱.

6.圆柱的定义及其表示

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转

形成的面围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱


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的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱底面.圆柱用表示它的轴的字母表示,如右图为圆柱OO′.

7.圆锥、圆台类比棱锥、棱台加以定义.

8.球的定义及其表示

以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.球通常用表示球心的字母O表示,比如球O.

9.能够把简单组合体分解为若干个简单几何体.

10.中心投影与平行投影

中心投影:投影线都经过某投影中心的投影法.可在棱锥中观察.


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平行投影:所有的投影线互相平行,或投影中心在无穷远处.这种模型可在柱体中寻找.投影方向垂直于投影面时称为正投影法.

11.三视图的概念

“视图”是物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.从前向后得“正视图”,自左向右得“侧视图”,自上向下得“俯视图”.

12.简单几何体的三视图

重视圆柱、圆锥、圆台、球、正四面体的三视图.

13.直观图画法:斜二测画法.

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1

考 点

平面图与直观图的对应关系

自学范例1(1)作出平面图(左)的直观图;

(2)下图是水平放置图形的直观图,试画出它原来的图形; (3)思考平面图与其直观图之间的面积比是否总为

方法点拨:由平面图到直观图,应先在平面图中建立直角坐标系,量出相应的坐标值.再建立斜坐标系,原直角坐标系相应点中,横坐标不变,纵坐标减半,最后将相应点连线即可.


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解析

分析 首先是建系,最好是充分利用原图的信息,其次要找好平行对应关系.


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(3)均为,可先考虑矩形的直观图,再有一些微积分的思想可感知这个比值.

【点评】其实质为点在两坐标系中的对应关系,垂直关系变换后一般不再垂直.


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考 点

空间几何体的三视图

自学范例2 如右图所示的几何体为一个长方体

ABCD—A1B1C1D1裁去一个角后的多面体。画

出该几何体的三视图.

方法点拨:画几何体的三视图,首先要定视角,确定正视方向,再由正视方向定侧视、俯视方向,再用画三视图的规则来画.


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解析

【点评】(1)画图时遵循“长对正,高平齐,宽相等”;

(2)分界线和可见轮廓线都应用实线画出,不可见轮廓线用虚线画出;

(3)三视图的排列规则是:俯视在正(主)视图的下面,长度和正视图一样,侧(左)视图放在正视图右面,高与正视图平齐,宽与俯视图相等.


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3

考 点

柱、锥、台、球的结构特征

自学范例3 圆锥底面半径为1cm,高为 cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.

过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面SEF,正方体的对角面为CDD1C1,如下图所示.

方法点拨:首先是理解它们的概念,其次在分析问题时应截取一个恰当的平面图形来进行分析,化立体为平面的基本思想.


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解析


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4

考 点

积木堆问题(探究性)

自学范例4 如下图是由相同的小正方体构成的几何体的三视图,这些相同的小正方体的个数是(  )

方法点拨:这类问题一般是由视图恢复原图.在俯视图上操作较好.先在俯视图中的各个小正方形处填上该处正方体叠加的个数,然后相加即得总数.


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解析 从主视图来看,从左往右数的第一列有2个小正方形(说明上下有2层),因此俯视图中第1列的2个正方形中至少有一个要填2.如下图,可有3种填法:

从主视图的第2列、第3列来看(都只有一个小正方形),俯视图的第2列、第3列均只能填1,于是相应的也有3种,如下图:

A. 4个   B. 5个  C. 6个    D. 7个


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再从左视图来看,左边第1列有2个小正方形,因此俯视图中后面那一行的3个小正方形中至少有一个要填2(上图中A、B图均符合这条件).由于左视图第2列只有1个小正方形,因此俯视图前面那一行的小正方形只能填1,于是只剩上图(B)一种情形;可见这个几何体由5个小正方体组成,应选B.

【点评】多元函数的思想,先固定一个参数.

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8.2 空间几何体的表面积和体积

知识要点

考点剖析


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1.柱体的表面积和体积

  设柱体的底面周长为C,高为h,则S侧=C·h,故S表=S侧+2S底,V柱=S底·h.

2.锥体的表面积和体积

  设锥体的底面周长为C,斜高(或母线)长为l,锥体的高为h,则S表=S侧+S底=C·l+S底,V锥=S底·h.

3.台体的表面积和体积

  计算时应分清是棱台还是圆台.棱台的侧面展开图为若干个梯形;圆台的侧面展开图为扇环,可由大扇形面积减去小扇形


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面积而得.S表=S侧+S上底+S下底,V台=V大锥—V小锥.

4.球体的表面积和体积

球体表面为不可展开旋转曲面,采用无穷逼近方法可求,记忆公式可用阿基米德的墓志铭记忆:“球体的表面积为外切圆柱表面积的 ,球体的体积为外切圆柱的体积的 .”

S球表=4πR2,V球= πR3.

难点提醒:

1.扇形的面积计算时可把扇形近似看成三角形计算,

S△= ×底×高,S扇形= ·弧长·半径= C·l.

2.扇环可与梯形类似,(可自行推算)


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S梯形= ·高.

S扇环= ×母线.

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1

考 点

简单几何体的表面积和体积

方法点拨:柱、锥、球的表面积和体积公式应当熟悉,而台体来自于锥体,利用上节要点3的方法,取一截面来分析.

自学范例1 正三棱锥P-ABC,底面边长为6,侧棱长为5,求它的表面积和体积.

解析 如下图所示,作PO⊥面ABC于O,因为三棱锥为正三棱锥,所以延长AO交BC于中点D,PD为等腰△PBC底边上的高,从而,


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【点评】恰当地作出截面图是解决问题的关键.


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2

考 点

侧面展开图

方法点拨:求折线段长的最小值时,先展成平面图,利用平面几何知识求解.

自学范例2:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,

AB>1,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为 .

(1)求证:D1E⊥A1D;

(2)求长方体ABCD-A1B1C1D1的体积.


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解析:(1)法一 连接AD1,由长方体的性质可知:AE⊥平面ADD1A1,

∵A1D平面ADD1A1,∴AE⊥AD1

又∵AD=AA1=1,∴AD1⊥A1D,

AD1∩AE=A,∴A1D⊥平面AD1E,

D1E 平面AD1E,∴A1D⊥D1E.

方法二 连接AD1,由长方体的性质可知:AE⊥平面ADD1A1,∴AD1是ED1在平面ADD1A1内的射影

又∵AD=AA1=1,∴AD1⊥A1D,∴D1E⊥A1D(三垂线定理)


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(2)设AB=x,∵四边形ADD1A1是正方形,

∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径.

此图甲的最短路程为|AC1|= ,

如图乙的最短路程为|AC1|= 

∵x>1∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4,

∴ = ∴x = 2

∴长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是V=2×1×1=2.


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3

考 点

等体积法求距离

方法点拨:求某些空间几何体的体积,直接求解可能不方便,转换顶点与底面后,方便简捷.

自学范例3:已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长都是a,截面AB1C和截面A1BC1相交于DE,求:

(1)三棱锥B-A1B1C1的体积;

(2)三棱锥B-B1DE的体积.


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解析:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,三棱锥B-A1B1C1与三棱柱ABC-A1B1C1等底等高,

∴三棱锥B-A1B1C1的体积

(2)由题意,四边形AA1B1B和四边形BB1C1C都是正方形,且D、E分别是正方形AA1B1B和正方形BB1C1C的中心.∴D、E分别是A1B和BC1的中点,∴DE∥A1C1,且DE= A1C1,

∴VB-B1DE= VB1-A1BC1= VB-A1B1C1=

【点评】求三棱锥的体积,关键求出底面积和高.有时候需要转换顶点和底面.


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4

考 点

柱体

方法点拨:找垂直关系是关键.

自学范例4 如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形的实心装饰块,容器内盛有a升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置,水面也恰好过点P(图2).有下列四个命题


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解析 设正四棱柱底面边长为b,高为h1,正四棱锥高为h2,则原题图1中V水=b2h2- b2h2= b2h2,图2中V水=b2h1-b2h2=b2(h1-h2),所以 b2h2=b2(h1-h2),所以h1= h2,故A错,D对.对于B,当容器侧面水平放置时,P点在长方体中截面上,对水占容

A. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点P

C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点P

D.若往容器内再注入a升水,则容器恰好能装满

其中真命题的代号是.(写出所有真命题的代号)

答案B、D


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器内空间的一半,所以水面也恰好经过点P,故B对.对于C,假若C对,当水面与正四棱锥的一个侧面重合时,经计算得水的体积为 b2h2> b2h2,矛盾.


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5

考 点

类比推理

自学范例5:如图(1),在平面内有面积关系 =

,写出图(2)中类似的体积关系,并证明你的结论.

PA′·PB′

PA·PB

S△PA′B′

S△PAB

方法点拨:利用平几与立几的维数上的变化,进行升维类比.


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解析:类比得 = .

如图,设C′、C到平面PAB的距离分别为h′、h.

则 = ,故 = =

= .

PA′·PB′·PC′

PA·PB·PC

PA′·PB′·PC′

PA·PB·PC

h′

h

PC′

PC

1

3

1

3

V P-A′B′C′

V P-ABC

· S△PA′B′·h′

· S△PAB·h′

VP-A′B′C′

VP-ABC

PA′·PB′·h′

PA·PB·h

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8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

知识要点

考点剖析


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1.《考试说明》要求借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.


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定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

2.异面直线间所成角的论证和计算是重点.

3.在此不应当进行过难过深的要求,只求能“运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题”.

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1

考 点

点共线与线共面

自学范例1 如右图所示,点A平面BCD,

E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,

若EH与FG交于点K,求证:K在直线BD上.

方法点拨:点共线公理2,线共点公理3.


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解析∵EH∩FG=K

∴K∈EH,K∈FG,

又∵E、H分别在直线AB、AD上,

∴EH平面ABD,∴K∈平面ABD,同理K∈平面CBD

又∵平面ABD∩平面CBD=BD,∴K在直线BD上.

【点评】本题实质上属于“三线共点”问题.一般先证明其中两条直线的交点是某两个平面的公共点,再证明第三条直线是这两个平面的交线,进而“点在两面之交线上”.应用公理与定理证明简单命题时,应当多注意用集合语言表述.


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2

考 点

两直线的位置关系

方法点拨:两直线位置关系,可分为三类:相交、平行、异面.

自学范例2 设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是(  )

A. 若AC与BD共面,则AD与BC共面

B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线

C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC

D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC

答案C


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解析A显然正确;B也正确,因为若AD与BC共面,则必有AC与BD共面与条件矛盾;C不正确,如下图所示;D正确,用平面几何与立体几何的知识都可证明.


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3

考 点

异面直线所成的角

方法点拨:求异面直线所成的角有两种方法,一是平移法解三角形;二是向量法.

自学范例3 在棱长都是a的四面体A-BCD中,E、F分别为AD、BC的中点,(1)求异面直线AF和CE所成的角的余弦值;(2)求证:EF为AD、BC的公垂线.


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解析(1)连接FD,过E作EG∥AF交FD于G,则∠CEG是异面直线AF与CE所成的角(或补角).

连CG,在△CEG中,EGAF,

∵AF = a CE = a,CG = a

∴EGa,由余弦定理得cos∠CEG =

(2)∵AB =AC,BF =FC ∴AF⊥BC

同理DF⊥BC,而AF∩FD =F∴BC⊥面AFD

∵EF 面AFD ∴BC⊥EF 于F

同理AD⊥EF于E ∴EF为AD和BC的公垂线.

【点评】平移是求异面直线所成的角的通法.

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8.4 平行与垂直(1)

知识要点

考点剖析


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1.直线与平面的位置关系有三种

  直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.

2.直线与平面所成的角

  ①直线与平面平行时,所成角为0°;②直线与平面垂直时,所成角为90°;③直线与平面斜交时,所成角为该直线与其在面内的射影所成的锐角.综上,线面成角范围为:[0°,90°].

3.线面平行的判定定理

  平面外一条直线与此平面内的一条直线平行、则该直线与此平面平行.


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4.线面平行的性质定理

  一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

5.平面与平面有两种位置关系,定义为

  有公共交线称为相交;无公共交线称为平行.

6.面面平行的判定定理

  一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.

7.面面平行的性质定理

  两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.

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1

考 点

线线平行、线面平行与面面平行

方法点拨:欲证线面平行,先证线线平行;欲证线线平行,可先证线面平行;欲证面面平行,先证线面平行.通常线线平行,线面平行在同一题中多次转化.

自学范例1如图所示,四面体ABCD

被一平面所截,截面与AB、AC、CD、

BD分别交于E、F、G、H,且截面

EFGH是一个平行四边形.

求证:BC∥平面EFGH,AD∥平面EFGH.


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解析 证明:∵截面EFGH是一平行四边形,

∴EF∥GH,

又∵GH平面BCD

∴EF∥平面BCD,又平面ABC过直线EF且与平面BCD相交于BC,

∴EF∥BC

∴BC∥平面EFGH,同理可证AD∥平面EFGH.

【点评】欲证线面平行,可先证线线平行;欲证线线平行,可先证线面平行,线线平行与线面平行的多次转化在同一道题中经常出现.转化的思想是解题的关键.


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2

考 点

线面所成的角

方法点拨:求线面所成的角关键是找面的垂线,找到那个小直角三角形.要注意先证后算,学了向量后一目了然.

自学范例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2,AA1=6.

(1)求异面直线B1D和MN所成角的余弦值;

(2)过MN作平面α,使平面α∥平面B1CD;

(3)求直线BB1与平面B1CD所成的角的余弦值.


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解析∴∠DB1C就是B1D和MN所成角或其补角.

∵DC⊥平面BCC1B1

∴DC⊥B1C

在△DCB1中,B1C=2,B1D=2,DC⊥CB1

∴cos∠DB1C=,即B1D与MN所成角的余弦值为.

(2)只须在平面ABB1A1内过点M作AB的平行线ME交AA1于E,作NF∥AB交AD于F,连接EF,则平面MEFN就是平面α.(证明略)


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(3)如上图,作BH⊥B1C于H.

∵DC⊥平面BCC1B1

∴DC⊥BH

即BH⊥DC,BH⊥B1C,DC∩B1C=C

∴BH⊥平面DCB1

∴∠BB1C就是直线BB1与平面B1CD所成的角.

cos∠BB1C===.

即直线BB1与平面B1CD所成的角的余弦值为.

【点评】面面平行,事实上由线面平行而得.角度计算先找面的垂线.

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8.5 平行与垂直(2)

知识要点

考点剖析


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1.线面垂直的判定定理

  一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

2.面面垂直的判定定理

  一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直.

3.线面垂直的性质定理

  垂直于同一平面的两条直线相互平行.

4.面面垂直的性质定理

  两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

5.二面角

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1

考 点

线面垂直、面面垂直的判定与性质定理

自学范例1:如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,

∠PAC=∠PBC=90°.

(1)证明:AB⊥PC;

(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,

求三棱锥P-ABC体积.

方法点拨:关键是找到面的垂线,一切都迎刃而解.


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解析: (1)因为△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°,

所以Rt△PBC≌Rt△PAC,可得AC=BC.

如图,取AB中点D,连结PD,CD,

则PD⊥AB,CD⊥AB,且PD∩DC=D

所以AB⊥平面PDC,

所以AB⊥PC.

(2)作BE⊥PC,垂足为E,连结AE.

因为Rt△PBC≌Rt△PAC,

所以AE⊥PC,AE=BE.

由已知,平面PAC⊥平面PBC,故∠AEB=90°.


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因为Rt△AEB≌Rt△PEB,所以△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.

由已知PC=4,得AE=BE=2,△AEB的面积S=2.

因为PC⊥平面AEB,

所以三角锥P-ABC的体积V= ×S×PC= .

1

3

8

3

【点评】欲证线线垂直,先证线面垂直;欲证线面垂直,又先证线线垂直.


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2

考 点

证垂直与求体积问题的结合

方法点拨:面的垂线与几何体的高关系密切.

自学范例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为AC的中点,AB=2.

(1)求证:BD1∥平面ACM;

(2)求证:B1O⊥平面ACM;

(3)求三棱锥O-AB1M的体积.


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解析 (1)证明:连接BD,则BD与AC的

交点为O,∴AC,BD为正方形ABCD的

对角线,故O为BD中点;连接MO,

∵O,M分别为DB,DD1的中点,

∴OM∥BD1,OM 平面ACM,

BD1平面ACM

∴BD1∥平面ACM.

(2)法一:∵AC⊥BD,DD1⊥平面ABCD,且AC 平面ABCD,∴AC⊥DD1;且BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1,

∵OB1 平面BDD1B1,∴B1O⊥AC,

连接B1M,在△B1MO中,MO2=12+( )2=3,


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B1O2=22+( )2=6,B1M2=12+(2 )2=9,

∴B1M2=MO2+B1O2,B1O⊥OM

又OM∩AC=O,∴B1O⊥平面AMC;

法二:∵ ,∠ODM=∠B1BO=Rt∠,

∴△MDO∽△OBB1,∴∠MOD=∠OB1B,∠MOD+∠B1OB=90°,∴B1O⊥OM,

(3)求三棱锥O-AB1M的体积

法一:VO-AB1M=VB1-AOM= ×OB1×S△AOM


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法二:可证AO⊥平面OB1M,则

VO-AB1M=VA-OB1M=

【点评】证线线垂直一般转化的证线面垂直.


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3

考 点

折叠问题

方法点拨:关键是看图形变换前后的对应关系.

自学范例3 如下图(1), △ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰好为EC的中点,得到下图(2).

(1)求证:EF⊥A′C;

(2)求三棱锥F-A′BC的体积.


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解析 (1)法一:证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,

∴EF⊥AC

在四棱柱A′-BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,

∴EF⊥平面A′EC,

又A′C平面A′EC,∴EF⊥A′C


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法二:证明:同法一EF⊥EC

∴A′O⊥EF

∴EF⊥平面A′EC,

又A′C平面A′EC,∴EF⊥A′C

(2)在直角梯形EFBC中,

EC=2,BC=4,∴S△FBC=BC·EC=4

又∵A′O垂直平分EC,∴A′O=

∴三棱锥F-A′BC的体积为:

VF-A′BC=VA′-FBC=

【点评】可以用折纸感觉一下EF⊥AC前后的图形变换.


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4

考 点

二面角

自学范例4:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.

(1)证明:D1E⊥A1D;

(2)当E为AB的中点时,求点E到

面ACD1的距离;

(3)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为 .

π

4

方法点拨:一般方法有几何法和向量法.几何法主要经历“作——证——算”这一过程.作二面角主要是作棱的垂面.可考虑三垂线定理.(新教材不直接用三垂线定理,了解即可.)


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解析:(1)证明:∵AE⊥平面AA1D1D,A1D⊥AD1,

∴A1D⊥D1E

(2)设点E到面ACD1的距离为h,

在△ACD1中,AC=CD1= ,AD= ,

故S△AD1C= ,

而S△ACE =

∴VD1-AEC= S△AEC · DD1= S△AD1C · h

∴ ×1= ×h , ∴h= .

(3)过D作DH⊥CE于H,连D1H、DE,则D1H⊥CE,

∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角.

1

1

1

3

3

2

3

2


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设AE=x,则BE=2-x

在Rt△D1DH中,∵∠DHD1= ,∴DH=1.

∵在Rt△ADE中,DE= ,

∴在Rt△DHE中,EH= x,在Rt△DHC中CH= ,

在Rt△CBE中CE= .

∴x + = 

∴AE= 时,二面角D1-EC-D的大小为 .

π

π

4

4

【点评】利用D1D⊥面ABCD作出DH⊥CE于H是充分利用三垂线定理解题,值得细细体会.

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8.6 空间角与距离的求法

知识要点

考点剖析


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1.异面直线所成的角:范围(0°,90°]

2.线面所成角:范围[0°,90°]

3.点到平面的距离可考虑用体积法求解.

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1

考 点

异面直线所成的角

自学范例1 长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAB1=∠B1A1C1=30°,

则AB与A1C1所成的角为;

AA1与B1C所成的角为;

AB1与A1C1所成的角的余弦值

为.

方法点拨:平移到某一点后解三角形.要注意角的范围(0°,90°].


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解析 ①因为AB∥A1B1,所以AB与A1C1所成的角也就是A1C1与A1B1的夹角30°;

②已知四边形BCC1B1为正方形,AA1与B1C所成的角利用平移可知也就是BB1与B1C所成的角45°;

③因为A1C1∥AC,再连接B1C,这样AB1与A1C1所成的角即为∠B1AC,设BB1=1,则AB1=2,AC=2,B1C=.从而cos∠B1AC=.

【点评】求异面直线所成的角最基本的方法就是平移.


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2

考 点

线面所成的角

方法点拨:关键是从线上一点作面的垂线,形成一个小的直角三角形.

自学范例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求

(1)AD1与平面ABCD所成的角的大小;

(2)AC1与平面ABCD所成的角的正切值;

(3)AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值.


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解析(1)∵DD1⊥平面ABCD

∴∠DAD1为AD1与面ABCD所成的角的平面角,其大小为45°;

(2)∵CC1⊥平面ABCD

∴∠C1AC为AC1与面ABCD所成的角的平面角.

tan∠C1AC==.

(3)先连接B1C,可证明B1C⊥面ABC1D1.设B1C与BC1交于点K.则∠B1AK为AB1与面ABC1D1所成的角.

sin∠B1AK==,即AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.


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【点评】立体几何中的计算题一般是先证明后计算.求线面所成的角的关键是找面之垂线.


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3

考 点

求二面角

自学范例3:如右图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC.

(1)证明:A1C⊥平面BED;

(2)求二面角A1-DE-B的正切值.

方法点拨:作二面角关键是作棱的垂面,利用三垂线定理.

解析:依题设,AB=2,CE=1.

(1)证明:连接AC交BD于点F,

则BD⊥AC.

由三垂线定理知,BD⊥A1C.


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AC

CE

AA1

FC

在平面A1CA内,连接EF交A1C于点G,由于 = = ,

故Rt△A1AC∽Rt△FCE,∠AA1C=∠CFE,∠CFE与∠FCA1互余.

于是A1C⊥EF.

A1C与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以A1C⊥平面BED.

(2)作GH⊥DE,垂足为H,连接A1H.由三垂线定理知A1H⊥DE,故∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角.


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所以二面角A1-DE-B的正切值为

【点评】过程是“一作二证三算”.


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4

考 点

求距离或体积

自学范例4:如图,直三棱柱中ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=1.M、N分别是棱A1B、B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N,MN⊥A1B.

(1)求直三棱柱ABC-A1B1C1中

的高a及MN的长;

(2)动点P在B1C1上移动,问P

在何位置时,△PA1B的面积才

能取得最小值.

方法点拨:距离和高应放在一起来思考.


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解析:先给出常规解法.

(1)在△A1C1N中,A1C1=1,C1N= ,由余弦定理知

A1N2=A1C21+C1N2 - 2A1C1 · C1N · cos∠A1C1N=

,在Rt△BB1N和Rt△AA1B中,有关系

BN2 = BB21 + B1N2 = 

A1B2=AA21+AB2=1+a2.

在Rt△A1MN和Rt△BMN中,MN2=A1N2-A1M2=BN2-BM2.

即MN2=

故有a=1,MN=


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1

2

(2)设△PA1B的高为h,由S△PA1B= · A1B·h知,要使△PA1B的面积取得最小值,只需h最小,而h的最小值就是异面直线A1B与B1C1间的距离.

在Rt△A1C1M中,C1M2=A1C21+A1M2 =1+ = .

在△MNC1中,MN2= =

故MN⊥B1C1,而MN⊥A1B,所以MN是异面直线A1B与B1C1的公垂线,从而异面直线A1B与B1C1间的距离是MN= ,

即hmin=MN= ,此时P点与N点垂合.

再给出空间向量解法.


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(1)以A为原点,射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系,这时有

 A1B={1,0,-a},MN= . 由A1B⊥MN,也就是A1B · MN=0,得,

故a=1,|MN|= .

(2)设P(t,1-t,1),有

A1P={t,1-t,0},

A1B={1,0,-1},设

A1B与A1P所成的角为θ,则有

S△PA1B=|A1B|·|A1P|· sinθ


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当t= 时,Smin= ,即当点P与N重合时,△PA1B的面积才能取得最小值

【点评】动态几何问题是高考中的新颖试题,值得重视.


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自学范例5:如图所示,在直三棱柱ABC - A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.

(1)求证:B1C∥平面A1BD;

(2)求证:B1C1⊥平面ABB1A1;

(3)在CC1上是否存在一点E,使得∠BA1E=45°,若存在,试确定E的位置,并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直?若不存在,请说明理由.

解析: (1)如图,连接AB1与A1B相交于M,则M为A1B的中点.连接MD,又D为AC的中点,

∴B1C∥MD,又B1C平面A1BD,

∴B1C∥平面A1BD.


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(2)∵AB=B1B , ∴四边形ABB1A1为正方形,

∴A1B⊥AB1 . 又∵AC1⊥面A1BD,

∴AC1⊥A1B, ∴A1B⊥面AB1C1, ∴A1B⊥B1C1.

又在直棱柱ABC-A1B1C1中 , BB1⊥B1C1,

∴B1C1⊥平面ABB1A1.

(3)当点E为C1C的中点时,∠BA1E=45°,且平面A1BD⊥平面BDE.

设AB=a,CE= x , ∴A1B= , A1D= , BD= =CD,

DE= , ∴A1E=


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在△A1BE中,由余弦定理,得BE2=A1B2 + A1E2 - 2A1B · A1E · cos45°,

即a2 + x2 = 2a2 + x2 +2a2 - 

∴ 

∴x = ,即E是C1C的中点.

∵D、E分别为AC、C1C的中点,∴DE∥AC1.

∵AC1平面A1BD,∴DE⊥平面A1BD.

又DE平面BDE,∴平面A1BD⊥平面BDE.

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8.7 空间向量与立体几何

知识要点

考点剖析


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1.用向量求异面直线所成的角,应当注意异面直线所成的角的范围为(0°,90°).

2.用法向量解题的基本原理或方法

(1)证明线与面的垂直

原理:直线的方向向量与平面的法向量平行,那么这条直线就与该平面垂直.

(2)证明面与面的垂直

原理:如果两个平面的法向量互相垂直,那么这两个平面就互相垂直.


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(3)证明线与面的平行

原理:如果直线的方向向量与平面的一个法向量垂直,那么这条直线就与该平面平行.

(4)证明面与面的平行

原理:如果两个不重合平面的法向量互相平行,那么这两个平面互相平行.

(5)求直线与平面所成的角

原理:如右图,AB为过平面α的一条斜线,

n为平面α的法向量,设AB与平面α所成的

角为θ,则

sinθ=|cos<AB,n>|=


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(6)求二面角的大小

原理:如右图,设n1与n2分别为

二面角α-l-β两个面的法向量,则:

当n1与n2分别指向二面角的内侧与

外侧时,二面角α-l-β的大小即为<n1,n2>的大小;

当n1与n2同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角α-l-β的大小即为(π-<n1,n2>)的大小.

(7)求点到平面的距离

原理:如下图,平面α的法向量为n,

P为平面α外一点,A为平面α内任

一点,则P到平面α的距离


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(8)求两条异面直线的距离

原理:设A与B分别为异面直线a与b上两点,n为与直线a,b都垂直的一个向量(如上图),则a与b间的距离

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1

考 点

求法向量与求距离

自学范例1:求法向量:在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC= ,M,N分别为AB,SB的中点.建立坐标系如图所示,求面CMN的一个法向量.

方法点拨:在平面内任取两不共线向量a,b,设法向量为n=(x、y、z)则n·a=0,n·b=0,可求出一组(x、y、z)值,事实上为比例值.求距离参见知识要点2(8).


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解析:法一 可得CM=(3, ,0),MN=(-1,0, ).

设n =(x,y,z)为平面CMN的一个法向量.

取z=1,得x= ,y= ,

∴n= ( , ,1)为平面CMN的一个法向量.

法二 设BH⊥平面CMN,垂足为H,

∵H,C,M,N四点共面,由共面向量定理,可设BH=λBC+μBM+(1-λ-μ)BN=(-2λ+μ, , (1-λ-μ)),由

n · CM =3x+ y =0,

n · MN=-x+ z =0,

BH · CM=-9λ+3μ-3=0,

BH · MN=-3μ+2=0,


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.注:还可求得|BH|的长度.

BH=

【点评】本例提供了两种求平面法向量的方法.法一运用待定系数法求得平面CMN的法向量,法二运用共面向量定量定理求得平面CMN的垂线BH的向量表示,在求法向量的过程中,都运用了直线与平面垂直的判定定理及两个非零向量垂直的充要条件,虽然法二没有解法一简洁,但如果要求点B在平面CNM内的射影的坐标,法二的解答过程可谓经典.

另外,若求点B到平面CMN的距离,只须在法一中补充:

又MB=(-1,,0)∴

请参考知识要点2(8).


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考 点

求线面所成的角

方法点拨:主要考虑斜线上的向量与法向量所成的角,参知识要点2(5).

自学范例2:如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作

B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F.

(1)求证:A1C⊥平面BED;

(2)求A1B与平面BDE所成的角的正弦值.


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解析:(1)如图,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz.

∴D(0,0,0),A(2,0,0),

B(2,2,0),C(0,2,0),

A1(2,0,4),B1(2,2,4),

C1(0,2,4),D1(0,0,4).

设E(0,2,t),则BE=(-2,0,t),B1C=(-2,0,-4).

∴t=1,∴E(0,2,1),BE=(-2,0,1).

又A1C=(-2,2,-4),DB=(2,2,0),

∴A1C · BE=4+0-4=0且A1C · DB = -4+4+0=0.

∴A1C⊥DB且A1C⊥BE.


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∴A1C⊥BD,A1C⊥BE,且BD∩BE=B.

∴A1C⊥平面BDE.

(2)由(1)知A1C=(-2,2,-4)是平面BDE的一个法向量,又A1B=(0,2,-4),

∴cos<AC1,A1B>=

∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为


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3

考 点

求二面角

自学范例3:如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

(1)求点P到平面ABCD的距离;

(2)求面APB与面CPB所成二面角的余弦值.

方法点拨:利用向量求二面角的三角函数值方法有两种,其一是利用法向量,其二是利用定义.


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解析:(1)作PO⊥平面ABCD,垂足为点O,作PE⊥AD,垂足为点E,则E为AD的中点,且PE= ,连OE,则OE⊥AD,故∠PEO为面PAD与面ABCD所成的锐二面角的平面角,∴∠PEO=180°-120°=60°,在Rt△POE中,PO=PE · sin60°= .

(2)如下图,连OB,由(1)知,O,E,B三点共线.以O为坐标原点建立空间直角坐标系(x轴平行于线段DA),

则P(0,0, ),A(1, ,0),

B(0, ,0),C(-2, ,0).

∴AP=(-1, ),BC=(-2,0,0),

BP=(0, ),AB=(-1, ,0).

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