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第八章 立体几何. 8.1 空间几何体. 8.2 空间几何体的表面积和体积. 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系. 8.4 平行与垂直( 1 ). 8.5 平行与垂直( 2 ). 8.6 空间角与距离的求法. 8.7 空间向量与立体几何. 8.1 空间几何体. 知识要点. 考点剖析. 1. 棱柱的定义及表示法
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第八章 立体几何 8.1 空间几何体 8.2 空间几何体的表面积和体积 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4 平行与垂直(1) 8.5 平行与垂直(2) 8.6 空间角与距离的求法 8.7 空间向量与立体几何
8.1 空间几何体 知识要点 考点剖析
1.棱柱的定义及表示法 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.用表示底面各顶点的字母来表示. 提醒:有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形,这些面围成的几何体不一定是棱柱.
2.棱柱的分类 棱柱: 3.棱柱的性质: (1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形; (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; (3)平行于侧棱的截面均为平行四边形. 4.棱锥的定义及表示方法 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面所围成的多面体叫做棱锥.类比棱柱,可以得到棱
锥的顶点、侧面、底面、侧棱的定义.表示方法可用表示顶点和底面顶点的字母表示.锥的顶点、侧面、底面、侧棱的定义.表示方法可用表示顶点和底面顶点的字母表示. 提醒:正棱锥是许多高考题的载体.底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥定义为正棱锥. 5.棱台的定义及其表示 棱台来自于棱锥.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台.表示方法类似于棱柱. 6.圆柱的定义及其表示 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转 形成的面围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱
的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱底面.圆柱用表示它的轴的字母表示,如右图为圆柱OO′.的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱底面.圆柱用表示它的轴的字母表示,如右图为圆柱OO′. 7.圆锥、圆台类比棱锥、棱台加以定义. 8.球的定义及其表示 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.球通常用表示球心的字母O表示,比如球O. 9.能够把简单组合体分解为若干个简单几何体. 10.中心投影与平行投影 中心投影:投影线都经过某投影中心的投影法.可在棱锥中观察.
平行投影:所有的投影线互相平行,或投影中心在无穷远处.这种模型可在柱体中寻找.投影方向垂直于投影面时称为正投影法. 11.三视图的概念 “视图”是物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.从前向后得“正视图”,自左向右得“侧视图”,自上向下得“俯视图”. 12.简单几何体的三视图 重视圆柱、圆锥、圆台、球、正四面体的三视图. 13.直观图画法:斜二测画法. 返回节目录
1 考 点 平面图与直观图的对应关系 自学范例1(1)作出平面图(左)的直观图; (2)下图是水平放置图形的直观图,试画出它原来的图形; (3)思考平面图与其直观图之间的面积比是否总为 方法点拨:由平面图到直观图,应先在平面图中建立直角坐标系,量出相应的坐标值.再建立斜坐标系,原直角坐标系相应点中,横坐标不变,纵坐标减半,最后将相应点连线即可.
解析 分析 首先是建系,最好是充分利用原图的信息,其次要找好平行对应关系.
(3)均为,可先考虑矩形的直观图,再有一些微积分的思想可感知这个比值.(3)均为,可先考虑矩形的直观图,再有一些微积分的思想可感知这个比值. 【点评】其实质为点在两坐标系中的对应关系,垂直关系变换后一般不再垂直.
2 考 点 空间几何体的三视图 自学范例2 如右图所示的几何体为一个长方体 ABCD—A1B1C1D1裁去一个角后的多面体。画 出该几何体的三视图. 方法点拨:画几何体的三视图,首先要定视角,确定正视方向,再由正视方向定侧视、俯视方向,再用画三视图的规则来画.
解析 【点评】(1)画图时遵循“长对正,高平齐,宽相等”; (2)分界线和可见轮廓线都应用实线画出,不可见轮廓线用虚线画出; (3)三视图的排列规则是:俯视在正(主)视图的下面,长度和正视图一样,侧(左)视图放在正视图右面,高与正视图平齐,宽与俯视图相等.
3 考 点 柱、锥、台、球的结构特征 自学范例3 圆锥底面半径为1cm,高为 cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长. 过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面SEF,正方体的对角面为CDD1C1,如下图所示. 方法点拨:首先是理解它们的概念,其次在分析问题时应截取一个恰当的平面图形来进行分析,化立体为平面的基本思想.
4 考 点 积木堆问题(探究性) 自学范例4 如下图是由相同的小正方体构成的几何体的三视图,这些相同的小正方体的个数是( ) 方法点拨:这类问题一般是由视图恢复原图.在俯视图上操作较好.先在俯视图中的各个小正方形处填上该处正方体叠加的个数,然后相加即得总数.
解析 从主视图来看,从左往右数的第一列有2个小正方形(说明上下有2层),因此俯视图中第1列的2个正方形中至少有一个要填2.如下图,可有3种填法:解析 从主视图来看,从左往右数的第一列有2个小正方形(说明上下有2层),因此俯视图中第1列的2个正方形中至少有一个要填2.如下图,可有3种填法: 从主视图的第2列、第3列来看(都只有一个小正方形),俯视图的第2列、第3列均只能填1,于是相应的也有3种,如下图: A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
再从左视图来看,左边第1列有2个小正方形,因此俯视图中后面那一行的3个小正方形中至少有一个要填2(上图中A、B图均符合这条件).由于左视图第2列只有1个小正方形,因此俯视图前面那一行的小正方形只能填1,于是只剩上图(B)一种情形;可见这个几何体由5个小正方体组成,应选B.再从左视图来看,左边第1列有2个小正方形,因此俯视图中后面那一行的3个小正方形中至少有一个要填2(上图中A、B图均符合这条件).由于左视图第2列只有1个小正方形,因此俯视图前面那一行的小正方形只能填1,于是只剩上图(B)一种情形;可见这个几何体由5个小正方体组成,应选B. 【点评】多元函数的思想,先固定一个参数. 返回章目录
8.2 空间几何体的表面积和体积 知识要点 考点剖析
1.柱体的表面积和体积 设柱体的底面周长为C,高为h,则S侧=C·h,故S表=S侧+2S底,V柱=S底·h. 2.锥体的表面积和体积 设锥体的底面周长为C,斜高(或母线)长为l,锥体的高为h,则S表=S侧+S底=C·l+S底,V锥=S底·h. 3.台体的表面积和体积 计算时应分清是棱台还是圆台.棱台的侧面展开图为若干个梯形;圆台的侧面展开图为扇环,可由大扇形面积减去小扇形
面积而得.S表=S侧+S上底+S下底,V台=V大锥—V小锥.面积而得.S表=S侧+S上底+S下底,V台=V大锥—V小锥. 4.球体的表面积和体积 球体表面为不可展开旋转曲面,采用无穷逼近方法可求,记忆公式可用阿基米德的墓志铭记忆:“球体的表面积为外切圆柱表面积的 ,球体的体积为外切圆柱的体积的 .” S球表=4πR2,V球= πR3. 难点提醒: 1.扇形的面积计算时可把扇形近似看成三角形计算, S△= ×底×高,S扇形= ·弧长·半径= C·l. 2.扇环可与梯形类似,(可自行推算)
S梯形= ·高. S扇环= ×母线. 返回节目录
1 考 点 简单几何体的表面积和体积 方法点拨:柱、锥、球的表面积和体积公式应当熟悉,而台体来自于锥体,利用上节要点3的方法,取一截面来分析. 自学范例1 正三棱锥P-ABC,底面边长为6,侧棱长为5,求它的表面积和体积. 解析 如下图所示,作PO⊥面ABC于O,因为三棱锥为正三棱锥,所以延长AO交BC于中点D,PD为等腰△PBC底边上的高,从而,
【点评】恰当地作出截面图是解决问题的关键.【点评】恰当地作出截面图是解决问题的关键.
2 考 点 侧面展开图 方法点拨:求折线段长的最小值时,先展成平面图,利用平面几何知识求解. 自学范例2:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1, AB>1,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为 . (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求长方体ABCD-A1B1C1D1的体积.
解析:(1)法一 连接AD1,由长方体的性质可知:AE⊥平面ADD1A1, ∵A1D平面ADD1A1,∴AE⊥AD1 又∵AD=AA1=1,∴AD1⊥A1D, AD1∩AE=A,∴A1D⊥平面AD1E, D1E 平面AD1E,∴A1D⊥D1E. 方法二 连接AD1,由长方体的性质可知:AE⊥平面ADD1A1,∴AD1是ED1在平面ADD1A1内的射影 又∵AD=AA1=1,∴AD1⊥A1D,∴D1E⊥A1D(三垂线定理)
(2)设AB=x,∵四边形ADD1A1是正方形, ∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径. 此图甲的最短路程为|AC1|= , 如图乙的最短路程为|AC1|= ∵x>1∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4, ∴ = ∴x = 2 ∴长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是V=2×1×1=2.
3 考 点 等体积法求距离 方法点拨:求某些空间几何体的体积,直接求解可能不方便,转换顶点与底面后,方便简捷. 自学范例3:已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长都是a,截面AB1C和截面A1BC1相交于DE,求: (1)三棱锥B-A1B1C1的体积; (2)三棱锥B-B1DE的体积.
解析:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,三棱锥B-A1B1C1与三棱柱ABC-A1B1C1等底等高,解析:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,三棱锥B-A1B1C1与三棱柱ABC-A1B1C1等底等高, ∴三棱锥B-A1B1C1的体积 (2)由题意,四边形AA1B1B和四边形BB1C1C都是正方形,且D、E分别是正方形AA1B1B和正方形BB1C1C的中心.∴D、E分别是A1B和BC1的中点,∴DE∥A1C1,且DE= A1C1, ∴VB-B1DE= VB1-A1BC1= VB-A1B1C1= 【点评】求三棱锥的体积,关键求出底面积和高.有时候需要转换顶点和底面.
4 考 点 柱体 方法点拨:找垂直关系是关键. 自学范例4 如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形的实心装饰块,容器内盛有a升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置,水面也恰好过点P(图2).有下列四个命题
解析 设正四棱柱底面边长为b,高为h1,正四棱锥高为h2,则原题图1中V水=b2h2- b2h2= b2h2,图2中V水=b2h1-b2h2=b2(h1-h2),所以 b2h2=b2(h1-h2),所以h1= h2,故A错,D对.对于B,当容器侧面水平放置时,P点在长方体中截面上,对水占容 A. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点P C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点P D.若往容器内再注入a升水,则容器恰好能装满 其中真命题的代号是.(写出所有真命题的代号) 答案B、D
器内空间的一半,所以水面也恰好经过点P,故B对.对于C,假若C对,当水面与正四棱锥的一个侧面重合时,经计算得水的体积为 b2h2> b2h2,矛盾.
5 考 点 类比推理 自学范例5:如图(1),在平面内有面积关系 = ,写出图(2)中类似的体积关系,并证明你的结论. PA′·PB′ PA·PB S△PA′B′ S△PAB 方法点拨:利用平几与立几的维数上的变化,进行升维类比.
解析:类比得 = . 如图,设C′、C到平面PAB的距离分别为h′、h. 则 = ,故 = = = . PA′·PB′·PC′ PA·PB·PC PA′·PB′·PC′ PA·PB·PC h′ h PC′ PC 1 3 1 3 V P-A′B′C′ V P-ABC · S△PA′B′·h′ · S△PAB·h′ VP-A′B′C′ VP-ABC PA′·PB′·h′ PA·PB·h 返回章目录
8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识要点 考点剖析
1.《考试说明》要求借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.1.《考试说明》要求借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 2.异面直线间所成角的论证和计算是重点. 3.在此不应当进行过难过深的要求,只求能“运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题”. 返回节目录
1 考 点 点共线与线共面 自学范例1 如右图所示,点A平面BCD, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点, 若EH与FG交于点K,求证:K在直线BD上. 方法点拨:点共线公理2,线共点公理3.
解析∵EH∩FG=K ∴K∈EH,K∈FG, 又∵E、H分别在直线AB、AD上, ∴EH平面ABD,∴K∈平面ABD,同理K∈平面CBD 又∵平面ABD∩平面CBD=BD,∴K在直线BD上. 【点评】本题实质上属于“三线共点”问题.一般先证明其中两条直线的交点是某两个平面的公共点,再证明第三条直线是这两个平面的交线,进而“点在两面之交线上”.应用公理与定理证明简单命题时,应当多注意用集合语言表述.
2 考 点 两直线的位置关系 方法点拨:两直线位置关系,可分为三类:相交、平行、异面. 自学范例2 设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( ) A. 若AC与BD共面,则AD与BC共面 B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线 C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC 答案C
解析A显然正确;B也正确,因为若AD与BC共面,则必有AC与BD共面与条件矛盾;C不正确,如下图所示;D正确,用平面几何与立体几何的知识都可证明.解析A显然正确;B也正确,因为若AD与BC共面,则必有AC与BD共面与条件矛盾;C不正确,如下图所示;D正确,用平面几何与立体几何的知识都可证明.
3 考 点 异面直线所成的角 方法点拨:求异面直线所成的角有两种方法,一是平移法解三角形;二是向量法. 自学范例3 在棱长都是a的四面体A-BCD中,E、F分别为AD、BC的中点,(1)求异面直线AF和CE所成的角的余弦值;(2)求证:EF为AD、BC的公垂线.
解析(1)连接FD,过E作EG∥AF交FD于G,则∠CEG是异面直线AF与CE所成的角(或补角).解析(1)连接FD,过E作EG∥AF交FD于G,则∠CEG是异面直线AF与CE所成的角(或补角). 连CG,在△CEG中,EGAF, ∵AF = a CE = a,CG = a ∴EGa,由余弦定理得cos∠CEG = (2)∵AB =AC,BF =FC ∴AF⊥BC 同理DF⊥BC,而AF∩FD =F∴BC⊥面AFD ∵EF 面AFD ∴BC⊥EF 于F 同理AD⊥EF于E ∴EF为AD和BC的公垂线. 【点评】平移是求异面直线所成的角的通法. 返回章目录
8.4 平行与垂直(1) 知识要点 考点剖析
1.直线与平面的位置关系有三种 直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交. 2.直线与平面所成的角 ①直线与平面平行时,所成角为0°;②直线与平面垂直时,所成角为90°;③直线与平面斜交时,所成角为该直线与其在面内的射影所成的锐角.综上,线面成角范围为:[0°,90°]. 3.线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行、则该直线与此平面平行.
4.线面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 5.平面与平面有两种位置关系,定义为 有公共交线称为相交;无公共交线称为平行. 6.面面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 7.面面平行的性质定理 两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行. 返回节目录
1 考 点 线线平行、线面平行与面面平行 方法点拨:欲证线面平行,先证线线平行;欲证线线平行,可先证线面平行;欲证面面平行,先证线面平行.通常线线平行,线面平行在同一题中多次转化. 自学范例1如图所示,四面体ABCD 被一平面所截,截面与AB、AC、CD、 BD分别交于E、F、G、H,且截面 EFGH是一个平行四边形. 求证:BC∥平面EFGH,AD∥平面EFGH.
解析 证明:∵截面EFGH是一平行四边形, ∴EF∥GH, 又∵GH平面BCD ∴EF∥平面BCD,又平面ABC过直线EF且与平面BCD相交于BC, ∴EF∥BC ∴BC∥平面EFGH,同理可证AD∥平面EFGH. 【点评】欲证线面平行,可先证线线平行;欲证线线平行,可先证线面平行,线线平行与线面平行的多次转化在同一道题中经常出现.转化的思想是解题的关键.
2 考 点 线面所成的角 方法点拨:求线面所成的角关键是找面的垂线,找到那个小直角三角形.要注意先证后算,学了向量后一目了然. 自学范例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2,AA1=6. (1)求异面直线B1D和MN所成角的余弦值; (2)过MN作平面α,使平面α∥平面B1CD; (3)求直线BB1与平面B1CD所成的角的余弦值.
解析∴∠DB1C就是B1D和MN所成角或其补角. ∵DC⊥平面BCC1B1 ∴DC⊥B1C 在△DCB1中,B1C=2,B1D=2,DC⊥CB1 ∴cos∠DB1C=,即B1D与MN所成角的余弦值为. (2)只须在平面ABB1A1内过点M作AB的平行线ME交AA1于E,作NF∥AB交AD于F,连接EF,则平面MEFN就是平面α.(证明略)