计算机控制系统高金源夏洁

计算机控制系统高金源夏洁 北京航空航天大学清华大学出版社 2006年11月

《计算机控制系统》 • 依<全国高等学校自动化专业系列教材编审委员会>审定的教材大纲编写。 • 主编人：高金源夏洁 • 出版发行：清华大学出版社北京航空航天大学清华大学出版社

3.1 离散系统时域描述——差分方程 3.2 z变换 3.3 脉冲传递函数 3.4 离散系统的方块图分析 3.5 离散系统的频域描述 3.6 离散系统的状态空间描述 3.7 应用实例北京航空航天大学清华大学出版社

3.1.1 差分的定义 简写 • 连续函数，采样后为一阶向前差分：二阶向前差分： n阶向前差分：一阶向后差分：二阶向后差分： n阶向后差分：北京航空航天大学清华大学出版社

代替代替 3.1.2 差分方程 • 差分方程是确定时间序列的方程连续系统微分用差分代替一般离散系统的差分方程：差分方程还可用向后差分表示为：北京航空航天大学清华大学出版社

3.1.3 线性常系数差分方程的迭代求解 • 差分方程的解也分为通解与特解。 • 通解是与方程初始状态有关的解。 • 特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。例3-1 已知差分方程，试求解：采用递推迭代法，有：北京航空航天大学清华大学出版社

例3-1 采用MATLAB程序求解 MATLAB程序：解序列为：k=0，1，…，9时， n=10;% 定义计算的点数 c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定义输入输出和点数的初值 for i=2:n c(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1; end plot(k,c,′k:o′) %绘输出响应图，每一点上用o表示 c=0，1.0000，1.5000， 1.7500，1.8750， 1.9375，1.9688， 1.9844，1.9922， 1.9961，…… 差分方程的解序列表示说明：另一个求解方法是利用z变换求解。北京航空航天大学清华大学出版社

3.2.1 z变换定义 1. z变换采样信号采样信号的z变换注意：z变换中，z-1代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子。北京航空航天大学清华大学出版社

采样脉冲序列进行z变换的写法： • 在实际应用中，对控制工程中多数信号，z变换所表示的无穷级数是收敛的，并可写成闭和形式。 • z的有理分式： • z-1的有理分式: • 零、极点形式：北京航空航天大学清华大学出版社

2. z反变换 • 求与z变换相对应的采样序列函数的过程称为z反变换。 z反变换唯一，且对应的是采样序列值。 z变换只能反映采样点的信号，不能反映采样点之间的行为。北京航空航天大学清华大学出版社

3.2.2 z变换的基本定理 1．线性定理 2．实位移定理（时移定理） (1)右位移（延迟）定理 (2)左位移（超前）定理 3．复域位移定理北京航空航天大学清华大学出版社

3.2.2 z变换的基本定理 4．初值定理 5．终值定理若存在极限，则有：假定函数全部极点均在z平面的单位圆内或最多有一个极点在z=1处，则北京航空航天大学清华大学出版社

3.2.3 求z变换及反变换方法 1. z变换方法 (1) 级数求和法(根据定义) 例3-6 求指数函数的z变换北京航空航天大学清华大学出版社

1. z变换方法 (采样) (2) F(s) 的z变换（L反变换） (z变换) 利用s域中的部分分式展开法例3-7 试求的z变换。解：另一种由F(s) 求取F(z) 的方法是留数计算方法。本书对此不予讨论北京航空航天大学清华大学出版社

利用MATLAB软件中的符号语言工具箱进行F(s)部分分式展开利用MATLAB软件中的符号语言工具箱进行F(s)部分分式展开已知，通过部分分式展开法求F(z) 。 MATLAB程序：运行结果： R= 0.0833 -0.7500 -0.5000 0.6667 P= -3.0000 -1.0000 -1.0000 0 K= []（此题无K值） F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)； %传递函数F(s)进行符号定义 [numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母 pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式 pdenF=sym2poly(denF)；%将分子转化为一般多项式 [R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开对应部分分式分解结果为：北京航空航天大学清华大学出版社

1. z变换方法 (3) 利用z变换定理求取z变换式例3-8 已知f (t)=sint的z变换试求的z变换。解：利用z变换中的复位移定理可以很容易得到北京航空航天大学清华大学出版社

1. z变换方法 (4) 查表法 • 实际应用时可能遇到各种复杂函数，不可能采用上述方法进行推导计算。实际上，前人已通过各种方法针对常用函数进行了计算，求出了相应的F(z)并列出了表格，工程人员应用时，根据已知函数直接查表即可。具体表格见附录A。求和部分分式查表部分分式查表求和北京航空航天大学清华大学出版社

2. z反变换方法 (1) 查表法（可以直接从表中查得原函数） • 如已知z变换函数F(z) ，可以依F(z) 直接从给定的表格中求得它的原函数f *(t) 。北京航空航天大学清华大学出版社

2. z反变换方法 (2) 部分分式法（较复杂，无法直接从表格中查其原函数）求和部分分式查表查表北京航空航天大学清华大学出版社

部分分式法例子 例3-9 求下式的z反变换 MATLAB程序： Fz=sym(′(-3*z^2+z)/(z^2-2*z+1)′)；%进行符号定义 F=Fz/′z′； [numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母 pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式 pdenF=sym2poly(denF)； [R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)% 部分分式展开查表可得其中北京航空航天大学清华大学出版社

2. z反变换方法 (3) 幂级数展开法（长除法）例3-10 已知，求对该例，从相关系数中可以归纳得：北京航空航天大学清华大学出版社

3.2.4 差分方程z变换解法 利用z变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转换为代数方程的求解例3-11 用z变换法求差分方程 c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k 解：(1) 对每一项做z变换特解通解 (2) 归纳整理假设初始条件为零，上式第2项为零 (3) z反变换部分分式展开查表得北京航空航天大学清华大学出版社

3.3.1 脉冲传递函数的定义 输出量z变换离散系统脉冲传递函数又称为z传递函数定义：在初始条件为零时，输入量z变换输出的采样信号：图3-6脉冲传递函数北京航空航天大学清华大学出版社

3.3.2 脉冲传递函数特性 • 离散系统脉冲传递函数的求取离散系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉冲响应的z变换。若已知采样系统的连续传递函数G(s)，当其输出端加入虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取：（1）对G(s)做拉氏反变换，求得脉冲响应（2）对采样，求得离散系统脉冲的响应为（3）对离散脉冲响应做z变换，即得系统的脉冲传递函数为几种脉冲传递函数的表示法均可应用脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性，并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关。北京航空航天大学清华大学出版社

3.3.2 脉冲传递函数特性 2. 脉冲传递函数的极点与零点 • 极点 • 当G(z)是G(s)由通过z变换得到时，它的极点是G(s)的极点按z=e-sT的关系一一映射得到。由此可知，G(z)的极点位置不仅与G(s)的极点有关，还与采样周期T密切相关。当采样周期T足够小时，G(s)的极点都将将密集地映射在z=1附近。 • 零点 • G(z)的零点是采样周期T的复杂函数。采样过程会增加额外的零点。 • 若连续系统G(s)没有不稳定的零点，且极点数与零点数之差大于2，当采样周期较小时，G(z)总会出现不稳定的零点，变成非最小相位系统。 • 有不稳定零点的连续系统G(s)，只要采样周期取得合适，离散后也可得到没有不稳定零点的G(z)。北京航空航天大学清华大学出版社

3.3.3 差分方程与脉冲传递函数 1. 由差分方程求脉冲传递函数，设初始条件为零。已知差分方程两端进行z变换脉冲传递函数系统的特征多项式系统输出北京航空航天大学清华大学出版社

3.3.3 差分方程与脉冲传递函数 2. 由脉冲传递函数求差分方程 z反变换 z反变换北京航空航天大学清华大学出版社

3.4.1 环节串联连接的等效变换 1. 采样系统中连续部分的结构形式并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数北京航空航天大学清华大学出版社

3.4.1 环节串联连接的等效变换 2. 串联环节的脉冲传递函数北京航空航天大学清华大学出版社

3.4.1 环节串联连接的等效变换 3. 并联环节的脉冲传递函数根据叠加定理有：北京航空航天大学清华大学出版社

3.4.2 闭环反馈系统脉冲传递函数 E(z) = R(z)-B(z) B(z) = G2G3H(z)U(z) E(z) = R(z) - G2G3H(z)U(z) C(z) = G2G3(z)U(z) U(z) = G1(z)E(z) C(z) = G2G3(z)G1(z)E(z) 图3-10采样控制系统典型结构 E(z) = R(z) / [1+G1(z)G2G3H(z)] 一般系统输出z变换可按以下公式直接给出：北京航空航天大学清华大学出版社

3.4.3 计算机控制系统的闭环脉冲传递函数 1. 数字部分的脉冲传递函数 • 控制算法，通常有以下两种形式： • 差分方程脉冲传递函数D(z) • 连续传递函数脉冲传递函数D(z) (z变换法) (第5章的离散法) 北京航空航天大学清华大学出版社

3.4.3 计算机控制系统的闭环脉冲传递函数 2. 连续部分的脉冲传递函数 • 计算机输出的控制指令u*(t)是经过零阶保持器加到系统的被控对象上的，因此系统的连续部分由零阶保持器和被控对象组成。被控对象传递函数图3-11 连续部分的系统结构北京航空航天大学清华大学出版社

3.4.3 计算机控制系统的闭环脉冲传递函数 3. 闭环传递函数的求取例3-12 求下图所示计算机控制系统闭环脉冲传递函数，已知T=1秒。解： T=1s 北京航空航天大学清华大学出版社

利用Matlab相应命令进行Z变换 MATLAB命令： num=[1]; den=[1, 1]; [c,d]=c2dm(num,den,0.1, 'zoh') 计算输出 c =[0 0.6321] d =[1.0000 -0.3679] 即得到北京航空航天大学清华大学出版社

3.4.4 干扰作用时闭环系统的输出 • 根据线性系统叠加定理，可分别计算指令信号和干扰信号作用下的输出响应。图3-13 有干扰时的计算机控制系统 R(s)单独作用时的系统输出[N(s)=0] 干扰单独作用时的系统输出[R(s)=0] 共同作用时的系统输出北京航空航天大学清华大学出版社

3.5.1 离散系统频率特性定义 • 在离散系统中，一个系统或环节的频率特性是指，在正弦信号作用下，系统或环节的稳态输出与输入的复数比随输入正弦信号频率变化的特性。图3-14 离散系统的频率特性频率特性定义：北京航空航天大学清华大学出版社

3.5.2 离散系统频率特性的计算 幅频特性 • 离散系统频率特性的指数形式相频特性 1. 数值计算法——按表达式逐点计算它的幅相频率特性。例3-13 要求绘制它们的频率特性。连续系统：离散系统：北京航空航天大学清华大学出版社

Matlab符号语言实现 Gs=sym(′1/(s+1)′)；%传递函数F(s) T=0.5； [numGs,denGs]=numden(Gs)；%提取分子分母 %将分母转化为一般多项式 pnumGs=sym2poly(numGs)； pdenGs=sym2poly(denGs)； %Z变换 [pnumGz,pdenGz]=c2dm(pnumGs,pdenGs,T,′zoh′)； w=0:0.1:19； [mag,pha]=bode(pnumGs,pdenGs,w)； [dmag,dpha]=dbode(pnumGz,pdenGz,T,w)； for i=1:1:90 if dpha(i)<=-180 dpha(i)=dpha(i)+360 end end for i=1:1:190 if dpha(i)<=-180 dpha(i)=dpha(i)+360； end end figure(1); plot(w,mag,′blue′); hold on; plot(w,dmag,′red′); Grid on; axis([0,19,0,1.2]); figure(2); plot(w,pha,′blue′); hold on; plot(w,dpha,′red′); Grid on; axis([0,19,-200,200]); 北京航空航天大学清华大学出版社

图3-15 例3-13的幅频和相频特性曲线 北京航空航天大学清华大学出版社

3.5.2 离散系统频率特性的计算 2. 几何作图法北京航空航天大学清华大学出版社

3.5.3 离散系统频率特性的特点 1. 特点 (1)周期性：周期为 (2)幅频特性为的偶对称 (3)相频特性为的奇对称说明：由于离散环节频率特性不是 的有理分式函数，在绘制对数频率特性时，不能像连续系统那样使用渐近对数频率特性。北京航空航天大学清华大学出版社

2. 应注意问题 • 离散环节频率特性不是的有理分式函数，在绘制对数频率特性时，不能像连续系统那样使用渐近对数频率特性。 (2) 离散环节频率特性形状与连续系统频率特性形状有较大差别，特别是当采样周期较大以及频率较高时，由于混叠，使频率特性形状有较大变化，主要表现有: • 高频时会出现多个峰值； • 可能出现正相位； • 仅在较小的采样周期或低频段与连续系统频率特性相接近。北京航空航天大学清华大学出版社

3.6 离散系统的状态空间描述 离散系统状态方程 m维 p维 n维 F：状态转移矩阵 G：输入矩阵或控制转移矩阵 C：状态输出矩阵 D：直接传输矩阵连续系统状态空间模型离散系统状态空间模型图3-20状态方程框北京航空航天大学清华大学出版社

3.6.1 由差分方程建立离散状态方程 单输入单输出线性离散系统，可用n阶差分方程描述选择状态变量式中则可得到离散系统状态方程，且有：北京航空航天大学清华大学出版社

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