函数
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函数 Y=Asin( ω x+ φ) 的图像 PowerPoint PPT Presentation


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函数 Y=Asin( ω x+ φ) 的图像. 授课教师:育才中学 胡海杰. 进入. 在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如 Y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中 A , ω ,φ 是常数)。 如物体作简谐振动时位移 S 与时间 T 的关系,交流电的电流 y 与时间 t 关系都可以用这一类的函数解析式来表示。. 今天我们就先来研究一下形如: Y= A sin( ωx +φ) 的函数与函数 Y=sinx 有什么关系 ?. 复习提问:. 1. 画正、余弦函数图象的常用方法有那些?

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函数 Y=Asin( ω x+ φ) 的图像

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Presentation Transcript


Y asin x

函数Y=Asin(ωx+φ)的图像

授课教师:育才中学 胡海杰

进入


Y asin x

在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如Y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A,ω ,φ是常数)。

如物体作简谐振动时位移S与时间T 的关系,交流电的电流y与时间t关系都可以用这一类的函数解析式来表示。

今天我们就先来研究一下形如: Y=Asin(ωx+φ) 的函数与函数Y=sinx有什么关系?


Y asin x

复习提问:

1.画正、余弦函数图象的常用方法有那些?

2.“五点法”画正弦函数图象是指哪五个点呢?余弦呢?


Y asin x

一、形如Y=Asinx (A>0),x∈R,的三角函数

例1:作函数y=2sinx及y=1/2sinx的简图

分析:我们知道y=2sinx与 y=1/2sinx的周期为2π,  因此我们先来做[0, 2π]的简图。

思考:

这两个函数图象与y=sinx的图象有什么关系


Y asin x

解:

用“五点法”

列表:

0

0

1

0

-1

0

0

2

0

-2

0

0

0

0


Y asin x

y

2

o

x

-2

y=2sinx

作图

y=sinx

1

y=0.5sinx

-1


Y asin x

结论:

由以上观察可知,对于同一个x值y=2sinx的图象上点的纵坐标等于y=sinx的图象上点的纵坐标的2倍.因此,y=2sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的.

y=2sinx,x∈R的值域是:

[-2,2]

-2

2

最小值是:

最大值是:


Y asin x

y

2

o

x

-2

y=2sinx

作图

y=sinx

1

y=0.5sinx

-1


Y asin x

类似地,y=1/2sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1/2倍(横坐标不变)而得到的.

y=1/2sinx,x∈R的值域是:

[-1/2,1/2]

最大值是:

最小值是:

-1/2

1/2


Y asin x

归纳比较

函数

与y=sinx的图象的关系

各点纵坐标伸长为原来的2倍

y=2sinx

(横坐标不变)

各点纵坐标缩短为原来的1/2倍

y=1/2sinx

(横坐标不变)

y=Asinx

(A>0且A≠1)

1.A>1时,各点纵坐标伸长为原来的A倍

2.0<A<1时,各点纵坐标缩短为原来的A倍

(横坐标不变)


Y asin x

二、形如Y=sinωx,x∈R,的三角函数

例2:作函数y=sin2x及y=sin(x/2)的简图

T=2π/2=π

函数y=sin2x的周期:

T=2π/0.5=4π

函数y=sin(x/2)的周期:

思考:

y=sin2x的图像和y=sin(x/2)的

图像与Y=sinx的图像之间有什么系?

请观察


Y asin x

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

解:用“五点法”

列表


Y asin x

y

o

x

y=sinx

1

y=sin(0.5x)

-1

y=sin2x


Y asin x

因此,y=sin2x的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变)而得到的.


Y asin x

y

o

x

y=sinx

1

y=sin(0.5x)

-1

y=sin2x


Y asin x

因此,y=sin2x的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变)而得到的.

类似地,y=sin(x/2)的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.


Y asin x

归纳比较

函数

与y=sinx的图象的关系

各点横坐标缩短为原来的1/2倍

y=sin2x

(纵坐标不变)

各点横坐标伸长为原来的2倍

y=sin(x/2)

(纵坐标不变)

1.ω>1时,各点横坐标缩短为原来的1/ω倍

y=sinωx

(ω>0且ω≠1)

2.0<ω<1时,各点横坐标伸长为原来的1/ω倍

(纵坐标不变)


Y asin x

三、形如y=sin(x+φ) ,x∈R的三角函数图象

例3:

作函数y=sin(x+π/4)及y=sin(x-3π/4)的简图

思考?

以上两个函数同y=sinx之间有什么关系呢?


Y asin x

解:用“五点法”

列表


Y asin x

y=sin(x-3π/4)

Y

1

X

-1

y=sin(x+π/4)


Y asin x

y=sin(x+π/4)的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左平行移动π/4个单位而得到的。

y=sin(x-3π/4)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向右平行移动3π/4个单位而得到的。

一般地,函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动

|φ|个单位而得到的。


Y asin x

归纳总结

  函数y=Asin(ωx+φ) (A>0, ω>0)的图象可以用下面的方法得到:

沿x轴向左(右)平移

Y=sinx

Y=sin(x+φ)

|φ|个单位

横坐标变为原来的1/ω倍

Y=sin(ωx+φ )

纵坐标变为原来的A倍

Y=Asin(ωx+φ )


Y asin x

课堂反馈

不画图,说明下列函数的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换得到:

(1) y=4sinx

(2) y=sin(4x)

(3) y=sin(x+3)

(4) y=2sin(3x+2)


Y asin x

课时小结

1.函数y=Asin( x+ )的图象可由变换得到,

也可用五点法得到.

2.作图时请注意X轴是实数轴,坐标刻度角一律用弧度制.


Y asin x

思考

变换顺序改变以后,变换过程是否一样?如果不一样又该如何描述?


Y asin x

再见


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