אנרגיה פוטנציאלית ושימור האנרגיה

1. אנרגיה פוטנציאלית ושימור האנרגיה בתקופה הפריהיסטורית תושבי איי הפסחא חצבו אבנים ענקיות במחצבה ולאחר מכן גררו אותם לאתרים בכל האי. לא ברור עד היום כיצד יכלו להוביל אותם למרחק של עד 10 ק"מ ללא מכונות מתוחכמות, והרבה תיאוריות הוצעו. מהי האנרגיה הדרושה להזיז פסל אחד ע"י אמצעים פרימיטיביים?

2. אנרגיהפוטנציאלית כזכור אנרגיה קינטית היא האנרגיה השייכת לגוף עקב מהירותו. אנרגיה פוטנציאלית היא האנרגיה השייכת לקונפיגורציה של מערכת גופים המפעילים כוח אחד על השני. אם הקונפיגורציה משתנית גם האנרגיה הפוטנציאלית משתנית (בדרך כלל). סוגים של אנרגיה פוטנציאלית: • אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית שייכת למערכת של גופים נפרדים הנמשכים אחד לשני ע"י כוח משיכה גרביטציוני. הרמת משקולת מעל הראש מגדילה את ההפרדה בין המשקולת וכדור הארץ. הכוח שבעזרתו הורמה המשקולת שינה את האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת משקולת – כדור הארץ.

3. 2. אנרגיה פוטנציאלית אלסטית שייכת לדחיסה או למתיחה של גוף אלסטי. כדי למתוח או לדחוס גוף אלסטי יש צורך לעשות עבודה. הגוף מתנגד לפעולה שפועלת עליו ולכן יש להפעיל כוח כדי לבצע את העבודה. הקשר בין העבודה שנעשית על גוף והשינוי באנרגיה הקינטית שלו הוא K = W . כאשר זורקים גוף כלפי מעלה כוח הגרביטציה עושה עבודה שלילית כיון שהכוח מעביר אנרגיה קינטית מהגוף. האנרגיה מועברת לאנרגיה פוטנציאלית של המערכת ארץ – גוף.

4. בזמן הנפילה העברת האנרגיה משנה כיוון. העבודה ע"י כוח הגרביטציה היא חיובית, והכוח מעביר אנרגיה פוטנציאלית מהמערכת ארץ – גוף לאנרגיה הקינטית של הגוף. מהנפילה או מהעלייה ניתן להגדיר את השינוי U באנרגיה הפוטנציאלית U = -W

5. גוף קשור לקפיץ. נותנים לגוף מהירות התחלתית ימינה כוח הקפיץ, שכוונו שמאלה, עושה עבודה שלילית ומעביר מהאנרגיה הקינטית של הגוף לאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת. הגוף מואט, נעצר ומתחיל לנוע שמאלה. כוח הקפיץ עדיין פועל שמאלה. מעבר האנרגיה הוא בכיוון הפוך, מאנרגיה פוטנציאלית של המערכת לאנרגיה הקינטית של הגוף.

6. כוחות משמרים ומכלים Conservative and Nonconservative Forces מסגרת כללית יותר לדוגמאות האחרונות: 1. כל מערכת כוללת לפחות שני גופים. 2. כוח פועל בין גוף במערכת ובין שאר המערכת. 3. כאשר הקונפיגורציה משתנית, הכוח עושה עבודה W1 על הגוף, ומעביר בין האנרגיה הקינטית Kלבין צורות אחרות של אנרגיה של המערכת. 4. כאשר השינוי בקונפיגורציה מתהפך, הכוח הופך את מעבר האנרגיה ועושה עבודה W2 .

7. במערכת שבה תמיד מתקיים W1 = –W2, הצורה השניה של האנרגיה היא אנרגיה פוטנציאלית, והכוח הוא כוח משמר. כוח הגרביטציה והכוח האלסטי של הקפיץ הם כוחות משמרים. אחרת לא היינו מדברים על האנרגיה הפוטנציאלית שלהם. כוחות החיכוך והגרר למיניהם הםכוחות בלתי משמרים. כאשר נותנים דחיפה לגוף על משטח לא חלק, הוא מואט. כוח החיכוך עושה עבודה שלילית על הגוף ומעביר אנרגיה קינטית מהגוף לאנרגיה תרמית, שהיא האנרגיה הקינטית השייכת לתנועת האטומים והמולקולות. תהליך זה אינו הפיך.

8. כוחות משמרים כיצד נקבע אם כוח הוא כוח משמר? ניתן לכוח לפעול על חלקיק מנקודה a ל - b וחזרה, ונראה אם האנרגיה הקינטית שהחלקיק מרוויח בכיוון הלוך שווה לאנרגיה הקינטית שהוא מפסיד בכיוון חזור. ניסוח I: העבודה שעושה כוח משמר על חלקיק הנע במסלול סגור היא אפס. ניסוח II: העבודה שעושה כוח משמר על חלקיק הנע בין שתי נקודות אינו תלוי במסלול שבו נע החלקיק.

9. Wab,1 + Wba,2 = 0 1 b Wab,1 = –Wba,2 a 2 Wab,2 = –Wba,2 Wab,1 =Wab,2 חישוב האנרגיה הפוטנציאלית כוח משמר F פועל על גוף המהווה חלק ממערכת. הכוח עושה עבודה W. xf W = ∫F(x) •dx = –U xi

10. אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית: yf yf U = –∫(– mg)dy = mg ∫dy = mg (yf– yi) yi yi U = mg y U – Ui = mg (y – yi) האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת אדמה – גוף תלויה רק בגובה y של החלקיק מעל האדמה יחסית לנקודה y=yi. היא אינה תלויה במיקומו האופקי של הגוף. Ui היא האנרגיה הפוטנציאלית של גוף כשהוא נמצא בנקודת ייחוס בגובה yi. בדרך כלל בוחרים את נקודת הייחוס בגובה אפס. כלומר Ui = 0כאשרyi = 0 .

11. אנרגיה פוטנציאלית אלסטית: לקפיץ קבוע כוח k. כאשר הגוף נע מנקודה xi לנקודה xf כוח הקפיץ F = -kx עושה עבודה על הגוף. xf xf U = –∫(– kx)dx = k ∫xdx xi xi U = (½)kxf2– (½)kxi2 נקודת הייחוס היא במצב שיווי המשקל של הקפיץ בו xi = 0. U = (½)kx2

12. חלקיק נע לאורך ציר ה- x מ x = 0 -עדx = xf בזמן שכוח משמר, המכוון לאורך ציר x, פועל עליו. בציור להלן מתוארים שלושה מקרים של כוחות שונים. הם בעלי אותו ערך מקסימלי של הכוח שערכו שווה ל – F1. דרג את שלושת המקרים לפי השינוי באנרגיה הפוטנציאלית שלהם. ii iii i F1 F1 xf xf xf F1 xf U = –F(x) dx xi

13. xf U = – [F1 – (F1/xf) x] dx = – [F1xf – (½)(F1/xf) xf2] 0 i. U = –( ½) F1xf xf U = – F1 dx = –F1xf 0 ii. iii. xf U = – [–F1 + (F1/xf) x] dx = –[–F1xf + (½)(F1/xf) xf2] 0 U = (½) F1xf

14. שימור האנרגיה המכנית האנרגיה המכנית היא סכום האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות. Emec = K + U נטפל במקרה בו לא פועל כוח חיצוני במערכת. כלומר המערכת מבודדת מהסביבה. כאשר כוח משמר עושה עבודה W על גוף בתוך מערכת, הוא מעביר אנרגיה בין האנרגיה הקינטית K של הגוף והאנרגיה הפוטנציאלית U של המערכת. השינויבאנרגיה הקינטית: K = W השינוי באנרגיה הפוטנציאלית:U = –W והתוצאה: K + U=0 .

15. K + U = 0 K2– K1 = –( U2 –U1) K2 + U2 = K1 + U1 שימור האנרגיה המכנית Emec,2 = Emec,1 במערכת מבודדת שבה פועלים כוחות משמרים בלבד האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית יכולות להשתנות, אבל האנרגיה המכנית של המערכת נשארת קבועה. זהו חוק שימור האנרגיה המכנית והוא מאפשר לנו לפתור בעיות שקשה לפתור אותן בעזרת חוק II של ניוטון.

16. דוגמה לשימור אנרגיה. כאשר המטוטלת נעה מצד לצד האנרגיה של המערכת ארץ – מטוטלת נעה הלוך וחזור בין אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית. ידיעת האנרגיה הפוטנציאלית בנקודה הגבוהה ביותר נותנת את האנרגיה הקינטית בנקודה הנמוכה ביותר.

17. בתמונה המצורפת מתוארים 4 מקרים. במקרה הראשון גוף נופל נפילה חופשית. בשלושת המצבים הבאים הגוף מחליק במורד משטח חסר חיכוך. באיזה מקרה יש לגוף את המהירות הגבוהה ביותר בהגיעו לנקודה B ובאיזה מקרה תהיה לו את המהירות הנמוכה ביותר.

18. קופצת bungee שמשקלה 61 ק"ג קשורה לחבל קופצת מגשר שגובהו 45 מטר וקשורה למיתר שאורכו L הוא 25 מטר. המיתר מקיים את חוק הוק עם קבוע כוח של 160 N/m. הקופצת נעצרת לפני המים. באיזה גובה h נמצאים רגליה מעל המים. המיתר מתארך ב - d. ניתן למצוא אותו מתוך שימור האנרגיה בין המצב ההתחלתי והסופי. K + Ue + Ug = 0

19. K = 0 Ue = (½)kd2 Ug = mg y = –mg ( L +d ) 0 + (½)kd2 –mg ( L +d ) = 0 (½)d2– mgd/k – mgL/k =0 d = (mg/k) ± (m2g2/k2 +2mgL/k)½ d = 17.9 m רגלי הקופצת הם במרחק של= 42.9 m 25 +17.9 מתחת לגשר, כלומר 2.1 מטר מעל המים.

20. קריאת עקומת האנרגיה הפוטנציאלית. נתון חלקיק שהוא חלק ממערכת שבה פועל כוח משמר. נניח כי החלקיק מוגבל רק לתנועה לאורך ציר ה – x. U(x) ניתן להסיק מסקנות רבות על תנועת החלקיק מתוך עקומת האנרגיה הפוטנציאלית המתוארת בצד.

21. 1. חישוב הכוח U = –W = –F(x) x F(x) = –U/x והמעבר לגבול נותן F(x) = –dU/dx במקרה של קפיץ U(x) = ½kx2 והכוח הפועל הוא F(x) = –kx במקרה של גרביטציה U(x) = mgx והכוח הפועל הוא F(x) = –mg

22. 2. עקומת האנרגיה הפוטנציאלית נתונה עקומת אנרגיה פוטנציאלית U(x). את הכוח F(x) הפועל על החלקיק ניתן לחשב (באופן גרפי) מתוך הנגזרת של האנרגיה הפוטנציאלית. התוצאה תהיה

23. הגוף נמצא ב – x2. הזזתו ימינה היא לאזור שבו שיפוע U(x) חיובי ולכן הכוח הוא שלילי, כלומר פועל שמאלה חזרה לנקודת שיווי המשקל. הזזתו שמאלה היא לאזור שבו השיפוע שלילי ולכן הכוח פועל ימינה ומחזיר את הגוף לנקודת שיווי המשקל. לכן הנקודה היא נקודת שיווי משקל יציב. הנקודה x3 היא נקודת שיווי משקל רופף. הוצאת הגוף משיווי משקל יתבטא בכוח שירחיק את הגוף מנקודת שיווי המשקל.

24. 3. נקודות חזרה K(x>x5) = 1J K(x2)=5J בהעדר כוחות בלתי משמרים U(x) + K(x) = Emec K(x) = Emec– U(x) נניח כי Emec = 5J האנרגיה הקינטית תלויה במיקום הגוף. האנרגיה הקינטית אינה יכולה להיות שלילית. החלקיק אינו יכול להיות משמאל ל – x1. כאשר החלקיקמגיע לנקודה זו מימין, מהירותו היא אפס, והוא אינו יכול לנוע שמאלה. הכוח הפועל עליו הוא חיובי (פועל ימינה) ולכן הוא מתחיל לנוע ימינה. נקודה זו היא נקודת חזרה.

25. 4. נקודות שווי משקל x0 בנקודות x < x0 x >x5 x = x4 x = x3 x = x2 הכוח מתאפס, ולכן הגוף נמצא בשיווי משקל. בנקודות x <x0ו – x > x5 שווי המשקל הוא אדיש. הזזת הגוף אינה משנה את האנרגיה הפוטנציאלית שלו. נקודות x2 ו – x4הן נקודות שיווי משקל יציב. הזזת הגוף מנקודת שיווי המשקל מגדילה את U(x). הכוח –dU/dx דוחף את הגוף חזרה לנקודת שיווי המשקל.

26. עבודה הנעשית על מערכת ע"י כוח חיצוני. עבודה היא אנרגיה המועברת למערכת או מהמערכת ע"י כוח חיצוני. אם פועל יותר מכוח אחד על המערכת העבודה הנקיה היא האנרגיה המועברת למערכת. במערכת של חלקיק בודד העבודה הנעשית ע"י כוח חיצוני יכולה לשנות את האנרגיה הקינטית (K=W)בלבד. במערכת כזו יש רק אנרגיה אחת בלבד, האנרגיה הקינטית של החלקיק. במערכת יותר מורכבת (רב-חלקיקית למשל), עבודת הכוח החיצוני יכולה לשנות גם את האנרגיה הפוטנציאלית. נמצא קשר בין עבודת הכוח החיצוני ובין אנרגיות המערכת.

27. W מערכת ללא חיכוך: בזריקת כדור כלפי מעלה, היד נעה כלפי מעלה ומפעילה כוח חיצוני על הכדור. יש שינוי במהירות הכדור ובמרחקו מכדור הארץ. כלומר יש שינוי באנרגיה הקינטית של הכדור ובאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת ארץ – כדור. W = K + U Emec = K + U W = Emec

28. מערכת עם חיכוך v0 v כוח קבוע F פועל על גוף לאורך העתק d, ומגדיל את מהירותו מ - v0ל -.v במשך התנועה פועל חיכוך קינטי fk. F fk d F – fk = ma ובאופן כללי יכול להיות גם שינוי באנרגיה הפוטנציאלית, אם למשל הגוף ינוע על מישור משופע. v2 = v02 + 2ad a = (F – fk) / m v2 = v02 + 2 d (F – fk) / m Fd = ½mv2– ½mv02 + fkd Fd = Emec + fkd Fd = K + fkd

29. ניסויים הראו כי החיכוך גורם לחימום הגוף והמשטח עליו הוא נע. החימום גורם להעלאת הטמפרטורה של שני הגופים. טמפרטורת גוף קשורה לאנרגיה התרמית שלו. ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר, האנרגיה התרמית גבוהה יותר. האנרגיה התרמית גדלה כתוצאה מעבודת כוח החיכוך. Eth = fkd Fd = Emec + Eth W =Emec + Eth העבודה שעושה הכוח החיצוני משנה את האנרגיה המכנית של המערכת ואת האנרגיה התרמית. Emec W Eth

30. פסלי האבן הגדולים שבאי הפסחא הובלו כנראה ממקום חציבתם למקומם הנוכחי בעזרת מזחלת עץ שנגררה על "מסלול" שהורכב מבולי עץ. בשחזור נדרשו 25 אנשים לגרור פסל שמשקלו 9000 ק"ג למרחק 45 מטרים במשך 2 דקות. מהי העבודה שעשה הכוח F שהפעיל הצוות בגרירת הפסל ועל איזה מערכת הכוח עשה את העבודה? אנו מניחים שכל חבר צוות הפעיל כוח גרירה השווה לפעמיים משקלו שהוא בממוצע 80 ק"ג. F = 25•2•mg W =50mgd cos0° = 50•80•9.8•45•1 = 1.8 •106J = 1.8 MJ

31. W = Eth + Emec אין ספק שקיים חיכוך ולכן יש שינוי באנרגיה התרמית. לעומת זאת המזחלת התחילה ממנוחה וסיימה במנוחה (K = 0)ולא שינתה את גובהה מעל האדמה (U = 0). מסקנה: העבודה שינתה רק את האנרגיה התרמית. כמה עבודה צריכה להיעשות בהזזת הפסל למרחק של 10 ק"מ ? W = 50mgd cos0° = 50•80•9.8•104•1 = 3.9•108 J  400 MJ זוהי כמות גדולה מאוד של אנרגיה אבל אפשרית. אין שום דבר מסתורי במקורם של פסלי אי הפסחא.

32. חוק שימור האנרגיה האנרגיה הכללית של מערכת יכולה להשתנות רק בכמות של האנרגיה המועברת למערכת דרך עבודת הכוח החיצוני. W = E = Emec + Eth + Eint זהו איננו חוק שנובע מתוצאה של עקרונות פיסיקליים יסודיים. הוא מבוסס על מספר עצום של ניסויים. עד היום לא נמצא שום דוגמא הסותרת חוק זה. אם המערכת מבודדת מסביבתה, שום אנרגיה לא מועברת למערכת, וחוק שימור האנרגיה אומר במערכת מבודדת האנרגיה הכללית של המערכת אינה יכולה להשתנות.

33. בתוך המערכת המבודדת עצמה אנרגיה יכולה לעבור בין המרכיבים השונים שלה. Emec + Eth + Ein = 0 Emec,1 + Eth,1+Eint,1 = Emec,2 + Eth2+Eint,2 במערכת מבודדת ניתן ליחס את האנרגיה הכללית במצב אחד למצב שני ללא ידיעת אנרגיות מצבי הביניים ולא ידיעת פרטי המעבר בין שני המצבים. כיון שאנו מעונינים בעיקר בשינויי האנרגיה המכנית כאשר מערכת מבודדת עוברת ממצב 1 למצב 2. Emec,2 = Emec,1 + Eth + Ein ובמקרה פרטי בו אין חיכוך ואין שינוי באנרגיה התרמית Emec,2 = Emec,1

34. הספק ההספק הוא קצב עשיית העבודה וגם קצב העברת האנרגיה למערכת או מהמערכת. Pavg = E / t P = dE / dt [P] = J/s = watt = W חשמל משלמים לפי קילוואט-שעה: 1 kW • hour = 1000 watt • 3600 s = 3.6x106 J בכמות העבודה הזאת אפשר להרים משקל של טון לגובה של 360 מטר! Work = 1000 • 10 • 360 = 3.6x106 J

35. כלבת קרקס שמסתה 6 ק"ג רצה בקצה השמאלי של מסלול במהירות של 7.8 מ/ש ובגובה של 8.5 מטר. היא מתחילה להחליק ועוצרת בגובה של 11.1 מטר. המסלול אינו חסר חיכוך. מהו הגידול באנרגיה התרמית של המסלול והכלבה. זוהי מערכת מבודדת ולכן Emec + Eth = 0 K = 0 – (½)mv02 Eth = – Emec U = mgy – mgy0 Eth = (½)mv02– mg(y – y0) = 30 J