基礎力学応用演習１ 2 回目

基礎力学応用演習１2回目 ２０１２．７．３講師：幹浩文 TA：島　淳（A308） A１04（9：10~10：40）　【火】 http://www.wakayama-u.ac.jp/~hjs/kisorikigaku-2012/

前ドア 基礎力学応用演習座席表－2012 ホァイトボード過年度生

スケジュール １．運動学と数学的準備（ベクトル、速度と加速度）　　　　4.10（１章）２．運動学と数学的準備（等速円運動）　　4.17 （１章）　３．力と運動（運動の法則・力の法則、放物運動）（２章） 4.24（小テスト－１）４．放物運動　力と運動（摩擦力と垂直抗力、雨滴の落下とスカイダイビング（２章） 5.1 ５．力と運動（運動量と力積）（２章） 5.8（小テスト―２：１～４回目までの演習内容）６．振動（弾力と単振動、減衰振動）（３章）　5.15 ７．振動（強制振動と共振、連成振動　（３章）　5.22 ８．仕事とエネルギー（仕事、仕事とエネルギー１）（４章）　　5.29 ９．仕事とエネルギー（仕事、仕事とエネルギー２、エネルギーとエネルギー保存の法則）　（４章）　　6.5 10．回転運動と角運動量（質点の回転運動、惑星の運動）　（５章） 6.12 １１．質点系と剛体の力学（重心、質点系と剛体の運動法則、2体問題）（６章）6.19 １２．質点系と剛体の力学（鋼体のつり合い、固定軸まわりの剛体の回転）（６章）7.3 13．質点系と剛体の力学　　　　　　　　慣性モーメント　（鋼体の平面運動、ベクトル積で表した回転運動の法則）　　（６章）7.10 １４．見かけの力　　（７章）7.17 １５．まとめと試験：7月24日 or 8月7日（火）テスト　 8/2（木）~8/8（水）テスト期間、 6.26 学生大会授業休止日

2012.6.１9(１１回目）の課題

演習問題【１】　太陽のまわりをまわる惑星の軌道が円軌道であるとすると、惑星の速さｖは軌道半径Ｒの平方根に反比例することを示せ。演習問題【１】　太陽のまわりをまわる惑星の軌道が円軌道であるとすると、惑星の速さｖは軌道半径Ｒの平方根に反比例することを示せ。解答例

【２】　地球（質量M)のまわりの半径ｒの円軌道を回る人工衛星（質量ｍ）の周期Ｔを求めよ。地表のごく近くの円軌道上を運動する人工衛星の速さと周期はいくらか。【２】　地球（質量M)のまわりの半径ｒの円軌道を回る人工衛星（質量ｍ）の周期Ｔを求めよ。地表のごく近くの円軌道上を運動する人工衛星の速さと周期はいくらか。解答例

【３】　月面にある物体が月の引力圏から脱出するために必要な速さvmを求めよ。月面での重力加速度gM≒g/6,　月の半径RM=(1/3.7)RE（地球の半径）、地球からの脱出速度vE=11.2km/sを使えよ。【３】　月面にある物体が月の引力圏から脱出するために必要な速さvmを求めよ。月面での重力加速度gM≒g/6,　月の半径RM=(1/3.7)RE（地球の半径）、地球からの脱出速度vE=11.2km/sを使えよ。解答例

【４】　周期が70年の彗星(すいせい）の軌道の長径は地球の軌道の長径の何倍か。【４】　周期が70年の彗星(すいせい）の軌道の長径は地球の軌道の長径の何倍か。解答例惑星が太陽を一周する時間（周期T)の2乗は、軌道の長軸半径aの３乗に比例する（a3/T2=一定）　【ケプラーの法則３】

【５】　人工衛星の打ち上げには多段ロケットを使い、次第に加速するとともに軌道を修正して、所定の軌道に衛星をのせる。多段ロケットを使わず、一般ロケットで打ち上げて軌道修正をしない場合には、人工衛星はどうなるか。【５】　人工衛星の打ち上げには多段ロケットを使い、次第に加速するとともに軌道を修正して、所定の軌道に衛星をのせる。多段ロケットを使わず、一般ロケットで打ち上げて軌道修正をしない場合には、人工衛星はどうなるか。解答例衛星と地球間万有引力Ｆ

楕円軌道（だえんきどう） (elliptical orbit) は、楕円形の軌道。 • 楕円は2定点 F1, F2 からの距離の和が一定である点の集合。原点Oを中心とする楕円の方程式は: • 天体の周回軌道はケプラーの第1法則により一般に楕円軌道をとる。衛星に軌道投入 (Ascent to Obit around the Earth)：一般の方式は、1段燃焼終了後、しばらく弾道飛行させて、飛行経路角が十分小さくなってから2段に着火して加速する。参考としての資料

地球上の重力の加速度（ｇo）を高度に応じて補正しなくてはならない地球上の重力の加速度（ｇo）を高度に応じて補正しなくてはならない高度ｈにおける重力の加速度ｇは ①　人工衛星になるための速度条件　　　必要速度：Vs (km)地球の半径：R = 6378(km) 重力の加速度：g0=9.8(m/s2)地表面高度：h(km) ②　１段ロケットの速度推進材が燃え尽きたときの速度：V 燃焼ガスの有効排気速度：Ve 機体の初期重量：W1, 燃え尽き重量：W2（Veは固体燃料の場合2000~3000m/s） V = Ve ･ loge ( W1 / W2 )

② で示したように人工衛星になるための速度条件は７．９　km/s、加速に１００秒程度必要とするば、その間の重力加速度による減速が１ km/s 加わるから約９ km/sの速度を要求される。　　　いま、有効排気速度Ve を３ km/sとすればその３倍の速度を稼がねばならない。このためには質量比が20でなければならないから、人工衛星の構成は推進材重量が９５％となり、残りの５％が機体重量となり実現は困難である。 V = Ve ･ loge ( W1 / W2 ) ③　多段ロケットの速度各段の質量比：Q1,Q2,,Q3,････････,Qn; V = Ve･loge(Q1･Q2･Q3･･･････Qn) Qe = Q1･Q2･Q3･････Qnと書くことにすると, V = Ve･loge(Qe),Qe：「相当質量比」各段の質量比が等しい場合は（ｎ段とも質量比をQとして）: V = n･Ve･loge(Q) ２段で構成すると 2･loge(5) = 3.219・・・・各段の推進材(W1-W2) ８０％　　W2機体２０％３段で構成すると　3･loge(3) = 3.295・・・・各段の推進材(W1-W2) ６７％　　機体３３％となり、実現が可能になる。 http://homepage3.nifty.com/kubota01/satellite.htm

【６】　物質の密度分布が球対称な場合、球の中心から距離ｒの地点にある物体に働く重力は、中心から半径ｒの球面の内部にある全質量Ｍ(r)が 球の中心に集まっている場合の重力と等しいことが証明できる。（１）地球が密度ρの一様な球だとして、地球に中心を通るまっすぐな長い穴を開けて、地球の表面から質量ｍの質点を静かに落としたとき、この質点の運動を調べよ。解答例

【６－２】渦巻き銀河は中心のまわりを回転している。この回転の速さは星雲の中の分子の放射する光のドップラー効果から求められる。渦巻き銀河の質量のほとんどが光っている恒星の質量だとすると、光っている渦巻き銀河の外側のガスの分子（銀河中心からの距離ｒ）の公転する速さｖ（ｒ）はｒとともにどのように変化するか。銀河は円盤状であるが、簡単のために、銀河中心から距離ｒの点の物体に働く重力はその内側の全質量が銀河中心に集中したときと同じであると近似せよ。【６－２】渦巻き銀河は中心のまわりを回転している。この回転の速さは星雲の中の分子の放射する光のドップラー効果から求められる。渦巻き銀河の質量のほとんどが光っている恒星の質量だとすると、光っている渦巻き銀河の外側のガスの分子（銀河中心からの距離ｒ）の公転する速さｖ（ｒ）はｒとともにどのように変化するか。銀河は円盤状であるが、簡単のために、銀河中心から距離ｒの点の物体に働く重力はその内側の全質量が銀河中心に集中したときと同じであると近似せよ。解答例

【６－３】　渦巻き銀河外側のガスの放射する光のドップラー効果から求められた公転の速さｖ（ｒ）は、銀河中心からの距離ｒに関係なくほぼ一定である。このことから何がわかるか。【６－３】　渦巻き銀河外側のガスの放射する光のドップラー効果から求められた公転の速さｖ（ｒ）は、銀河中心からの距離ｒに関係なくほぼ一定である。このことから何がわかるか。解答例：　問（２）より実際は「ｖ（ｒ）は、銀河中心からの距離ｒに関係なくほぼ一定」となっているから

参考としての資料P1 ドップラー効果ドップラー効果とは、波（音波や光波や電波など）の発生源（音源・光源など）と観測者との相対的な速度によって、波の周波数が異なって観測される現象のこと。発生源が近付く場合には波の振動が詰められて周波数が高くなり、逆に遠ざかる場合は振動が伸ばされて低くなる。

参考としての資料P2 • 光のドップラー効果 • 光の場合でも同様の効果が起こり、遠ざかる光源からの光は赤っぽく見え（赤方偏移）、近付く光源からの光は青っぽく見える（青方偏移）。しかし、光の伝播は特殊相対性理論に従うため、通常の波のドップラー効果とは違った現象を見せる。 • そもそもドップラー効果の原因は、波源や観測者が波の媒質に対して速度を持つために波の山の間隔が変わる所にあるが、光は波源や観測者の速度によらず常に光速c で伝播するように見えるので、山の間隔の変わり方が通常の波の場合とは異なってくる。また、光の場合、波源が運動していると、特殊相対論的な効果によって波源上での時間の進み方が遅れて見える。これによって波源から出る光の振動数が小さく見える効果が付け加わる。 • 以上の効果によって、光源Sが観測者Oから見て角度θの方向に速さVで運動している場合、Oでの光の振動数ν‘は、 • となる。ここで、ν ：光源の出す光の振動数、V ：観測者から見た光源の速さ、c ：光速、θ ：観測者から見た光源の動く方向（θ=0：観測者に向かってくる場合） • 重要なのは、光の場合には光源が観測者に対して真横に運動していて、視線方向の速度を持っていない場合(θ=90°)でも光の振動数が変化して見えることである。これを横ドップラー効果という。

【７】　質量が太陽の質量(2×1030kg)の２倍、密度が太陽の密度の約1015倍（R≒9km)の中性子星（ちゅうせいしせい）の表面からの脱出速度はいくらか。【７】　質量が太陽の質量(2×1030kg)の２倍、密度が太陽の密度の約1015倍（R≒9km)の中性子星（ちゅうせいしせい）の表面からの脱出速度はいくらか。「中性子星：　密度　10億t／ 1cm3」解答例問５を参考 ①　人工衛星になるための速度条件　　　必要速度：Vs (km)地球の半径：R = 6378(km) 重力の加速度：g0=9.8(m/s2)地表面高度：h(km)

【７】　質量が太陽の質量(2×1030kg)の２倍、密度が太陽の密度の約1015倍（R≒9km)の中性子星（ちゅうせいしせい）の表面からの脱出速度はいくらか。【７】　質量が太陽の質量(2×1030kg)の２倍、密度が太陽の密度の約1015倍（R≒9km)の中性子星（ちゅうせいしせい）の表面からの脱出速度はいくらか。「中性子星：　密度　10億t／ 1cm3」別解

第6章　質点系と剛体の力学

固定軸まわりの剛体の回転 （a）固定軸（b）非固定軸（公転とともに自転：地球⇒太陽）

P77 図6.10 慣性モーメントの例 慣性モーメントは、同じ物体でも、回転軸の位置によって異なる

平行軸の定理（重心から離れた点を通る回転軸に関する定理）：平行軸の定理（重心から離れた点を通る回転軸に関する定理）：（慣性モーメントは、同じ物体でも、回転軸の位置によって異なる）１つの軸のまわりの剛体の慣性モーメントＩとこの剛体の重心Ｇを通りこの軸に平行な軸のまわりの慣性モーメント IG との間にはが成り立つ。

今日はここまで 今週の宿題：第6章演習問題１－18

基礎力学応用演習１ 2 回目

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