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『 無限解析入門 』   における誤差について PowerPoint PPT Presentation


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『 無限解析入門 』   における誤差について. 徳島大学工学部   高橋浩樹. 1. 『 無限解析入門 』 の誤差とは? 2.誤差に注目する理由 3.ある誤差リストの解釈 4.仮説の全体像. 1. 『 無限解析入門 』 の誤差とは?. Leonhard Euler (1707-1783). 生誕300周年. 「オイラーは人が息をするように、 また鷲が空を舞い遊ぶように、 見た目には何の苦労もなく計算した」 天文学者 フランソア・アラゴ.         オイラーの解析三部作                 著述   出版

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『 無限解析入門 』   における誤差について

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Presentation Transcript


4745647

『無限解析入門』  における誤差について

徳島大学工学部   高橋浩樹

1.『無限解析入門』の誤差とは?

2.誤差に注目する理由

3.ある誤差リストの解釈

4.仮説の全体像


4745647

1.『無限解析入門』の誤差とは?

Leonhard Euler(1707-1783)

生誕300周年

「オイラーは人が息をするように、

また鷲が空を舞い遊ぶように、

見た目には何の苦労もなく計算した」

天文学者 フランソア・アラゴ


4745647

        オイラーの解析三部作

                著述   出版

『無限解析入門』   1745  1748

『微分計算教程』   1748  1755

『積分計算教程』   1763  1768~1770

・『入門』には,数値データに60個を超える間違いがある.

・単なる誤植や数値の表現(四捨五入・切捨て)といった

 理由ではないようである.

疑問

 オイラーは数値計算が不得意だったのか?


4745647

log (1+x)/(1-x)のマクローリン展開を用いた計算

53527

16963

04904


4745647

16

38

94

39

08

85

77

32

56

74

60

05

51

39

50

sin (m/n π/2)の

マクローリン展開

プログラム


4745647

00

49

63

72

62

30

70

10

36

23

86

15

30

84

67

28

cos (m/n π/2)の

マクローリン展開


4745647

tan (m/n π/2)

cot (m/n π/2)の

マクローリン展開

35

15

373

69

33

53

60

27

58


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(ゼータ値の近似値)

×(1-1/2n)

548818


4745647

(ゼータ値の近似値)

×1/2n

10

75

04

70

96

73

15

271503

08

53

9255

55

13

86

84

08

85

58

10

77

45

86

71

68


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素数ベキ和の近似値

ゼータ値の近似値を組み合わせて求められる

1065

246

37

18

74437

35

25

19

02

24

46

84

55

33

26

30

07

51


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2.誤差に注目する理由

  ゼータ関数に関わる2つの疑問

A.ゼータ関数の「美しい関係」

  なぜオイラーは,関数等式を美しいと

  形容したのか?

B.ゼータ関数の特殊値

  なぜオイラーは,特殊値を数多く計算

  したのか?


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A. 『美しい関係』(E352)

美しい? 

定義


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注)1749年に著述

太陽と月の記号


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1748年の金冠日食に関する文献

E117 [著述 1748, 出版 1749]

Reflexions sur la derniere eclipse du Soliel du 25 julliet a. 1748.

金冠日食の観測データ

E142 [著述 1748, 出版 1750以降?]

Sur l'atmosphere de la lune prouvee par la derniere eclipse annulaire du soleil.

月の大気に関する推測


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解釈

上の式・・・太陽が月の背後に位置する.

下の式・・・太陽の光の環がなおも輝く.

Z(n-1)/Z(-n)

Γ(n)

cos(nπ/2)

πn


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B. ゼータ関数の特殊値のリスト

E41 [著述 1735, 出版 1740.]

  バーゼル問題の解決      12 までのゼータ値

E101 [著述 1745, 出版 1748.]

『無限解析入門』

・・・「いくつか書き添えておく」 26までのゼータ値

E212 [著述 1748, 出版 1755.]

『微分計算教程』 30までのゼータ値

E352 [著述 1749, 出版 1768.]

   美しい関係

・・・ 「計算した限りを示す」

34までのゼータ値abc


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ゼータ関数の特殊値

ベルヌーイ数との関係(オイラーの発見)


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予測できる素数たち


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周期p-1

予測が困難な素数たち


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分子に現れない素数

⇔B0,B2,B4,…..,Bp-3のどの分子もpで割れない。

正則素数

2、3、5、7、11、13、17、19、

23、29、31、41、・・・・・・

分子に現れる素数

⇔B0,B2,B4,…..,Bp-3のどれかの分子がpで割れる。

非正則素数

37、59、67、101、103、131、・・・、

283、・・・、593、・・・、617、・・・、

683、691、・・・・・・


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疑問

・691という素数がζ(12)に突如現れたことに

 興味を抱かなかったのか?

・34までのゼータ値を求めたのに,最小の非正則

 素数37に気づかなかったのか?

仮説

『無限解析入門』のゼータ値の近似値の誤差に,

オイラーは非正則素数を書き記した.

基本的には,誤差の素因数として書き記した.

1998=54・37

1998-1526=472= 8・59

804=12・67=37+59+67+101+103+131+149+157

公表しなかった理由は後述


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60を超える誤差の解釈    『無限オイラー解析』現代数学社

この本はオイラーの問題集.

未発見の解答が残っている.

「理系への数学」(現代数学社)

9月号より詳細な探究の連載

『オイラー数学の源流』

    第1回 巨人オイラー

    第2回 超越への助走


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3.ある誤差リストの解釈

sin と cos のマクローリン展開の係数の誤差リスト

01 -0.0000000000000000000000000000

03 +0.0000000000000000000000000002

05 -0.0000000000000000000000000006

07 +0.0000000000000000000000000007

09 -0.0000000000000000000000000003

11 +0.0000000000000000000000000005

13 -0.0000000000000000000000000006

15 +0.0000000000000000000000000008

17 -0.0000000000000000000000000006

19 +0.0000000000000000000000000004

21 -0.0000000000000000000000000004

23 +0.0000000000000000000000000002

25 -0.0000000000000000000000000001

27 +0.0000000000000000000000000000

29 -0.0000000000000000000000000001

00 -0.0000000000000000000000000000

02 +0.0000000000000000000000000004

04 -0.0000000000000000000000000004

06 +0.0000000000000000000000000008

08 -0.0000000000000000000000000004

10 +0.0000000000000000000000000004

12 -0.0000000000000000000000000005

14 +0.0000000000000000000000000002

16 -0.0000000000000000000000000006

18 +0.0000000000000000000000000003

20 -0.0000000000000000000000000005

22 +0.0000000000000000000000000003

24 -0.0000000000000000000000000003

26 -0.0000000000000000000000000001

28 -0.0000000000000000000000000002

30 +0.0000000000000000000000000002


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気づくこと

 ・31個中28個もの誤差がある.

 ・数値に対する誤差の割合は急激に膨張している.

 ・誤差は最終一桁の範囲に収まっている.

 ・ひとつのデータのみ絶対値が正値より大きい.

   →奇妙な数値データに思える.

偶然の間違いではなく,意図的なものではないか?

sin(正弦),cos(余弦)

         -楽譜であれば,面白いだろう. 


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  楽譜への変換

-1-シ 0-ド 1-レ 2-ミ 3-ファ 4-ソ 

    5-ラ 6-シ 7-ド 8-レ

演奏0

どうすれば,曲になるのだろうか?

オイラーの公式

eix=cos x+i sin x

係数を組み合わせて,元の指数関数の展開の順番で曲にする!

演奏1


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リズムの調整 賛美歌を参考


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楽譜


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オイラーの曲であると推測する理由


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4.仮説の全体像

『無限解析入門』がオイラーの問題集だとすると,出題者の義務として解答集も残すだろう.

解答集であると考えられる著作

E352『美しい関係』

E343『ドイツ王女への手紙』


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非正則素数と指数

   (1000まで)


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3年前に描いた非正則素数たちの宇宙  (p cos (2πk/(p-1)), psin (2πk/(p-1)))


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E343 ドイツ王女への手紙


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仮説の続き(公表しなかった理由)

 非正則素数に関して,オイラーは神秘的な事実を見出した.

 けれども,神秘の排除という学界の流れの中では,

 その事実の公表は立場上差し控えるべきだった.

 他方,オイラーは彼自身の驚くべき発見を何らかの形では

 残しておきたかった. (ゼータ関数⇔天体⇔ ・・・)

1741年7月25日 ロシアからベルリンに到着

    ↓

1748年7月25日 金冠日食

1748年      『無限解析入門』出版     問題集

              ↓

1768年      『美しい関係』出版   解答集1

1768年      『ドイツ王女への手紙』出版 解答集2      


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仮説の反証可能性

 ・誤差の生成理由を説明する.

 ・このような数値データは稀ではないことを示す.

 (誤差が曲になり,しかも生成理由が説明できないデータの例示)


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参考 log105の計算 log(ab)1/2=(log a+log b)/2

0 0 0 0 0 0 0 0 5 7 6 1 4 6 5 5 0 3 9 7 8 8 3 0

0 0 7 3 5 5 1 5 8 4 6 7 3 3 7 0 1 7 5 9 7 8 3 0


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