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『 無限解析入門 』   における誤差について - PowerPoint PPT Presentation


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『 無限解析入門 』   における誤差について. 徳島大学工学部   高橋浩樹. 1. 『 無限解析入門 』 の誤差とは? 2.誤差に注目する理由 3.ある誤差リストの解釈 4.仮説の全体像. 1. 『 無限解析入門 』 の誤差とは?. Leonhard Euler (1707-1783). 生誕300周年. 「オイラーは人が息をするように、 また鷲が空を舞い遊ぶように、 見た目には何の苦労もなく計算した」 天文学者 フランソア・アラゴ.         オイラーの解析三部作                 著述   出版

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Presentation Transcript

無限解析入門』  における誤差について

徳島大学工学部   高橋浩樹

1.『無限解析入門』の誤差とは?

2.誤差に注目する理由

3.ある誤差リストの解釈

4.仮説の全体像


1.『無限解析入門』の誤差とは?

Leonhard Euler(1707-1783)

生誕300周年

「オイラーは人が息をするように、

また鷲が空を舞い遊ぶように、

見た目には何の苦労もなく計算した」

天文学者 フランソア・アラゴ


        オイラーの解析三部作

                著述   出版

『無限解析入門』   1745  1748

『微分計算教程』   1748  1755

『積分計算教程』   1763  1768~1770

・『入門』には,数値データに60個を超える間違いがある.

・単なる誤植や数値の表現(四捨五入・切捨て)といった

 理由ではないようである.

疑問

 オイラーは数値計算が不得意だったのか?


log (1+x)/(1-x)のマクローリン展開を用いた計算

53527

16963

04904


16

38

94

39

08

85

77

32

56

74

60

05

51

39

50

sin (m/n π/2)の

マクローリン展開

プログラム


00

49

63

72

62

30

70

10

36

23

86

15

30

84

67

28

cos (m/n π/2)の

マクローリン展開


tan (m/n π/2)

cot (m/n π/2)の

マクローリン展開

35

15

373

69

33

53

60

27

58


(ゼータ値の近似値)

×(1-1/2n)

548818


(ゼータ値の近似値)

×1/2n

10

75

04

70

96

73

15

271503

08

53

9255

55

13

86

84

08

85

58

10

77

45

86

71

68


素数ベキ和の近似値

ゼータ値の近似値を組み合わせて求められる

1065

246

37

18

74437

35

25

19

02

24

46

84

55

33

26

30

07

51


2.誤差に注目する理由

  ゼータ関数に関わる2つの疑問

A.ゼータ関数の「美しい関係」

  なぜオイラーは,関数等式を美しいと

  形容したのか?

B.ゼータ関数の特殊値

  なぜオイラーは,特殊値を数多く計算

  したのか?


A. 『美しい関係』(E352)

美しい? 

定義


注)1749年に著述

太陽と月の記号


1748年の金冠日食に関する文献

E117 [著述 1748, 出版 1749]

Reflexions sur la derniere eclipse du Soliel du 25 julliet a. 1748.

金冠日食の観測データ

E142 [著述 1748, 出版 1750以降?]

Sur l'atmosphere de la lune prouvee par la derniere eclipse annulaire du soleil.

月の大気に関する推測


解釈

上の式・・・太陽が月の背後に位置する.

下の式・・・太陽の光の環がなおも輝く.

Z(n-1)/Z(-n)

Γ(n)

cos(nπ/2)

πn


B. ゼータ関数の特殊値のリスト

E41 [著述 1735, 出版 1740.]

  バーゼル問題の解決      12 までのゼータ値

E101 [著述 1745, 出版 1748.]

『無限解析入門』

・・・「いくつか書き添えておく」 26までのゼータ値

E212 [著述 1748, 出版 1755.]

『微分計算教程』 30までのゼータ値

E352 [著述 1749, 出版 1768.]

   美しい関係

・・・ 「計算した限りを示す」

34までのゼータ値abc


ゼータ関数の特殊値

ベルヌーイ数との関係(オイラーの発見)



周期p-1

予測が困難な素数たち


分子に現れない素数

⇔B0,B2,B4,…..,Bp-3のどの分子もpで割れない。

正則素数

2、3、5、7、11、13、17、19、

23、29、31、41、・・・・・・

分子に現れる素数

⇔B0,B2,B4,…..,Bp-3のどれかの分子がpで割れる。

非正則素数

37、59、67、101、103、131、・・・、

283、・・・、593、・・・、617、・・・、

683、691、・・・・・・


疑問

・691という素数がζ(12)に突如現れたことに

 興味を抱かなかったのか?

・34までのゼータ値を求めたのに,最小の非正則

 素数37に気づかなかったのか?

仮説

『無限解析入門』のゼータ値の近似値の誤差に,

オイラーは非正則素数を書き記した.

基本的には,誤差の素因数として書き記した.

1998=54・37

1998-1526=472= 8・59

804=12・67=37+59+67+101+103+131+149+157

公表しなかった理由は後述


60を超える誤差の解釈    『無限オイラー解析』現代数学社

この本はオイラーの問題集.

未発見の解答が残っている.

「理系への数学」(現代数学社)

9月号より詳細な探究の連載

『オイラー数学の源流』

    第1回 巨人オイラー

    第2回 超越への助走


3.ある誤差リストの解釈

sin と cos のマクローリン展開の係数の誤差リスト

01 -0.0000000000000000000000000000

03 +0.0000000000000000000000000002

05 -0.0000000000000000000000000006

07 +0.0000000000000000000000000007

09 -0.0000000000000000000000000003

11 +0.0000000000000000000000000005

13 -0.0000000000000000000000000006

15 +0.0000000000000000000000000008

17 -0.0000000000000000000000000006

19 +0.0000000000000000000000000004

21 -0.0000000000000000000000000004

23 +0.0000000000000000000000000002

25 -0.0000000000000000000000000001

27 +0.0000000000000000000000000000

29 -0.0000000000000000000000000001

00 -0.0000000000000000000000000000

02 +0.0000000000000000000000000004

04 -0.0000000000000000000000000004

06 +0.0000000000000000000000000008

08 -0.0000000000000000000000000004

10 +0.0000000000000000000000000004

12 -0.0000000000000000000000000005

14 +0.0000000000000000000000000002

16 -0.0000000000000000000000000006

18 +0.0000000000000000000000000003

20 -0.0000000000000000000000000005

22 +0.0000000000000000000000000003

24 -0.0000000000000000000000000003

26 -0.0000000000000000000000000001

28 -0.0000000000000000000000000002

30 +0.0000000000000000000000000002


気づくこと

 ・31個中28個もの誤差がある.

 ・数値に対する誤差の割合は急激に膨張している.

 ・誤差は最終一桁の範囲に収まっている.

 ・ひとつのデータのみ絶対値が正値より大きい.

   →奇妙な数値データに思える.

偶然の間違いではなく,意図的なものではないか?

sin(正弦),cos(余弦)

         -楽譜であれば,面白いだろう. 


  楽譜への変換

-1-シ 0-ド 1-レ 2-ミ 3-ファ 4-ソ 

    5-ラ 6-シ 7-ド 8-レ

演奏0

どうすれば,曲になるのだろうか?

オイラーの公式

eix=cos x+i sin x

係数を組み合わせて,元の指数関数の展開の順番で曲にする!

演奏1





4.仮説の全体像

『無限解析入門』がオイラーの問題集だとすると,出題者の義務として解答集も残すだろう.

解答集であると考えられる著作

E352『美しい関係』

E343『ドイツ王女への手紙』


非正則素数と指数

   (1000まで)



E343 ドイツ王女への手紙


仮説の続き(公表しなかった理由)

 非正則素数に関して,オイラーは神秘的な事実を見出した.

 けれども,神秘の排除という学界の流れの中では,

 その事実の公表は立場上差し控えるべきだった.

 他方,オイラーは彼自身の驚くべき発見を何らかの形では

 残しておきたかった. (ゼータ関数⇔天体⇔ ・・・)

1741年7月25日 ロシアからベルリンに到着

    ↓

1748年7月25日 金冠日食

1748年      『無限解析入門』出版     問題集

              ↓

1768年      『美しい関係』出版   解答集1

1768年      『ドイツ王女への手紙』出版 解答集2      


仮説の反証可能性

 ・誤差の生成理由を説明する.

 ・このような数値データは稀ではないことを示す.

 (誤差が曲になり,しかも生成理由が説明できないデータの例示)


参考 log105の計算 log(ab)1/2=(log a+log b)/2

0 0 0 0 0 0 0 0 5 7 6 1 4 6 5 5 0 3 9 7 8 8 3 0

0 0 7 3 5 5 1 5 8 4 6 7 3 3 7 0 1 7 5 9 7 8 3 0


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