Rachunki Gentzena

1. Rachunki Gentzena Joanna Witoch

2. Plan prezentacji 1. Wprowadzenie 2. Rachunek NK 3. Rachunek LK 4. Twierdzenie zasadnicze Gentzena 5. Rachunek LJ 6. Tablice Betha 7. Logika liniowa

3. Wprowadzenie • Systemy Hilberta • Pomysł Gentzena • MP regułą wtórną • Rozstrzygalność logiki intuicjonistycznej • Pojęcie dowodu • Problemy dowodów w logice: jednoznaczność, powtarzalność, odtwarzalność z części • Pomysł stworzenia schematów wnioskowania • Własność podformuły

4. Rachunek NJ

5. Podstawowe pojęcia • Alfabet • Stałe zdaniowe • Zmienne zdaniowe p1, p2, p3, … • Spójniki logiczne • Nawiasy ),( • Formuła poprawnie zbudowana • Każda zmienna zdaniowa oraz stała zdaniowa • Jeśli A, B są formułami języka rachunku zdań, to napisy : • Nie ma innych formuł

6. Podstawowe pojęcia • Stopieniem formuły nazywamy liczbę występujących w niej stałych logicznych. • Główną stałą logiczną formuły nazywamy tę stałą logiczną, która została dołączona jako ostatnia podczas budowania formuły. • Podformułami danej formuły nazywamy te formuły, które mogły występować podczas jej budowania, włączając samą formułę. • Rachunek NJ ma odzwierciedlać rozumowanie naturalne

7. Intuicja • Figura wnioskowania Figura dowodu

8. Figury wnioskowania

9. Przykład • Rozumowanie naturalne: B i C są prawdziwe, to jeśli A jest prawdziwe, to również AB jest prawdziwe, a stąd i z tego, że C było prawdziwe, cały następnik implikacji jest prawdziwy; jeśli A jest fałszywe, to w poprzedniku mamy fałsz, a z fałszu można wywnioskować dowolne zdanie, w tym następnik badanej implikacji. Jeżeli B jest fałszywe to BC jest nieprawdą i stąd cały poprzednik jest nieprawdziwy. Ponownie możemy więc wnioskować następnik z fałszu. Podobnie dla fałszywego C. Zatem wyrażenie jest prawdziwe.

10. Rachunek LK

11. Pojęcia

12. Figury wnioskowania

13. Figury wnioskowania

14. Przykład • 1) • 2)

15. HauptsatzGentzena

16. Mieszanie • Modus ponens • Cięcie • Postać modus ponens • Mieszanie

17. Teza Modus ponens, czyli figura wnioskowania nie spełniająca własności podformuły, a dokładniej jej uogólnienie zwane mieszaniem, jest eliminowalne w rachunkach NJ, LK, LJ – to znaczy, możemy je zastąpić innymi figurami wnioskowania.

18. Przebieg dowodu • Dowód Gentzena ma 15 stron • Polega na sprawdzeniu wszystkich możliwych przypadków • Stosujemy indukcje matematyczną po stopniu i rzędzie inferencji • Chcemy udowodnić, że każdą inferencję można przekształcić na inferencję bez cięć, o takiej samej konkluzji

19. Przebieg dowodu • Udowadniamy tezę dla inferencji pewnego stopnia i zakładamy, że zachodzi dla inferencji o stopniu niższym • Najpierw rozważamy rząd 2, następnie formuły o wyższym rzędzie • Sprawdzamy przypadki, kiedy formuła mieszająca pochodzi z różnych figur wnioskowania i pokazujemy, że mieszanie może być przesunięte wyżej w inferencji, aż do aksjomatów

20. Przykład • Przesunięcie mieszania dla formuły mieszającej pochodzącej stopnia 1 pochodzącej z figur UES i UEA

21. Rachunek LJ

22. Konstrukcja i rozstrzygalność • Usunięcie prawa wyłączonego środka • Skutek – tylko 1 formuła w sukcedensie (*) • Rozstrzygalność: • LJ powstaje z LK • LK ma własność podformuły • Żadna formuła nie zawiera w dowodzie innych formuł, prócz swoich podformuł • Zatem zgodnie z procedurą Gentzena dla każdej formuły można znaleźć dowód

23. Przykład • 1) Jedno z praw de Morgana • 2) Prawo wyłączonego środka

24. Tablice Betha

25. Konstrukcja • Rachunek Betha jest treściowo identyczny z rachunkiem Gentzena • Dowody w tablicach są dowodami nie wprost • Uogólnienia: • 4 zasady: implikacja, alternatywa, negacja, koniunkcja

26. Przykład dowodu • Tablica Betha • Korespondujący dowód Gentzena

27. Tezy • Wszystkie figury wnioskowania Gentzena (bez mieszania) są tautologiami (tzn istnieje ich tablicowy dowód Betha) • Tablice Betha korespondują z dowodami Gentzena – z tablicy Betha można odtworzyć dowód gentzenowski

28. Przykład • Dla figury UES

29. Wnioski • Systemy Gentzena umożliwiają wprowadzenie wnioskowanie automatycznego – pozwalającego na dowodzenie formuł bez rozumienia ich semantycznej treści • Figura MP jest figurą, która nie zachowuje własności podformuły i przez to uniemożliwia wnioskowanie automatyczne • Tablice Betha umożliwiają odtworzenie dowodu gentzenowskiego

30. Logika liniowa

31. Intuicja • Logiki podstrukturalne • Przykład Girarda • A – wydanie $1 • B – Zakupienie paczki Cameli • C – Zakupienie paczki Malboro

32. Konstrukcja • Nowe spójniki: • ! * + • Klasyczna logika liniowa powstaje z logiki klasycznej poprzez usunięcie figur osłabienia, skrócenia i wymiany • Intuicjonistyczna logika liniowa powstaje z logiki intuicjonistycznej, analogicznie • Dla klasycznej i intuicjonistycznej logiki liniowej zachodzi Hauptsatz. Dowód przebiega analogicznie

34. Zalety • Uwzględnia pojęcie zasobu • Formuły mogą być traktowane jako dane • A B – dana jednorazowa, do uzyskania danej typu A albo danej typu B • A*B – para danych • A B – zawiera daną typu A lub typu B (nie wiemy) • A B – sposób zamiany danej typu A na daną typu B • !A – nieograniczona ilość zasobu • Możliwa implementacja komputerowa

35. Pytania?

36. Dziękuję za uwagę