第七章长期聚合风险模型

第七章 长期聚合风险模型

[知识要点] • 1、盈余过程的基本模型 • u(t)=u+ct - s(t) (t ≥ 0) • 2、破产概率的定义 • (u)=P(T< ∞ )=P(u(t) <0,  t≥ 0) • 其中T=min(t:t ≥0且u(t) <0) •  (u,t)= P(T< t )=P(u(x) <0,  x (0,t)) • h (u)= P(u (t)<0, t0 ,t=h,2h,3h,…) • h (u,t)=P(u (x)<0, x(0,t),t=h,2h,3h,…) • 3、破产概率的性质>

4、泊松过程的定义及性质 • 泊松过程的定义： • （1）全局性方法：如果N(t)的长度为h的任意时间段内满足： • 由此定义可知：N(t+h)-N(t)服从参数为λ h 的泊松分布。 • （2）等额时间间隔法：如果事件发生的等待时间间隔随机变量序列w1 , w2 , w3,…独立同分布，且分布函数是参数为λ的指数分布，则称{N(t)，t≥ 0}为泊松过程。

泊松过程的性质： • （1）泊松过程是平稳独立增量过程； • （2）在一个无限小的时间段内要么发生一次理赔，要么不发生理赔，如果时间间隔为dt，则在dt时间段内的发生次数为0—1分布，并且P（N=0）= λ dt， P（N=1）=1- λ dt； • （3） P（N（t+h）-N（t））= 1|N（x),x≤ t)= e-λhλh • 如果dt是一个无穷小量，则有： • P（N（t+dt）-N（t））= 1|N（x),x≤ t)= λ dt • 5、复合泊松过程的定义 • 6、在复合泊松过程下，有关破产概率的定理 • 其中F（x）和f（x）是个别理赔额随机变量X的分布和密度函数， • Λ是泊松参数。

（2）若个别理赔额服从参数α的指数分布，则：（2）若个别理赔额服从参数α的指数分布，则： • （3）盈余u(t)首次落到u以下，其值落在u—y到u—y+dy之间的概率为：

7、最大损失随机变量L的矩母函数为： • 8、调节系数的定义 • 设S（t）为复合泊松过程，泊松参数为λ，个别理赔额随机变量为x，MX(t)是其矩母函数，方程λ +Ct= λ MX(t)的非零正解R称为调节系数。调节系数方程必有正根，并且满足如下的不等式：

[重点及难点解析] • 本章的重点是对盈余过程的分析、破产概率的定义以及有关破产概率的性质，与盈余过程有关的理赔过程也是本章的重点，泊松过程的几个定义的等价性是一个难点，与复合泊松分布平行的复合泊松过程是本章的又一个重点；在复合泊松过程下，破产概率的几个有关定理非常重要，特别是个别理赔额为指数分布时，破产概率有简洁的表达，最大损失过程及最大损失的分布是本章的又一个难点。 • 调节系数的定义及有关定理是本章的重点。 • 下面以例题的形式展示出重点与难点的表现形式。 • 例1 一个风险组合具有如下的特点： • ①索赔一定会在时间t=0.5,1.5,2.5,…发生； • ②索赔额服从[0，2]区间上的均匀分布； • ③安全附加系数是0.2； • ④保费的交付仅在每一段时期的开始； • ⑤初始盈余是1。 • 求在时刻2之前的破产概率。

A.0.24 B.0.024 C.0.045 • D.045 E.0.072

此题考察了盈余过程方面的知识，运用(2)= (1)+(1- (1))•P（在时间（1，2]上破产|在[0，1]上没有破产]公式可以解决本题提出的问题，这个公式与寿险精算中的公式2qx=1qx+1px•qx+1是一致的，具有一致的内涵，当然从概率论的角度出发，用事件之间的关系也可演绎出上述公式。另外，有兴趣的读者也可以在洗题的基础上计算(3)的概率。 • 例2 一个保险人具有如下特性的盈余过程： • ①索赔额分布是P(0)=P(1)=0.5; • ②调节系数R=ln4=1.3863； • ③索赔过程是复合泊松过程； • ④保费是连续收取。 • 求(0). • A.0.47 B.0.46 C.0.48 • D.0.49 E.0.50

例3 一个保险标的出险的概率是0.5，索赔发生时索赔额为10个单位，发生的时间W服从帕累托分布，参数为x0=1和α = 3，年保费连续缴纳，速率是7，求破产的概率。 • A.0.3 B.0.33 C.0.34 D.0.5 E.0.25

例4 一个盈余过程是复合泊松过程，安全附加系数是0.1，R是调整系数，下列选项哪一项是正确的？ • ①如果个别理赔额的分布是参数为2的指数分布，则有R=2/11; • ②如果个别理赔额的分布是N(10,4),则有R〈 1/52； • ③如果个别理赔额都是2，则R是1+(1.1)r=e2r的非零正解。 • A.仅①正确 B.仅②正确C.仅③正确 • D.①、②正确E.以上都不对

例5 一个盈余过程有初始盈余1。索赔发生在1，2，3，保费以一个常数连续收取，个体索赔额的分布如下： • 求最小的安全附加系数θ，使P(u(t) ≥ 0>0.95,对于t=1,2,3. • A.0.8 B.1.3 C.1.2 D.1.0 E.1.5 • 解个别索赔额的期望值为： • E（X）=1*0.25+2*0.25=0.75 • 所以 C=(1+θ)P1= (1+θ)0.75 • 依题意有如下的表格：

依题意有:S(1)=X1, S(2)=X1 + X2 , S(3)=X1 + X2 +X3(Xi表示在时刻i上发生索赔的个别理赔额随机变量，且X1 ， X2 ，X3 相互独立）。 • 因为 P(S(1) ≤ 1+C) ≥ 0.95 • 由上表可知： 1+C ≥2 C ≥ 1

同样： P(S(2) ≤ 1+2C) ≥ 0.95 • 可知：1+2C ≥4 C ≥ 1.5 • P(S(3) ≤ 1+3C) ≥ 0.95 • 可知：1+3C ≥5 C ≥ 4/3 • 所以(1+θ)0.75=C ≥max(1,1.5,4/3)=1.5 • 所以θ=1 • 所以选D。 • 看到此题的答案，读者也许感觉思路并不复杂；可是在看到答案之前，联系到u(t)=u+Ct-S(t)这一公式，就让人颇感困惑，因为此公式包含了两个随机过程。去掉此式，剩下的问题只是故意设置三个弯而已，譬如卷积的运算以及在某条件下的最小值计算，解决此类问题尚属简单，关键问题是盈余过程，就此问题而言，由u(t)过程可以过度到研究S(t)过程，而S(t)一般是一个离散过程，在每一个保险期内的理赔总额随机变量一般是一个复合分布，这样，复杂问题就变成简单问题了。 • 由于再保险或免赔额应用的广泛性，因此有关再保险方面的计算，也成了本章的重点内容。 • 例6 保险人承保的某风险的年索赔总额服从泊松参数为10的复合泊松分布，个体索赔总额服从（0，2000）上的均匀分布，

保险人为该风险安排了自留额为1600的超额赔付再保险分保，计算保险人和再保险人的赔付总额随机变量的方差。保险人为该风险安排了自留额为1600的超额赔付再保险分保，计算保险人和再保险人的赔付总额随机变量的方差。 • A.2389 333.4 8532.8 B.9608 532.8 C.1194 666.7 21332 • D.194 666.7 960 E.8532.8 1194 666.7 • 解设Yi=min(Xi,1600)为第i次索赔发生时损失额为Xi时原保险人的赔付额，Ri=max(0, Xi -1600)为第i次索赔发生时损失额为Xi时再保险人的赔付额。

注意：此题是超额赔付再保险，只有损失额超过1600时，再保险人才发生赔付，所以泊松参数发生了变化，减少为10*P(Xi>1600),即2。对于原保险人泊松参数并没有发生变化，读者想一想这是为什么？如果把此题改为自留额为80/100的比例再保险，此题又该如何求解？注意：此题是超额赔付再保险，只有损失额超过1600时，再保险人才发生赔付，所以泊松参数发生了变化，减少为10*P(Xi>1600),即2。对于原保险人泊松参数并没有发生变化，读者想一想这是为什么？如果把此题改为自留额为80/100的比例再保险，此题又该如何求解？ • 例7 一个保险人承保了具有如下特性的风险： • ①索赔额为2000的概率是0.4，为3000的概率是0.6； • ②索赔次数的分布列如下： • 保险人购买了自留额为5000的停止损失再保险，求此时再保险人的保险费。 • A.1172.5 B.200 C.5200 • D.1170 E.1168.5

例8 一个保险人承保了如下情形的保险： • ①索赔额仅取0，1，2三个值; • ②索赔额的数学期望为1； • ③E(I1)=0.25。 • 求E(I03)。 • A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.2 E.2.4

第七章 长期聚合风险模型