第七章
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第七章 长期聚合风险模型 PowerPoint PPT Presentation


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第七章 长期聚合风险模型. [ 知识要点 ] 1 、盈余过程的基本模型 u(t)=u+ct - s(t) (t ≥ 0) 2 、破产概率的定义  (u)=P(T < ∞ )=P(u(t) <0,  t ≥ 0) 其中 T=min(t:t ≥0 且 u(t) <0)  (u,t)= P(T < t )=P(u(x) <0,  x  ( 0,t))  h (u)= P(u ( t )<0, t0 ,t=h,2h,3h, … )

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第七章 长期聚合风险模型

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Presentation Transcript


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第七章

长期聚合风险模型


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  • [知识要点]

  • 1、盈余过程的基本模型

  • u(t)=u+ct - s(t) (t ≥ 0)

  • 2、破产概率的定义

  • (u)=P(T< ∞ )=P(u(t) <0,  t≥ 0)

  • 其中T=min(t:t ≥0且u(t) <0)

  •  (u,t)= P(T< t )=P(u(x) <0,  x (0,t))

  • h (u)= P(u (t)<0, t0 ,t=h,2h,3h,…)

  • h (u,t)=P(u (x)<0, x(0,t),t=h,2h,3h,…)

  • 3、破产概率的性质>


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  • 4、泊松过程的定义及性质

  • 泊松过程的定义:

  • (1)全局性方法:如果N(t)的长度为h的任意时间段内满足:

  • 由此定义可知:N(t+h)-N(t)服从参数为λ h 的泊松分布。

  • (2)等额时间间隔法:如果事件发生的等待时间间隔随机变量序列w1 , w2 , w3,…独立同分布,且分布函数是参数为λ的指数分布,则称{N(t),t≥ 0}为泊松过程。


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  • 泊松过程的性质:

  • (1)泊松过程是平稳独立增量过程;

  • (2)在一个无限小的时间段内要么发生一次理赔,要么不发生理赔,如果时间间隔为dt,则在dt时间段内的发生次数为0—1分布,并且P(N=0)= λ dt, P(N=1)=1- λ dt;

  • (3) P(N(t+h)-N(t))= 1|N(x),x≤ t)= e-λhλh

  • 如果dt是一个无穷小量,则有:

  • P(N(t+dt)-N(t))= 1|N(x),x≤ t)= λ dt

  • 5、复合泊松过程的定义

  • 6、在复合泊松过程下,有关破产概率的定理

  • 其中F(x)和f(x)是个别理赔额随机变量X的分布和密度函数,

  • Λ是泊松参数。


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  • (2)若个别理赔额服从参数α的指数分布,则:

  • (3)盈余u(t)首次落到u以下,其值落在u—y到u—y+dy之间的概率为:


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  • 7、最大损失随机变量L的矩母函数为:

  • 8、调节系数的定义

  • 设S(t)为复合泊松过程,泊松参数为λ,个别理赔额随机变量为x,MX(t)是其矩母函数,方程λ +Ct= λ MX(t)的非零正解R称为调节系数。调节系数方程必有正根,并且满足如下的不等式:


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  • [重点及难点解析]

  • 本章的重点是对盈余过程的分析、破产概率的定义以及有关破产概率的性质,与盈余过程有关的理赔过程也是本章的重点,泊松过程的几个定义的等价性是一个难点,与复合泊松分布平行的复合泊松过程是本章的又一个重点;在复合泊松过程下,破产概率的几个有关定理非常重要,特别是个别理赔额为指数分布时,破产概率有简洁的表达,最大损失过程及最大损失的分布是本章的又一个难点。

  • 调节系数的定义及有关定理是本章的重点。

  • 下面以例题的形式展示出重点与难点的表现形式。

  • 例1 一个风险组合具有如下的特点:

  • ①索赔一定会在时间t=0.5,1.5,2.5,…发生;

  • ②索赔额服从[0,2]区间上的均匀分布;

  • ③安全附加系数是0.2;

  • ④保费的交付仅在每一段时期的开始;

  • ⑤初始盈余是1。

  • 求在时刻2之前的破产概率。


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  • A.0.24 B.0.024 C.0.045

  • D.045 E.0.072


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  • 此题考察了盈余过程方面的知识,运用(2)= (1)+(1- (1))•P(在时间(1,2]上破产|在[0,1]上没有破产]公式可以解决本题提出的问题,这个公式与寿险精算中的公式2qx=1qx+1px•qx+1是一致的,具有一致的内涵,当然从概率论的角度出发,用事件之间的关系也可演绎出上述公式。另外,有兴趣的读者也可以在洗题的基础上计算(3)的概率。

  • 例2 一个保险人具有如下特性的盈余过程:

  • ①索赔额分布是P(0)=P(1)=0.5;

  • ②调节系数R=ln4=1.3863;

  • ③索赔过程是复合泊松过程;

  • ④保费是连续收取。

  • 求(0).

  • A.0.47 B.0.46 C.0.48

  • D.0.49 E.0.50


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  • 例3 一个保险标的出险的概率是0.5,索赔发生时索赔额为10个单位,发生的时间W服从帕累托分布,参数为x0=1和α = 3,年保费连续缴纳,速率是7,求破产的概率。

  • A.0.3 B.0.33 C.0.34 D.0.5 E.0.25


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  • 例4 一个盈余过程是复合泊松过程,安全附加系数是0.1,R是调整系数,下列选项哪一项是正确的?

  • ①如果个别理赔额的分布是参数为2的指数分布,则有R=2/11;

  • ②如果个别理赔额的分布是N(10,4),则有R〈 1/52;

  • ③如果个别理赔额都是2,则R是1+(1.1)r=e2r的非零正解。

  • A.仅①正确 B.仅②正确C.仅③正确

  • D.①、②正确E.以上都不对


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  • 例5 一个盈余过程有初始盈余1。索赔发生在1,2,3,保费以一个常数连续收取,个体索赔额的分布如下:

  • 求最小的安全附加系数θ,使P(u(t) ≥ 0>0.95,对于t=1,2,3.

  • A.0.8 B.1.3 C.1.2 D.1.0 E.1.5

  • 解 个别索赔额的期望值为:

  • E(X)=1*0.25+2*0.25=0.75

  • 所以 C=(1+θ)P1= (1+θ)0.75

  • 依题意有如下的表格:


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  • 依题意有:S(1)=X1, S(2)=X1 + X2 , S(3)=X1 + X2 +X3(Xi表示在时刻i上发生索赔的个别理赔额随机变量,且X1 , X2 ,X3 相互独立)。

  • 因为 P(S(1) ≤ 1+C) ≥ 0.95

  • 由上表可知: 1+C ≥2 C ≥ 1


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  • 同样: P(S(2) ≤ 1+2C) ≥ 0.95

  • 可知:1+2C ≥4 C ≥ 1.5

  • P(S(3) ≤ 1+3C) ≥ 0.95

  • 可知:1+3C ≥5 C ≥ 4/3

  • 所以(1+θ)0.75=C ≥max(1,1.5,4/3)=1.5

  • 所以θ=1

  • 所以选D。

  • 看到此题的答案,读者也许感觉思路并不复杂;可是在看到答案之前,联系到u(t)=u+Ct-S(t)这一公式,就让人颇感困惑,因为此公式包含了两个随机过程。去掉此式,剩下的问题只是故意设置三个弯而已,譬如卷积的运算以及在某条件下的最小值计算,解决此类问题尚属简单,关键问题是盈余过程,就此问题而言,由u(t)过程可以过度到研究S(t)过程,而S(t)一般是一个离散过程,在每一个保险期内的理赔总额随机变量一般是一个复合分布,这样,复杂问题就变成简单问题了。

  • 由于再保险或免赔额应用的广泛性,因此有关再保险方面的计算,也成了本章的重点内容。

  • 例6 保险人承保的某风险的年索赔总额服从泊松参数为10的复合泊松分布,个体索赔总额服从(0,2000)上的均匀分布,


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  • 保险人为该风险安排了自留额为1600的超额赔付再保险分保,计算保险人和再保险人的赔付总额随机变量的方差。

  • A.2389 333.4 8532.8 B.9608 532.8 C.1194 666.7 21332

  • D.194 666.7 960 E.8532.8 1194 666.7

  • 解 设Yi=min(Xi,1600)为第i次索赔发生时损失额为Xi时原保险人的赔付额,Ri=max(0, Xi -1600)为第i次索赔发生时损失额为Xi时再保险人的赔付额。


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  • 注意:此题是超额赔付再保险,只有损失额超过1600时,再保险人才发生赔付,所以泊松参数发生了变化,减少为10*P(Xi>1600),即2。对于原保险人泊松参数并没有发生变化,读者想一想这是为什么?如果把此题改为自留额为80/100的比例再保险,此题又该如何求解?

  • 例7 一个保险人承保了具有如下特性的风险:

  • ①索赔额为2000的概率是0.4,为3000的概率是0.6;

  • ②索赔次数的分布列如下:

  • 保险人购买了自留额为5000的停止损失再保险,求此时再保险人的保险费。

  • A.1172.5 B.200 C.5200

  • D.1170 E.1168.5


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  • 例8 一个保险人承保了如下情形的保险:

  • ①索赔额仅取0,1,2三个值;

  • ②索赔额的数学期望为1;

  • ③E(I1)=0.25。

  • 求E(I03)。

  • A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.2 E.2.4


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