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Paradojas del infinito. por Julio Bernués. 1. Paradoja de Zenon. 2. Paradoja de Hilbert 3. Paradoja de Banach-Tarski. 4. (Paradoja de Russell). Paradojas del infinito. 1.PARADOJA DE ZENON. INICIO d = 1. 10 Km/h . 1 Km/h. |. |. 0. 1. d = 1 metro. PASO 1 d = 1/10.

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Paradojas del infinito

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Presentation Transcript


Paradojas del infinito l.jpg

Paradojas del infinito

por Julio Bernués


Paradojas del infinito2 l.jpg

1. Paradoja de Zenon.

2. Paradoja de Hilbert

3. Paradoja de Banach-Tarski.

4. (Paradoja de Russell)

Paradojas del infinito


1 paradoja de zenon l.jpg

1.PARADOJA DE ZENON

INICIO d = 1

10 Km/h

1 Km/h

|

|

0

1

d = 1 metro


Slide4 l.jpg

PASO 1

d = 1/10

|

|

1

1+ 1/10


Slide5 l.jpg

PASO 2

d = 1/102

|

1+ 1/10

1+ 1/10 + 1/100


Slide6 l.jpg

PASO 3

d = 1/103

|

1+ 1/10 + 1/100

1 + 1/10+ 1/100 + 1/1000

... Y así indefinidamente:

NUNCA LA ALCANZA !!!


Solucion matematica l.jpg

SOLUCION MATEMATICA

...

...

...

...

0

0

1

1

1

1

1+1/10

1´1

1+1/10

1´1

1+1/10+1/102

1’11

1+1/10+1/102

1’11

1+1/10+1/102+1/103

1’111

1+1/10+1/102+1/103

1´111

1+1/10+1/102+1/103+1/104

1’1111


Solucion matematica8 l.jpg

SOLUCION MATEMATICA

...

...

...

...

0

0

1

1

1

1

1+1/10

1´1

1+1/10

1´1

1+1/10+1/102

1’11

1+1/10+1/102

1’11

1+1/10+1/102+1/103

1’111

1+1/10+1/102+1/103

1´111

1+1/10+1/102+1/103+1/104

1’1111

SE JUNTAN EN:

1+1/10+1/102+1/103+1/104+... = 1´1111111111..... = 10/9

PROCESO INFINITO...

... PERO LA ALCANZA


Slide9 l.jpg

PASO 35

d = 1/1035


Solucion fisica l.jpg

SOLUCION FISICA

  • LA DISTANCIA NO ES INFINITAMENTE DIVISIBLE.

  • EL TIEMPO NO ES INFINITAMENTE DIVISIBLE

  • EL PROCESO ES FINITO : LA ALCANZA


Solucion fisica11 l.jpg

SOLUCION FISICA

  • LA DISTANCIA NO ES INFINITAMENTE DIVISIBLE.

  • EL TIEMPO NO ES INFINITAMENTE DIVISIBLE.

  • EL PROCESO ES FINITO : LA ALCANZA.

d = 1/1035 CONSTANTE O LONGITUD DE PLANCK

¿El espacio - tiempo deja de existir?


Slide12 l.jpg

  • LOS NUMEROS REALES SI SON INFINITAMENTE DIVISIBLES

  • PERO LOS NUMEROS REALES (positivos) SON UN MODELO MATEMATICO DE TIEMPO Y DISTANCIA

Modeliza algo no infinitamente divisible con algo que sí lo es:

A escala pequeña traerá problemas ...

Por ejemplo:

LEY DE RAYLEIGH - JEANS


Slide13 l.jpg

CATASTROFE ULTRAVIOLETA


Slide14 l.jpg

CATASTROFE ULTRAVIOLETA

  • TEORIA CUANTICA DE PLANCK

“Un cuerpo caliente sólo puede arrojar

números enteros de cuantos de energía”

A escala pequeña la “matemática clásica” falla.


2 paradoja del hotel de hilbert l.jpg

2. PARADOJA DEL HOTEL DE HILBERT

1 2 3 4 5 6

LLENO

A cada habitación le corresponde un cliente y a cada cliente

una habitación (aplicación biyectiva)


2 paradoja del hotel de hilbert16 l.jpg

2. PARADOJA DEL HOTEL DE HILBERT

1 2 3 4 5 6

LLENO

NO

LLENO

5


2 paradoja del hotel de hilbert17 l.jpg

2. PARADOJA DEL HOTEL DE HILBERT

1 2 3 4 5 6

LLENO

NO

LLENO

5

7

NO

CABEN


Slide18 l.jpg

El hotel de Hilbert tiene un número infinito de habitaciones {1, 2, 3, 4,... }

1 2 3 4 5 6

...

...

...

1 2 3 4 5 6 ...

Si está lleno, un cliente más, ahora SI cabe:

los demás no tienen más que “avanzar 1”


Slide19 l.jpg

El hotel de Hilbert tiene un número infinito de habitaciones {1, 2, 3, 4,... }

1 2 3 4 5 6

...

...

...

1 2 3 4 5 ...

Si está lleno, un cliente más, ahora SI cabe:

los demás no tienen más que “avanzar 1”


Slide20 l.jpg

El hotel de Hilbert tiene un número infinito de habitaciones {1, 2, 3, 4,... }

1 2 3 4 5 6

...

...

...

1 2 3 4 5 ...

Si está lleno, un cliente más, ahora SI cabe:

los demás no tienen más que “avanzar 1”

( ó 2, ó 3 ... )

Y cabe uno más


Slide21 l.jpg

De hecho en el hotel infinito de Hilbert, cuando está lleno, caben

infinitos clientes más.

1 2 3 4 5 6

...

...

...

1 2 3 4 5 6 ...

El clienten va a la habitación 2n y aún caben infinitos nuevos clientes


Slide22 l.jpg

De hecho en el hotel infinito de Hilbert, cuando está lleno, caben

infinitos clientes más.

1 2 3 4 5 6

...

...

...

1 2 3 ...

El clienten va a la habitación 2n y aún caben infinitos nuevos clientes


Slide23 l.jpg

12 3 4 56789101112 ...

1 3 5 7 9 11 ...

2 4 6 8 10 12 ...

2n - 1

n

2n

n

( Biyectiva)

( Biyectiva)

1 2 3 4 5 6 ...

1 2 3 4 5 6 ...

Hemos duplicado los números naturales (usando aplicaciones biyectivas)


Slide24 l.jpg

DAVID HILBERT

23 de Enero 1862 (Königsberg)

14 de Febrero 1943 (Göttingen)

Es posible dividir el conjunto de los números naturales en dos mitades, cada una de ellas tiene el mismo número de elementos que el total.

GALILEO GALILEI

15 de Febrero 1564 (Pisa)

8 de Enero 1642 (Arcetri)

Los atributos “igual”, “mayor”, “menor” no son aplicables a cantidades infinitas. Lo infinito es intrínsecamente incomprensible.


Slide25 l.jpg

Biyectivo

1 2 3 4 5 ...

1 2 3 4 5 ...

1 2 3 4 5 ...

GEORG CANTOR

Biyectivo

Biyectivo

Biyectivo

TODO EL ESPACIO


Slide26 l.jpg

GEORG CANTOR

3 de Marzo 1845 (St Petersburg)

6 de Enero 1918 (Halle)

“Lo veo pero no lo creo”

HENRI POINCARE

29 de Abril 1854 (Nancy)

17 de Julio 1912 (Paris)

“La teoría de Cantor es una enfermedad de la que la matemática tendría que recuperarse”


3 paradoja de banach tarski l.jpg

3. PARADOJA DE BANACH -TARSKI

STEFAN BANACH

30 de Marzo 1892 (Kraków)

31 de Agosto 1945 (Lvov)

ALFRED TARSKI

14 de Enero 1902 (Warsaw)

26 de Octubre 1983 (Berkeley)


Slide28 l.jpg

  • Es posible hacer un puzzle a partir de una bola y con las piezas componer dos bolas de idéntico tamaño a la de partida.

  • Es posible hacer un puzzle a partir de una bola del tamaño de un guisante y con las piezas componer una bola del tamaño del sol.


Slide29 l.jpg

  • Es posible hacer un puzzle a partir de una bola y con las piezas componer dos bolas de idéntico tamaño a la de partida.

  • Es posible hacer un puzzle a partir de una bola del tamaño de un guisante y con las piezas componer una bola del tamaño del sol.

(No sobran ni faltan piezas, ni se solapan)


Slide30 l.jpg

Para duplicar una bola bastan 18 piezas.

¿Cómo son esas piezas?

Son “nubes” de un número infinito de puntos.

Imposibilidad técnica de construirlos...

...¿sólo eso?


Slide31 l.jpg

Cada pieza del puzzle es un subconjunto de la bola.

Cada conjunto se obtiene empleando una herramienta:


Slide32 l.jpg

Cada pieza del puzzle es un subconjunto de la bola.

Cada conjunto se obtiene empleando una herramienta:

EL AXIOMA DE ELECCION

+

x

1

A

7

K

E

o

*

3

5

2

H

J

9 Ex

Entonces:

es un conjunto

¿Qué se admite como conjunto y qué no? ¿Qué es un conjunto?


Slide33 l.jpg

El axioma de elección permite construir el puzzle

que duplica la bola.

Aún así,


Slide34 l.jpg

El axioma de elección permite construir el puzzle

que duplica la bola.

Aún así,

¿NO DEBERIA CONSERVARSE

EL VOLUMEN Y LA MASA?

En 1904 H. Lebesgue definió rigurosamente

la noción de volumen.

(Se sigue usando hoy en día)


Slide35 l.jpg

No es posible asociar a cada subconjunto del

espacio un volumen. Hay conjuntos que se

pueden medir (todos los que manejamos habitualmente)

pero también hay conjuntos que no se pueden

medir (conjuntos no-medibles).

Las piezas del puzzle que el axioma de elección

construye son no medibles.

Con éllas NO TIENE SENTIDO hablar de la

conservación del volumen.


Slide36 l.jpg

(Mateo 14, 15-21)

Jesús de Nazaret: “... Tomad estos cinco panes y dos

peces y dad de comer a esos que nos siguen”.

Discípulos: “Maestro, ¿podemos usar el axioma de

elección?”

(Adaptación por el matemático H. Weyl)


4 paradoja de russell l.jpg

(4.PARADOJA DE RUSSELL)

BERTRAND RUSSELL

18 de Mayo 1872 (Ravenscroft)

2 de Febrero 1970 (Penrhyndeudraeth)


Slide38 l.jpg

CATÁLOGOS QUE SE

CATALOGAN A SÍ MISMOS

CATÁLOGOS QUE NO SE

CATALOGAN A SÍ MISMOS

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo


Slide39 l.jpg

CATÁLOGOS QUE SE

CATALOGAN A SÍ MISMOS

CATÁLOGOS QUE NO SE

CATALOGAN A SÍ MISMOS

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

EL CATÁLOGO DE TODOS LOS

CATÁLOGOS QUE NO SE

CATALOGAN A SÍ MISMOS...

SUPER

CATÁLOGO


Slide40 l.jpg

CATÁLOGOS QUE SE

CATALOGAN A SÍ MISMOS

CATÁLOGOS QUE NO SE

CATALOGAN A SÍ MISMOS

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

Catálogo

EL CATÁLOGO DE TODOS LOS

CATÁLOGOS QUE NO SE

CATALOGAN A SÍ MISMOS...

SUPER

CATÁLOGO

SI ... IMPOSIBLE

¿SE CATALOGA A SÍ MISMO?

NO ... IMPOSIBLE


Slide41 l.jpg

Si se cambia la palabra “catálogo” por la de

“conjunto” resulta que no “cualquier cosa” es

un conjunto.

Hay que tener cuidado.

Russell define los conceptos matemáticos básicos y

sus relaciones a partir de la lógica.

Un conjunto es una cadena de símbolos.

(La cadena A  A NO es admisible).


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