Komponenttien rakenteellinen tärkeys

1. Komponenttien rakenteellinen tärkeys • jotkut rakenteen komponentit ovat tärkeämpiä rakenteen toiminnan kannalta • esim. komponentt, joka on sarjakytketty järjestelmän muiden osien suhteen on vähintää’n yhtä tärkeä kuin muut • komponentin tärkeyttä tulisi voida mitata • Määritelmä: Komponentin i kriittinen polkuvektori on mikä tahansa vektori (1i,x), s.e. Ts., kun tiedetään muiden komponenttien tila (x), järjestelmä toimii jos ja vain jos komponentti i toimii.

2. Komponenttien rakenteellinen tärkeys Määritelmä: Kriittistä polkuvektoria (1i,x) vastaava komponentin i kriittinen polkujoukko C(1i,x) on • kriittisten polkujoukkojen lukumäärä on • kaikkien tilavektorien (.i,x) lukumäärä on 2n-1

3. Komponenttien rakenteellinen tärkeys Määritelmä: Komponentin i rakenteellinen tärkeys (Birnbaum): • Esimerkki: 2/3 rakenne

4. Komponenttien rakenteellinen tärkeys • Esimerkki: 2/3 rakenne • Esimerkki: 2/3 rakenne. Kaikkien komponenttien rakenteellinen tärkeys on sama.

5. Rakennefunktion ositussääntö (pivotal decomposition) • kaikki rakennefunktiot voidaan kirjoittaa muotoon: • osituksen voi tehdä toistetusti • ositus on hyvä keino muodostaa rakenne funktioita

6. Koherenttien rakenteiden muodostamat modulit/ rakennefunktion muodostaminen koherenteista moduleista • Olkoon koherentti rakenne. Jos sen komponentit voidaan kuvata koherentteina rakenteina, puhutaan koherenttien modulien kuodostamasta rakenteesta • rakenteen näkeminen moduleina helpottaa rakennefunktion kirjoittamista

7. Riippumattomien komponenttien muodostamat järjestelmät • komponenttien tilat Xi(t) ovat satunnaismuuttujia • järjestelmän tilavektori X(t) = (X1(t), X2(t),…, Xn(t)) ja järjestelmän tila(X(t)) ovat satunnaismuuttujia • luotettavuusanalyysissa ollaan kiinnostuneita seuraavista todennäköisyyksistä • jos komponettien tilat ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, ko. todennäköisyyksien laskenta yksinkertaistuu • tarkastellaan aluksi korjaamattomia komponentteja ja järjestelmiä

8. Riippumattomien komponenttien muodostamat järjestelmät • jos komponentteja korjataan edellä esitetyt todennäköisyydet vastaavat komponenttien ja järjestelmän käytettävyyttä (tai epäkäytettävyyttä) • korjaamattomilla komponenteilla ja järjestelmillä toimintatodennäköisyys (= survival probability, reliability) eli tn. että komponentti tai järjestelmä toimii vielä hetkellä t on sama kuin komponentin kaytettävyys • korjattavien komponenttien käytettävyystarkasteluihin palataan myöhemmin

9. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • komponenteille pätee: • järjestelmien tapauksessa luonnollisesti: • jos komponentit riippumattomia, ps(t) riippuu vain todennäköisyyksistä pi(t)

10. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • siis: • sarjajärjestelmä:

11. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • rinnakkaisjärjestelmä:

12. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • k/n-järjestelmä:

13. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • huom! pi(t)=Ri(t), pS(t)=RS(t) • sarjajärjestelmälle • Jos komponenttien vikaantumisajat eksponentiaalijakautuneita, niin

14. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • MTTF:n lausekkeet tulevat epähavainnollisiksi yleisille järjestelmärakenteille • mikäli kaikki “komponentit eksponentiaalisia” ja niiden vikataajuudet ovat samat, yleiselle k/n rakenteelle saadaan tulos:

15. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • VAIHTOVARMENNUS • vaihtovarmennuksessa komponentti varmennetaan toisilla komponentilla, jotka otetaan käyttöön sitä mukaa kun komponentit vikaantuvat • aluksi “pääkomponentti” toimii, sen vikaantuessa otetaan käyttöön varalla ollut varmentava komponentti, jonka vikaantuessa jälleen uusi varmentava komponenti, jne. • järjestelmä vikaantuu, kun viimeinenkin varmentava komponentti on vikaantunut

16. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • Vaihtovarmennus on • “kylmä”, kun varmentavat komponentit eivät voi vikaantua varallaoloaikana • “lämmin”, kun varmentavat komponentit ovat osittaisen käyttörasituksen alaisia, ja näin ollen voivat vikaantua varallaoloaikana, mutta pienemmällä todennäköisyydellä • “kuuma”, kun varmentavat komponentit ovat täyden käyttörasituksen alaisia, ja näin ollen voivat vikaantua varallaoloaikana, samalla todennäköisyydellä kuin normaalisti (vrt. rinnakkaisrakenne)

17. Järjestelmien toimintatodennäköisyys Vaihtovarmennusjärjestelmän lohkokaavioesitys 1 1 2 2 n

18. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • kylmän vaihtovarmennuksen toimintatodennäköisyys: • kylmän vaihtovarmennuksen vikaantumisajan jakauma on komponenttien vikaantumisaikojen summan jakauma (voidaan laskea konvoluution avulla yleisessä tapauksessa)

19. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • kylmän vaihtovarmennuksen toimintatodennäköisyys, kun komponentit identtisiä, ja niilla on eksponentiaalisesti jakautunut vikaantumisaika • todennäköisyys, että järjestelmä toimii = tn. että siinä on esiintynyt enintään n-1 vikaa • eksponentiaalisesti jakautuneet vikaantumisajat => vikojen lukumäärä Poisson-jakautunut =>

20. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • kylmän vaihtovarmennus: epätäydellinen kytkentä, eli varmentavat komponentit eivät voi vikaantua varallaoloaikaina, mutta varmentavan komponentin kytkentä epäonnistuu todennäköisyydellä p • tarkastellaan kahden komponentin järjestelmää, eksponenitaaliset (mutta erilaiset vikataajuudet) vikaantumisajat • järjestelmä voi toimia tarkasteltavan aikavälin (0,t)kahdella toisensa poissulkevalla tavalla • 1. pääkomponentti toimii vikaantumatta tarkasteltavan aikavälin (tapahtuma A) • 2. pääkomponentti vikaantuu jollakin hetkellä t1, varakomponentin kytkentä onnistuu, ja komponentti toimii vikaantumatta aikavälin loppuun saakka (tapahtuma B)

21. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • järjestelmän toimintatodennäköisyys on tapahtumien A ja B todennäköisyyksien summa

22. Järjestelmien toimintatodennäköisyys • jos komponentit ovat identtiset, niin • MTTF on luonnollisesti • jos komponentteja on enemmän kuin kaksi, lasku etenee samalla tavalla • jos q=1, tavallinen kylmä vaihtovarmennus