第7課: 吸収係数 
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第7課: 吸収係数  (Absorption Coefficient) 2005年12月5日                    PowerPoint PPT Presentation


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第7課: 吸収係数  (Absorption Coefficient) 2005年12月5日                   . 授業の内容は下の HP に掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html. 今回はレポート問題がありません。. 今回のキーワード. 振動子強度 (Oscillator Strength). 等値巾 ( Equivalent Width). 陰性水素イオン (Negative Hydrogen). 7. 1 .古典的双極子による吸収.

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第7課: 吸収係数  (Absorption Coefficient) 2005年12月5日                   

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Absorption coefficient

第7課: 吸収係数 (Absorption Coefficient)2005年12月5日                   

授業の内容は下のHPに掲載されます。

http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html

今回はレポート問題がありません。

今回のキーワード

振動子強度 (Oscillator Strength)

等値巾 (Equivalent Width)

陰性水素イオン(Negative Hydrogen)


Absorption coefficient

7.1.古典的双極子による吸収

p p

p

固有振動数νoを持つ双極子モーメントp=-qzが密度Nで散らばる媒質を考える。

この媒質の誘電率をεとすると、 εE=E + 4πNp=(1 + 4πNα)E である。

この媒質を振動数νの電磁波Eが伝わる時、電磁波に起こる変化を求めよう。

  入射電磁は真空中(屈折率m=1)で   E=Eo exp( i2πνt – ikx)、

  媒質(屈折率m=n-iκ)中で   E=Eo exp( i2πνt – imkx)

                   = Eo exp( i2πνt – inkx-κkx)

媒質の屈折率mを求めることが重要である。

E=Eo exp( i2πνt – ikx)

E=Eo exp( i2πνt – imkx)

電荷qの運動は、         mz”= -gz’ – Kz -qEo exp( iωt)

γ=g/m, ωo 2=K/m, と置くと、    z” +γz’ +ωo 2z=-(qEo/m) exp( iωt)


Absorption coefficient

  固有振動数ωo 、抵抗係数γの振動子に強制振動ωを加えている。

z=A exp(iωt)とおいて、     (-ω2+iγω+ωo 2 ) A= -(qEo/m)

-q

双極子モーメントp=-qz

z

q

z=-(qEo/4π2m) exp( i2πνt)/(νo 2–ν2 +iγν/2π)

Ωω=2πν、ωo= 2πνoである。

ν=νoで共振がおき、振幅が大きくなる。

双極子モーメントp=-qzは

  p=qz=(q2Eo/4π2m) exp( i2πνt)/(νo 2 –ν2 + iγν/2π)

従って、p=αE, (α=感受率 susceptibility) とおくと、

α=(q2/4π2m) /(νo 2 –ν2 + iγν/2π)


Absorption coefficient

次に、双極子モーメントpが密度Nで存在する媒質の誘電率εを求める。

εE=E + 4πNp=(1 + 4πNα)E

ε=誘電率(dielectric constant)

= 1+4πNα=1+4πN(q2/4π2m) /(νo 2 –ν2 + ν/2π)

=1+(Nq2/πm) /(νo 2 –ν2 + iγν/2π)

=1+(Nq2/πm) (νo 2 –ν2-iγν/2π) /[(νo 2 –ν2 )2 +(γν/2π)2]

複素屈折率(complex refractivity)m=n-iκは、ε=(n-iκ)2なので

n= 1+(Nq2/2πm)(νo 2 –ν2) /[(νo 2 –ν2 )2+(γ/2π)2ν2]

(νo 2 –ν2)=2ν(νo –ν)の近似を入れて

= 1+ (Nq2/4πmν)(νo –ν) /[(νo –ν)2+(γ/4π)2]

=1+(Nq2/mνγ) [(νo –ν)/(γ/4π)] / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}

κ= (Nq2/2πm)ν(γ/2π) /[(νo2 –ν2 )2+(γ/2π)2ν2]

= (Nq2/4πmν) (γ/4π) /[(νo –ν)2+(γ/4π)2] (同じ近似)

= (Nq2/mνoγ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}


Absorption coefficient

X

-2(γ/4π)

2(γ/4π)

(νo –ν)

(Nq2/mνoγ)

媒体の

複素屈折率

m=n-iκ

κ

n-1

E=Eo exp[ 2πi(νt – ikx)]

E=Eo exp[ 2πi(νt – nkx+iκkx)]

|E|2=Eo2

|E|2=Eo2exp( -4πκkx)


Absorption coefficient

D

σ(ν)=双極子1個の吸収断面積 とすると、|E|2=Eo2 exp( -Nσ x) である。

前ページの|E|2=Eo2exp( -4πκkx)と比べると、

4πκ(ν)k(ν)=4πκ(ν)(ν/c)=Nσ(ν)

 4π (ν/c)(Nq2/mνγ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}=Nσ(ν)

σ(ν)=(q2/mc)(4π/γ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}

量子力学的双極子による吸収断面積は

σ(ν)=(q2/mc) f (4π/Γ) / {1+[(νo –ν)/(Γ/4bπ)] 2}

f=oscillator strength またはf-値( f-value) と呼ばれる。

[復習]κとσの関係

σ=吸収断面積( m2 )n=粒子数密度 (m-3)

N=nSD= S×Dの筒内粒子数

透かして見ると、Sの内不透明部分の面積X=Nσ = nSDσ

入射光線F=ISが距離Dを通過する間にX/Sが失われるから、

dI=-I(X/S)=-I(nSDσ) /S= -I nσD=-IκD

S


Oscillator strength f value

7.2.吸収線強度 (Oscillator Strength、f-value)

σ(ν)=(q2/mc) f (4π/Γ) / {1+[(νo –ν)/(Γ/4π)] 2} の双極子がn個/cm3分布する媒質を考える。

厚みLの媒質を通過した光の吸収線は、

  I´(λ)

=I(λ)exp(-nLσ(ν))

I(λ)

I(λ)-I´(λ)=I(λ)[1-exp(-nLσ(ν))]

弱吸収では、 [I(λ)-I´(λ)] / I(λ) = nLσ(ν)

Fc

等値巾 (Equivalent Width)

W=∫ [I(λ)-I´(λ)] / I(λ) dλ

弱い吸収では上式より、 

W= ∫nLσ(ν)dλ

   =nL∫σ(ν)dλ

F=0

λ


Absorption coefficient

吸収断面積の積分からはγが消える

σ(ν)

a

π

(

)d

=

(

)

∫σ

ν

ν

σ

ν

f[2mc

/(h

/4

)

]

3

2

γ

π

a

2

fc/

c

2

3

π

α

π

λ

=(

q

/mc)f

2

π

o-2

/4

o-

/4

o

o+

/4

o+2

/4

ν

γ

π

ν

γ

π

ν

ν

γ

π

ν

γ

π

2

/4

γ

π

νo-2γ/4π νo-γ/4π νo νo+γ/4π νo+2γ/4π

∫σ(ν)dν=∫(q2/mc)f(4π/γ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2} dν

=(q2/mc)f∫dx/(1+x2) = (πq2/mc)f

∫σ(λ)dλ =∫σ(ν)dν(λ2/c) =(πq2/mc) (λ2/c) f

(πq2/mc)=π4.8032・10-20/(9.109・10-28・2.9981010)=2.654・10-2 (cm2 /s)

弱い吸収では、等値幅Wが

W=nL∫σ(ν)dλ =nL∫σ(ν)dν(λ2/c) =nL(πq2/mc) (λ2/c) f

吸収断面積σ(ν)

(q2/mc)f(4π/γ)

積分値= (πq2/mc)f

はγに依らない。

γ/2π


Absorption coefficient

概算の場合は、吸収線ピークの吸収断面積は線幅Dを使って、

σp=(πq2/mc) (λ2/c) f/D=2.654・10-2(cm2sec-1)f・(λ2/Dc)

Hα: λ=0.65μ=0.6563・10-4cm D=0.0001μ=10-8cm

c=2.998・1010cm/secf=0.6407

  を代入すると、

Hβ: λ=0.4861μ=0.4861・10-4cm D=0.0001μ=10-8cm

c=2.998・1010cm/secf=0.1193

  を代入すると、


Absorption coefficient

 振動子強度の例

n=2 l=1 S=1/2 L=1

g=4

n=2 l=0 S=1/2 L=0

2P3/2

g=2

g=2

2P1/2

2S1/2

n=1 l=0 S=1/2 L=0

2S1/2

g=2

例1:Lα線

g (1s2S1/2) f(1s2S1/22p2P1/2)=0.2774, f(1s2S1/22p2P1/2) =0.1387

g (1s2S1/2) f(1s2S1/22p2P3/2)=0.5547, f(1s2S1/22p2P3/2) =0.2774

g (n=1) f(n=1n=2)=0.2774+0.5547=0.8321, f(n=1n=2) =0.4161

selection rules

Δl=±1

ΔS=0、ΔL=0、±1、  ΔJ=0、±1   (J=0J=0、 L=0L=0を除く)


Absorption coefficient

g=6

g=4

g=4

3d2D5/2

g=2

3d2D3/2

3p2P3/2

g=2

3p2P1/2

3s2S1/2

2p2P3/2

2p2P1/2

2s2S1/2

g=4

g=2

g=2

例2:Hα

レベル間遷移(ライン)のf-値

ターム間遷移(マルチプレット)のf-値

transition gLfLU gL fLU

2s2S1/23p2P1/2 0.5796 2 0.2898

2s2S1/23p2P3/2 1.1592 2 0.5796

2p2P1/23s2S1/2 0.05434 2 0.02717

2p2P3/23s2S1/2 0.10468 4 0.02717

2p2P1/23d2D3/2 2.782 2 1.391

2p2P3/23d2D3/2 0.5564 4 0.1392

2p2P3/23d2D5/2 5.008 4 1.252

transition gLfLU gL fLU

2s3p 0.8694 2 0.4347

2p3s 0.08151 6 0.01358

2p3d 4.6732 6 0.6955

Hα線のf-値

23 5.1241 8 0.6405


Bound free

自由状態

(Unbound State)

n= 3

束縛状態

(Bound State)

n= 2

n= 1

原子による吸収には、(1)b-f 吸収、(2)f-f 吸収、(3)b-b 吸収の3つがある。b-f とf-f は連続吸収、b-b は線吸収である。

b-fのbはbound stateのb、 f は free state の f である。下図は水素のエネルギーレベルと対応する b-f 吸収を示す。

7.3. 水素原子のBound-Free 吸収

Paschen 連続吸収

Balmer 連続吸収

Lyman 連続吸収


Absorption coefficient

水素原子の b-f 吸収係数 κbfρ=N1σ1+N2σ2+N3σ3+……

N1 : n=1状態の原子数密度、 σ1: n=1原子のb-f吸収断面積

N2 : n=2状態の原子数密度、 σ2: n=2原子のb-f吸収断面積

N3 : n=3状態の原子数密度、 σ3: n=3原子のb-f吸収断面積  

σ(b-f)

吸収端

σn(λ):HI(主量子数=n)のb-f 吸収断面積

σn(λ) = σn(λn) (λ/λn)3G (λn) (λ<λn)

  ここに、λn=912×n2 Å(オングストローム)= 吸収端波長

σn(λn)=吸収端における吸収断面積

= (16/3π√3) (πe2/mc)(λL/c)nG

         = 0.791×10-17nG cm2

G= Gaunt Factor = 量子力学的補正項(1から数%以内)

λ


Absorption coefficient

n=1 Lyman cont.

n=2 Balmer cont.

n=3

Paschen cont.

n=4 Brackett cont.

σn(λ)

(10-17 cm2)

00.5 1.0 1.5

λ(μ)

H原子のb-f 吸収断面積 σn(λ)

3

2

1

0


Absorption coefficient

H原子各順位の存在量

ボルツマン分布)ここに、θ=5040.2/T

一方、 σn(λn) = 0.791×10-17 nG cm2

両方の掛け算から、T=5,000Kと20,000Kでのn=1,2,3,4からの

吸収係数への寄与を比べてみると、

T=5000K n 1 2 3 4

σn(λn) ( cm2) 0.791 10-17 1.582 10-17 2.373 10-17 3.164 10-17

Nn / N11 2.09 10ー10 5.87 10-12 2.25 10ー12

Nnσn(λn)/ N1 0.791 10-173.31 10-27 1.39 10-28 7.12 10-28

T=20,000K n 1 2 3 4

Nn/ N1 1 0.0107 0.0081 0.00980

Nnσn(λn)/ N1 0.791 10ー17 1.69 10ー19 1.92 10ー19 3.10 10ー19


Absorption coefficient

基底状態にある水素原子1個当りのb-f吸収断面積

-17

-20

-25

-30

912 A

8206 A

3646 A

Lyman

14584A

log

(Nnσn / N1)

(cm2/H)

Brackett

Paschen

Balmer

‐1.5 ‐1 ‐0.5 0

logλ(μ)

20,000K

5,000K


Free free

7.4. 水素のFree-free 吸収

自由電子

光子

陽子

自由状態

free state

束縛状態

bound state

κff (λ,T)ρ=α(λ, T) ne np

ne np / nH=(2πmekT/h2)3/2 exp(‐I/kT)    を使うと、 

κff (λ,T)ρ

= α(λ, T) nH (2πmekT/h2)3/2 exp(‐I/kT)

=1.667 10-16 nH λ3g(10-13.6θ /θ) cm-1

ここに、 g=Gaunt factorλ=波長(μ) θ=5040/T


Negative hydrogen

7.5. Negative Hydrogen

Hylleraas,E.1930, Zs.f.Phys.,65,209.

 量子力学的エネルギー極小(変分計算)

 H-Electron affinity = 0.70 eV

Wildt,R., 1939. ApJ, 89, 295.

H, Li, O, F, Cl 等の計算結果(1930-1932)から星の大気中に 

  負イオン存在の可能性を指摘。更に、H+e→H-の衝突断面積σの計算

  値(Massey, 1936)から吸収係数 k を出した。

1939, ApJ 90, 619.

水素負イオンによる連続吸収。2 10‐17cm2/H-

当時、実験室では知られていなかったが量子力学の計算から予測。

  E= -0.754 eV (1.645 μ) 準位は一つ。多分 (1s)21S0

 b-b 吸収 なし。


Absorption coefficient

b-f 吸収 E>E0=0.754eV (λ<1.644μ)

f-f 吸収 Eは自由。

E0=0.754 eV

(1s)21S0

水素原子連続吸収問題:

 低温の星ではバルマー不連続が極度に大きくなるはず。

(Nσ)-

Nσ

(Nσ)+

λ

T 30,000 10,000 7,000 3,000

 比   7.03 30.03 76.36 4833

0.3647μm

     実際にはバルマー不連続 (Balmer jump)はA0で極大。

――> 中性水素以外の連続吸収源が低温度星で必要。

――> Negative Hydrogen が探されていた吸収を与えた! 


Absorption coefficient

H- の 存在比

復習 A++e-A=0  (I=inization energy)

n( A+)n(e)/n(A) =[u(A+)2/u(A)](2πmekT/h2)3/2 exp(‐I/kT)

  log[n( A+)/n(A) ]

   =log[ u(A+)/u(A) ]+log 2 +(5/2) log T -log Pe-Ⅰ(eV)(5040/T)-0.48

                               (Peの単位は erg/cm3)

Negative Hydrogen に上の式を適用すると、

    H+e-H- =0  (E=inization energy=0.754eV)

n( H)n(e)/n(H-) =[u(H)2/u(H-)](2πmekT/h2)3/2 exp(‐E/kT)

  log[n(H)/n(H-) ]

   =log[u(H)/u(H-)]+log 2 +(5/2) log T -log Pe-E(eV)(5040/T)-0.48

u(H)=2、 u(H-)=1、 E=0.754

    =0.125-log Pe+2.5 logT-0.754(5040/T)

   =9.381-log Pe-2.5 log(5040/T)-0.754(5040/T)


Absorption coefficient

H- の b-f 吸収係数

前々ページのσbf(λ) と前ページの[n(H)/n(H-) ]を合わせ、

水素原子H 1個当たりのNegative Hydrogen H-のb-f吸収断面積として、

κ(H-)bf = [ N(H-) / N(H) ]σbf

= 4.158×10-10 σbf (λ)Pe (5040/T)5/2 100.754(5040/T)(cm2 / H atom)

σbf (λ)はλ=0.85μm 付近で最大値、4×10-17 cm2をとる。

H- の f-f 吸収係数

Belland Berrington 1987 J Phys. B 20, 801.

κ(H-)ff =10-26 Pe 10A(cm2 / H atom)

   A=fo+f1 logθ+f2log2θ)

fo=-2.276-1.6850 logλ+0.76661 log2λ-0.0533464 log3λ

f1=15.2827-9.2846 logλ+1.99381 log2λ-0.142631 log3λ

f2=-197.789+190.266 logλ-67.9775 log2λ+10.6913 log3λ-0.625151 log4λ

θ=5040 / T、 λ(in A)


Absorption coefficient

H- の b-f 吸収断面積   by Wishart 1979 MN 187, 59P

10

σbf

(10-17cm2)

1

0.1

0 0.5 1 1.5

λ (μm)

0.754eV

σbf(λ)=(1.99654-0.118267 X+264.243 X2-440.524 X3+323.992 X4

–139.568 X5 +27.8701 X6) 10-18 cm2

     ここに、Ⅹ=λ(μ)


Absorption coefficient

7.6.水素連続吸収の計算

前節で、主系列星大気の温度T,ガス圧Pgから電子圧Pe を計算した。

ここではそのような大気の吸収係数を求める。考える吸収過程は、

(1) 水素原子(HI)のb-f

(2) 水素陰イオン(H-)のb-f

(3)水素陰イオン(H-)のf-f

の3つである。

まず、与えられた T,Pg から分圧、PHI,PHII,Pe、P-、PHeを求める。

Peは、Pe=Pg×2×10-6/1.1 と、下式からのPeの、大きいほうを採用する。 

次に、PHI=(Pg-2.1Pe)/1.1 

水素陰イオン圧P-は、I=0.754eVなので、次の式から決まる。


Absorption coefficient

個数密度Nは分圧からN=P/kTで求められる。

こうして、NHI,Ne、N-が決まったので、次に以下の吸収を計算する。

(1) 水素原子(HI)のb-f

(2) 水素陰イオン(H-)のb-f

(3)水素陰イオン(H-)のf-f

水素のb-f

N1=基底状態、n2=第1励起状態、n3=第2励起状態の数密度

   NHI=n1 +n2 +...=n1 とする。 (n1 >>n2 、n3 、... )

n1 、n2 、... はボルツマンの式で決まる。

   n2=4・n1・10-51402/T

   n3=9・n1・10-60885/T

   n4=16・n1・10-64262/T


Absorption coefficient

b-f(続き)

b-f 吸収断面積σは以下の式で与えられる。   

σ1(λ) =  0.79・10-17 (λ/0.0912μ)3 cm2

σ2(λ) =  1.58・10-17 (λ/0.3647μ)3 cm2

σ3(λ) =  2.37・10-17 (λ/0.8206μ)3 cm2

σ4(λ) =  3.16・10-17 (λ/1.4584μ)3 cm2

単位体積あたりの b-f 吸収率は、下の式で計算される。

n1σ1(λ)+n2σ2(λ)+n3σ3(λ)+...

注意: σ1(λ)はλ <0.0912μmでのみ適用される。同様に、

σ2(λ)はλ <0.3467μm、 σ3(λ)はλ <0.8206μm

σ4(λ)はλ <1.4584μm

でのみ有効であるから計算の際に注意が必要。


Absorption coefficient

NegativeHydrogenのb-f

σbfー(λ)=(1.99654-0.118267 X+264.243 X2-440.524 X3+323.992 X4

–139.568 X5 +27.8701 X6) 10-18 cm2

 ここに、Ⅹ=λ(μ)。先に求めたN-と合わせて、N-σbfー(λ)を求める。

 注意すべき点はこの吸収はλ<1.644μmに限られることである。 

NegativeHydrogenのf-f

H-の単位体積あたり f-f 吸収率は

NeNHIα-ff (λ, T)=10-26・NHI・Pe (erg/cm3)・10C(cm-1)

で与えられる。最後のCは次の式で計算するが、λがオングストローム(A)単位なので注意がいる。

C=fo+f1 logθ+f2log2θ)

fo=-2.276-1.6850 logλ+0.76661 log2λ-0.0533464 log3λ

f1=15.2827-9.2846 logλ+1.99381 log2λ-0.142631 log3λ

f2=-197.789+190.266 logλ-67.9775 log2λ+10.6913 log3λ-0.625151 log4λ

ただし、θ=5040.2 / T、λ(in A)である。


Absorption coefficient

7.7.連続吸収とバルマージャンプ

以下の5種の大気について、連続吸収の大きさを計算してみよう。

吸収係数 k(cm-1)=k(Hb-f)+k(H-b-f)+k(H-f-f)

   =n1σ1+ n2σ2+ n3σ3+n4σ4+N-σbfー+NeN-α-ff

スペクトル型   T      Pg(erg/cm3)    Pe(erg/cm3)

K7  4,000    100,000 0.18

G0 6,000 62,00014.0

 A9        7,500 17,000 130

  A0 10,000  1,300 420

B0.5     25000 1,900 904.7

以下の表とグラフに示すように、T=25,000Kから 10,000Kでは、バルマー端λ=0.3648μで起きるκの変化が大きくなっていった。これは、温度が下がるため(n2/n3)が大きくなったからである。さらに温度が下がると、 (n2/n3) がより大きくなるが、低温になるとグラフに示される通りH-のb-f吸収が効いてくるので、バルマー端でのκのジャンプは目立たなくなってくる。


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