Capítulo 15
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Capítulo 15 ¡ Los Griegos ya vienen! ¡ Los Griegos ya vienen! Los par á metros de sensibilidad: - PowerPoint PPT Presentation


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Capítulo 15 ¡ Los Griegos ya vienen! ¡ Los Griegos ya vienen! Los par á metros de sensibilidad: Delta =  Gamma =  Theta =  Vega =  Rho = . EJEMPLO: S = $100; X = $100;r = 0,08;  = 0,3; T = 180 días. Call Put Precio: $10,30 $6,43  0,6151 -0,3849  0,0181 0,0181

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Capítulo 15

¡Los Griegos ya vienen!

¡Los Griegos ya vienen!

Los parámetros de sensibilidad:

Delta = 

Gamma = 

Theta = 

Vega = 

Rho = 


EJEMPLO:

S = $100; X = $100;r = 0,08;  = 0,3; T = 180 días.CallPut

Precio: $10,30 $6,43

 0,6151 -0,3849

 0,0181 0,0181

 -12,2607 -4,5701

 26,8416 26,8416

 25,2515 -22,1559

Todos son dólares por unidad.


LOS GRIEGOS SON MEDIDAS DE SENSIBILIDAD.

La pregunta es como va a cambiar el valor de la opción cuando se cambie el valor de uno de los parámetros que definen su valor. delta 

Delta mide la sensibilidad del valor de la opción ante un “pequeño” cambio en el precio de mercado del activo subyacente.

En términos matemáticos: (c) = c/ S

(p) = p/ S

Obsérvase que el delta del activo subyacente es 1 por definición:

(S) = S/ S = 1.

En general, la delta de cual quier posicion es el cambio de dicha posición antes un pequeño cambio en el valor del activo subyacente.


Delta figura 15 2 p g 347

Precio de

la opción

Pendiente =Δ

B

Precio de la acción

A

Delta(Figura 15.2, pág. 347)

  • Delta (Δ) es el cociente entre el cambio del precio de la opción con respecto al cambio en el precio del activo subyacente.


  • Resultados:

  • El delta de una put es el delta de la call (mismo subyacente, mismo precio de ejercicio y mismo vencimiento) menos 1.

  • (p) = (c) - 1.

  • Usando la fórmula de Black y Scholes, se puede mostrar que:

  • (c) = n(d1)  0 < (c) < 1

  • (p) = n(d1) - 1  -1 < (p) < 0

  • en el ejemplo inicial:

  • (c) = 0,6151

  • (p) = - 0,3849


Cobertura delta
Cobertura delta

  • Implica mantener una cartera delta-neutral.

  • La delta de una opción Europea de compra sobre acciones que pagan dividendos a un tipo q es N(d1)e– qT.

  • La delta de una opción Europea de venta es:

    e– qT[N(d1) – 1]

    0 ≤ c≤ 1

    - 1 ≤ p≤ 0


EJEMPLO:

(c) = 0,64  (p) = - 0,36.

Un STRADDLE comprado tiene un delta de: 0,64 + (- 0,36) = 0,28.

Una estrategia (STRIP)en la que compramos dos de las puts y una call tiene un delta de:

0,64 + 2(- 0,36) = - 0,08 Y está casí neutralizada.

Con los dados datos, la compra de la put con una acción del subyacente nos da una estrategia con delta:

1 + (- 0,36) = 0,64,

Así que la estrategia de: comprar la put, caomprar el subyacente y vender la call, siempre está delta neutral.

Por fin, la compra de 100 acciones del subyacente, venta de 100 calls y compra de y 100 puts nos da una posición con:

 = 100 + (-100)(0,64) + 100(-0,36) = 0.


Estretegias que definen un nivel fijo de delta

PosicióN de DELTA NEUTRAL

Acabamos de comprar una opción call porque está subvaluadada. Para proteger el valor de la opción ante posibles cambios del precio del activo subyacente, vamos a comprar acciones del mismo.

Problema: ¿Cuántas acciones del activo subyacente es necesario comprar para obtener una posición neutralizada. Es decir, una posición cuyo valor no se cambia cuando se cambie el precio del subyacente?

V = n(S)S + n(c)c

(V) = n(S) + n(S,c)(c)

Una posición cuyo valor no se cambie es una posición DELTA NEUTRAL ( = 0) (V) = 0  n(S) + n(S,c)(c) = 0,

n(S) = - n(S,c)(c) = 0,


EJEMPLO: Supongamos que delta de una call es 0,50. Acabamos de comprar 100 calls. ¿Cuantas acciones del subyacente necesitamos comprar para tener una posición delta neutral?

n(s) = - n(S,c)(c) = 0,

(c) = 0,50 y n(S,c) = 100, se desprende que:

n(s) = - n(S,c)(c) = - 100(0,50) = - 50.

Esta solución significa que la call y las acciones están en posiciones opuestas. Las acciones deben haber vendidas en corto.

De la ecuación: n(S) = - n(S,c)(c) = 0, es claro que:

(c) = - n(S)/n(S,c).

Resulta que se puede definir el delta como:

la razón de cobertura.

Es decir, delta indica la cantidad del subyacente que está requerida para neutralizar el riesgo de la posición.


Ilustraci n p g 343
Ilustración de comprar 100 calls. (pág. 343)

  • Una institución financiera ha vendido por 300.000 dólares una opción Europea de compra sobre 100.000 acciones de unas acciones que no pagan dividendos.

  • S0 = 49, X = 50, r = 0,05, σ = 0,02, T = 20 semanas, μ = 0,13.

  • El precio Black-Scholes de la opción es aproximadamente 240.000 dólares.

  • ¿Cómo se enfrenta el banco con el problema de cubrir los riesgos?


Posiciones cubiertas y descubiertas
Posiciones cubiertas y descubiertas de comprar 100 calls.

Posición descubierta:

No hacer nada.

Posición cubierta:

Comprar 100.000 acciones hoy.

Ambas estrategias dejan al banco expuesto a un riesgo significativo.


Estrategia para frenar p rdidas stop loss
Estrategia para frenar pérdidas ( de comprar 100 calls. stop-loss)

Esta estrategia implica:

  • Comprar 100.000 acciones tan pronto como el precio alcance los 50 dólares.

  • Vender 100.000 acciones tan pronto como el precio descienda por debajo de 50 dólares.

    Esta sencilla, pero engañosa, estrategia de cobertura no funciona bien.


Cobertura delta1
Cobertura delta de comprar 100 calls.

  • La posición de cobertura debe ajustarse periódicamente.

  • La cobertura delta sobre la venta de una opción implica una regla comercial: “comprar caro, vender barato”.

  • En las Tablas 15.3 (pág. 352) y 15.4 (pág. 353) se observan ejemplos de cobertura delta.


THETA de comprar 100 calls. 

Theta mide la sensibilidad del valor de la opción antes un cambio pequeño del tiempo que reste hasta el vencimiento de la opción.

En el ejemplo inicial

(call) = -12,2607

(put) = -4,5701


GAMMA de comprar 100 calls. 

Gamma mide el cambio de la delta antes un pequeño cambio del precio del subyacente.

En términos matemáticos gamma es la segunada derivada del valor de la opción.

(c) = 2c/ S2 ; (p) = 2p/ S2

Obsérvase que el delta del activo subyacente es 1 por que por la definición: (S) = 2S/ S2 = 0.

En general, Gamma de cual quier posicion es el cambio del delta de dicha posición ante un pequeño cambio del precio de mercado del subyacente. En el ejemplo inicial:

(c ) = (p) = 0,0181


Error de cobertura introducido por la curvatura o gamma figura 15 7 p g 359
Error de cobertura introducido por la curvatura, o gamma de comprar 100 calls. (Figura 15.7, pág. 359)

Precio de la opción de compra

C’’

C’

C

Precio de la acción

S

S’


Resultado: de comprar 100 calls.

Los gammas de una call y una put son iguales. Γc= Γp

Ejemplo:

Con una (c) = 0,70  (p) = - 0,30 y gamma de 0,2345, una estrategia de Venta de la call y compra de la put tiene una

 = - 0,70 + (- 0,30) = -1,00,

 = - 0,2345 + 0,2345 = 0.

La estrategia de: comprar el subyacente

comprar la put

vender la call

(estrategia) = 1 - 0,70 + (- 0,30) = 0

(estrategia) = 0 - 0,2345 + 0,2345 = 0.

Esta estrategia es delta - gamma neutral.


Interpretaci n de gamma
Interpretación de gamma de comprar 100 calls.

  • Para una cartera delta-neutral:

    ΔΠ  Θ Δt + ½ ΓΔS2

ΔΠ

ΔΠ

ΔS

ΔS

Gamma positiva

Gamma negativa


In our example: de comprar 100 calls.

DELTA CALL C = 0.6151

The Delta neutral position with 100 CBOE short calls requires the holding of:

n(s) = -n(c;S)C

n(s) = -[-10,000](.6151)

n(s) = 6,151shares long.

The value of this portfolio is:

-10,000($10.3004) + 6,151($100) = $512,056


Interpretation of Gamma de comprar 100 calls. The delta neutral position with 100 CBOE short calls and 6,151 long shares has Γ= -$181

Position value

$512,056

S

75 100 125

More negative Γ

Negative Gamma means that the position loses value when the stock price moves more and more away from it initial value.


THETA de comprar 100 calls. 

Theta measures the sensitivity of the option’s price to a “small” change in the time remaining to expiration:

(c) = c/(T-t) (p) = p/(T-t)

Theta is given in terms is $/1 year. Thus, if (c) = - $12.2070/year, it means that if time to expiration increases (decreases) by one year, the call price will increase (decreases) by $12.2070. Or, 12.2070/365 = 3.34 cent per day.


VEGA de comprar 100 calls. 

La vega () es la tasa de variación del valor de la cartera de derivados con respecto a la volatilidad.

Vega mide la sensibilidad del valor de la opción antes un pequeño cambio de la volatilidad del precio del activo subyacente.

En el ejemplo inicial

(call) = (put) = 26,8416

Véase la Figura 15.11 sobre la variación de  con respecto al precio de la acción para una opción de compra o de venta.


RHO de comprar 100 calls. 

Rho es la tasa de variación del valor de un derivado con respecto al tipo de interés.

Rho mide la sensibilidad del valor de la opción antes un cambio pequeño de la tasa de interés.

En el ejemplo inicial

(call) = 25,2515

(put) = -22,1559

En el caso de opciones sobre divisas, hay dos rhos correspondientes a los dos tipos de interés.


RESUMEN DE LOS GRIEGOS de comprar 100 calls.

PosiciónDeltaGammaVegaThetaRho

S comprado 1 0 0 0 0

S vendido - 1 0 0 0 0

C comprada + + + - +

C vendida - - - + -

P comprada - + + - -

P vendida + - - + +


  • La sensibilidad de carteras de comprar 100 calls.

  • 1. Una cartera es una combinación de activos y opciones.

  • Todas las medidas de sensibilidad son derivadas.

  • Teórema: La derivada de una combinación de funciones es la combinación de las derivadas.

  • Por ende, la sensibilidad de una cartera es la suma de las medidas de sensibilidad de las posiciones incluidas en la cartera.


  • ESTRATEGIAS BASADAS EN GRIEGOS de comprar 100 calls.

  • Estrategias basadas en griegos son estrategias en las que el inversionista trata de conseguir un nivel de sensibilidad. Es decir, la estrategia está construida con el objetivo de que tenga una dada exposición al riesgo.

  • La abrumadora mayoría de este tipo de estrategias tratan de que la estrategia no tenga ninguna exposición al riesgo.

  • En las siguientes pájinas analizamos ejemplos de posiciones:

  • delta neutral

  • delta-gamma neutral

  • Delta-gamma-vega-rho neutral

  • En dicho ejemplo el activo subyacente es el índice S&P100 y las opciones sobre el mismo son europeas.


EJEMPLO 1: de comprar 100 calls. Delta-Gamma neutral posicion

Supuesto: el precio actual de una libra de cobre es S = USD0,7525. Además, esxisten dos opciones con los siguientes parámetros:

Delta($)Gamma($)

Call 1 0,6300 0,2200

Call 2 0,4500 0,1375

S 1,0 0,0

Es importante recordar que estos valores son por libra y que una opción en NYMEX cubre 25.000libras.


EJEMPLO 1: de comprar 100 calls. Delta-Gamma neutral posicion

VALOR(portafolio) = Sn(s) + c1n1 + c2n2

(portafolio) = n(s) + 1n1 + 2n2 = 0

Γ(portafolio) = Γ1n1 + Γ2n2 = 0.

 = n(s) + .6300n1 + .4500n2 = 0

Γ= .2200n1 + .1375n2 = 0

Supongamos que vendemos 100 calls 1.


EJEMPLO 1: de comprar 100 calls. bajo este supuesto n1 = - 10.000 y:

 = n(s) + .6300(-10.000) + .4500n2 = 0

Γ= .2200(-10.000) + .1375n2 = 0

n1 = -10.000 vender corto 100 calls 1

n2 = 16.000 comprar 160 calls 2

y ns = - 900 vender corto 900 acciones

del activo subyacente.


EJEMPLO 2: de comprar 100 calls.

S = $300

X = $300

T = 365 días

= 0,18 Desviación estándar annual de 18%

r = 0,08 Tasa anual de interés sin riesgo 8%

d = 0,03 Tasa anual de dividendos es 3%

C = $28,25;  = 0,6245;  = 0,0067;

 = 0,0109;  = 0,0159.


  • ESTRATEGIA DE DELTA NEUTRAL de comprar 100 calls.

  • n0 = - 10.000  posición corta en 100 calls.

  • nS = 6.245  Comprar 6.245 acciones del subyacente.

  • Primer caso A: El precio del subyacente: $300 a $301.

  • CarteraValor inicialNuevo valorcambio

  • 100Calls - $282.500 - $288.800 - $6.300

  • 6.245S $1.873.500 $1.879.700 $6.200

  • Error: - $100

  • Primer caso B: El precio del subyacente: $300 a $299.

  • CarteraValor inicialNuevo valorcambio

  • 100Calls - $282.500 - $276.200 + $6.300

  • 6.245S $1.873.500 $1.867.300 - $6.200

  • Error: + $100


  • Segundo caso: de comprar 100 calls. El precio del subyacente: $300 a $310.

  • CarteraValor inicialNuevo valorcambio

  • 100Calls - $282.500 - $348.100 - $6.560

  • 6.245S $1.873.500 $1.975.900 $6.240

  • Error: - $320

  • El problema es que delta se cambia cuando se cambie el precio del subyacente.

  • S = $300$301$310

  •  = 0,6245 0,6311 0,6879.

  • Conclusión: Para neutralizar el impacto de grandes cambios en el subyacente es necesario usar una posición delta-gamma neutral. Sin embargo, para hacerlo es necesario tener otras opciones.

  • Supongamos que existe otra opción sobre el mismo subyacente con los siguientes parámetros:


Call inicial(#0) de comprar 100 calls. Call (#1)

S = $300 S = $300

X = $300 X = $305

T = 365 días T = 90 días

 = 0,18  = 0,18

r = 0,08 r = 0,08

d = 0,03 d = 0,03

c = $28,45 c = $10,02

 = 0,6245  = 0,4952

 = 0,0067  = 0,0148

 = 0,0109  = 0,0059

 = 0,0159  = 0,0034


  • POSICION DELTA-GAMMA NEUTRAL de comprar 100 calls.

  • WS +W0(0,6245) + W1(0,4952) = 0   = 0

  • W0(0,0067) + W1(0,0148) = 0  = 0

  • Para crear cartera delta-gamma neutral las dos condiciones deben cumplirse simultáneamente, mantentiendo la posición corta en la call inicial:

  • Solución: W0 = -1

  • W1 = - (0,0067)(-1)/0,0148 = 0,453

  • WS = - (0,6245)(-1) – (0,453)(0,49520 = 0,4

  • Corto la call inicial : W0 = -1.000

  • Largo 0,453 de call #1 W1 = 0,453

  • Largo 0,4 del subyacente WS = 0,400


LA CARTERA DELTA-GAMMA NEUTRAL de comprar 100 calls.

Primer caso: El precio del subyacente: $300 a $301.

CarteraValor inicialNuevo valorcambio

(-1,0)#0 - $28,25 - $28,88 - $0,63

(0,453)#1 $4,54 $4,77 $0,23

(0,4)S $120 $120,4 $0,40

Error: Cero

Segundo caso: El precio del subyacente: $300 a $310.

CarteraValor inicialNuevo valorcambio (-1,0)#0 - $28,25 - $34,81 - $6,56

(0,453)#1 $4,54 $7,11 $2,57

(0,4)S $120 $124 - $4,00

Error: + $0,01

La cartera está neutralizada contra cambios pqueños tal como cambios grandes en el precio del activo subyacente.


Sin Embargo, de comprar 100 calls.

al examinar la exposición entera, se ve que:

Es claro que la cartera todavía esté expuesta al riesgo de dos factores:

la volatilidad

la tasa de interés.


La distribuci de comprar 100 calls. ón del error asociado con la cartera delta – nuetral para volatilidad: 12%, 18% Y 24%, para varios cotizaciones del subyacente:


La distribuci de comprar 100 calls. ón del error asociado con la cartera delta-gamma nuetral volatilidad: 12%, 18% Y 24%, para varios cotizaciones del subyacente:


La tasa de inter de comprar 100 calls. és es el cuarto parámetro. En el siguiente caso analizamos el error cuando se cambie la tasade interés:

Tercer caso: El precio del subyacente: $300 a $310 y simultáneamente, la tasa de interés sin riesgo se alza por 1%, de 8% a 9%.

CarteraValor inicialNuevo valorcambio

(-1,0)#0 - $28,25 - $33,05 - $4,80

(0,453)#1 $4,54 $6,91 $2,37

(0,4)S $120 $124 - $4,00

Error: - $1,57


Para eliminar la entera exposici de comprar 100 calls. ón al riesgo, vamos a usar el activo subyacente, S = $300 y la siguientes opciones:

CALL0123

X 300 305 295 300

T(días) 365 90 90 180

Volatilidad 18% 18% 18% 18%

r 8% 8% 8% 8%

Dividendos 3% 3% 3% 3

PRECIO $28,25 $10,02 $15,29 $18,59


Las medidas de exposici de comprar 100 calls. ón al riesgo son:

CALL0123S

Delta = : 0,6245 0,4952 0,6398 0,5931 1,0

Gamma= : 0,0067 0,0148 0,0138 0,0100 0,0

Vega = : 0,0109 0,0059 0,0055 0,0080 0,0

Rho =  : 0,0159 0,0034 0,0044 0,0079 0,0


LA CARTERA DELTA-GAMMA-VEGA-RHO NEUTRAL de comprar 100 calls.

Para eliminar la entera exposición al riesgo buscamos las ponderaciones de inversión en el subyacente y las dadas opciones de manera que asegure que todos los parámetros de sensibilidad son:

SIMULTANEAMENTE CERO:

Delta =  = cero

Gamma =  = cero

Theta =  = cero

Vega =  = cero

Rho =  = cero


Delta = de comprar 100 calls.  = 0

WS+W0(0,6245)+W1(0,4952)+W2(0,6398)+W3(0,5931) = 0

Gamma =  = 0

W0(0,0067)+W1(0,0148)+W2(0,0138)+W3(0,0100) = 0

Vega =  = 0

W0(0,0109)+W1(0,0059)+W2(0,0055)+W3(0,0080) = 0

Rho =  = 0

W0(0,0159)+W1(0,0034)+W2(0,0044)+W3(0,0079) = 0

Se debe resolver las 4 ecuaciones simultáneamente.


Para llegar a la soluci de comprar 100 calls. ón, fijamos W0 = - 1,0 y resolvaemos las ecuaciones. El resultado es:

Posición

W0 = -1,0000  Corta call #0

WS = 0,2120  larga 0,2120 del subyacente

W1 = 0,8380  Larga 0,8389 call #1

W2 = -1,9000  Corta 1,9000 call #2

W3 = 2,0420  Larga 2,0420 call #3

En realidad, cada una de las opciones cubre 100 acciones del subyacente. Los resultados arriba se pueden reescribir:

Corta 100 calls

Larga 2.120 acciones del subyacente

Larga 84 calls #1

Corta 190 calls # 2

Larga 204 calls #3


  • LA CARTERA DELTA-GAMMA-VEGA-RHO NEUTRAL de comprar 100 calls.

  • Cuarto caso: El precio del subyacente: $300 a $310 y simultáneamente, la tasa de interés sin riesgo se alza por 1%, de 8% a 9% y simultáneamente, la volatilidad annual se cambia de 18% a 24%

  • CarteraValor inicialNuevo valorcambio

  • 1,0(#0) - $28,25 - $42,81 - $14,56

  • (0,212)S $63,60 $65,72 $2,12

  • (0,838)#1 $8,40 $16,42 $8,02

  • (-1,9)#2 - $29,05 - $48,97 - $19,92

  • (2,042)#3 $37,97 $62,20 - $24,25

  • Error: - $0,09


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