§9.4 自感与互感

1. §9.4 自感与互感 一、自感电动势 自感 1、自感现象 当一个线圈中的电流发生变化时， 它所激发的磁场穿过线圈自身的 磁通量发生变化，从而在线圈本 身产生感应电动势，这种现象称 为自感现象，相应的电动势称为 自感电动势。

2. 注意 穿过闭合电流回路的磁通量 则 1）自感 磁通匝数 自感 无铁磁质时, 自感仅与线圈形状、磁介质及N有关. 2、自感系数 没有铁磁质时，根据磁通量的定义及Biot-Savart定律， L为自感系数,简称自感或电感。 单位：亨利(H) 若线圈有 N匝，

3. 当 时， 自感 2）自感电动势 单位：1亨利 （ H ）=1 韦伯 / 安培（1Wb / A）

4. l • 假设电流I分布 计算磁场B分布 计算F 由L=F/I求出L S I n 3、自感的计算 例1．有一长直螺线管，长度为l(l>>R)， 横截面积为S，线圈总匝数为N，试求其 自感系数。 解：当有电流I时，管内磁场看作是均匀的，磁感应强度的大小为： 令V=Sl为螺线管的体积 穿过螺线管的磁通量 • 增大L的方法： • (1)增大 n • (2)放入磁介质 自感系数为

5. 图中所示是绕有C1和 C2两层线圈的长直螺 线管，长度均为l，截 面的半径都是r．C1线 圈共有N1匝，当其中通有电流I1时，其磁场在 C2线圈每匝中的磁通为： C2 N2 I I C1 N1 二、互感现象 互感系数 由于一个回路中的电流变化而在邻近另一个回路中产生感应电动势的现象，称为互感现象。 5

6. 所以，通过C2线圈N2匝的全磁通： 当I1变化时，在C2线圈回路中将产生感生电动势： 将上式改写为： 式中： 6

7. 同样，当C2线圈中I2变化时，在C1回路中也将产生感生电动势：同样，当C2线圈中I2变化时，在C1回路中也将产生感生电动势： 上式中可以看出： M反映了两回路间产生感生电动势的能力，称为互感系数或互感。 互感的单位也是亨利（H） 若两个回路的相对位置固定，且周围没有铁磁性物质，则： 7

8. 同理，副线圈的自感系数： 现仍以两层螺线管为例，讨论自感与互感的关系，以知原线圈的自感： 由此可见： 8

9. 只有一个回路所产生的磁感应线全部穿过另一回路，才有上述关系。对于一般的情形：只有一个回路所产生的磁感应线全部穿过另一回路，才有上述关系。对于一般的情形： 0K1，称为偶合系数。 一般情况下，互感和自感一样只和两回路的形状，相对位置及周围磁介质有关，而与电流无关。 互感的计算 • 假设一个线圈电流I分布 • 计算该线圈产生的磁场在另一线圈产生的磁通量F • 由M=F/I求出互感系数 9

10. 例 1 在磁导率为 的均匀无限大的磁介质中, 一无限长直导线与一宽长分别为 和 的矩形线圈共面,直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为 . 求二者的互感系数. 解 设长直导线通电流

11. 若导线如左图放置, 根据对称性可知 得

12. 自感线圈磁能 9.5 磁场的能量 当线圈中的电流由0→I过程中,dt时间内电源抵抗自感电动势作功: 同理可证明,切断电源后,自感电动势在电流减少过程中作的功: 线圈中储存的自感磁能

13. 自感线圈磁能 • 磁场能量密度 • 磁场能量

14. 例3．如图示，在纸面所在的平面内有一载有电流 I的无限长直导线，其旁另有一边长为 l的等边三角形线圈 ACD．该线圈的 AC 边与长直导线距离最近且相互平行．今使线圈 ACD 在纸面内以匀速 v 远离长直导线运动，且 v 与长直导线相垂直．求当线圈 AC边与长直导线相距为 a时，线圈 ACD内的动生电动势ε． 解：设线圈回路以A→C→D→A的绕向为动生电动势ε的正向，与直导线平行的 AC 边产生的动生电动势 其它两边产生的动生电动势大小相等绕向相同．如图示，在 CD边上选一线元 dl，则其上的动生电动势

16. a B v l  x O b 例题： 如图所示，在均匀磁场中有一金属框架aOba，ab边可无摩擦自由滑动，已知∠ aob＝， ab⊥Ox，磁场随时间变化规律为B t= t2/2。若 t＝0时， ab边由 x＝ 0处开始以速率v 作平行于X轴的匀速滑动。试求任意时刻 t金属框中感应电动势的大小和方向。 解:由于B 随时间变化，同时ab导线切割磁场线，故回路中既存在感生电动势，又存在动生电动势。 由法拉第电磁感应定律可知，t时刻金属框中感应电动势的大小为： 16

17. 动的方向从b指向a， 感的方向为逆时针方向。 将x＝v t，l＝xtan＝ vt tan 代人上式，则 注释:对于这类问题，既可直接用法拉第电磁感应定律求解总的感应电动势，也可分别计算动生电动势和感生电动势，即假设磁场不变化，金属棒切割磁场线，求动，再假设金属棒不动，因磁场变化，求感。最后求出总的感应电动势。 17