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说明 : 1. 由于 R 2 , R 3 中的点与向量一一对应 . 因此 PowerPoint PPT Presentation


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说明 : 1. 由于 R 2 , R 3 中的点与向量一一对应 . 因此. 以后在表述时不再区分这两个概念. 在无特别声明时 , 总用 X , Y 等表 R 2 , R 3 中的点 ( 向量 ). 用 x , y , z , a , b , c 等表实数. 2. 由于有多种乘积使用记号 " ·", 因此 , 阅读教材时 , 应注意区别 "  · a ", " A · P ", " X B " 的含意. 对 " +" 也类似. §1 - 1 多元函数的概念. 一、多元函数的概念.

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说明 : 1. 由于 R 2 , R 3 中的点与向量一一对应 . 因此

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说明: 1.由于R2, R3中的点与向量一一对应. 因此

以后在表述时不再区分这两个概念.

在无特别声明时,总用X, Y等表R2, R3中的点(向量). 用x, y, z, a, b, c 等表实数.

2.由于有多种乘积使用记号" ·", 因此, 阅读教材时, 应注意区别 " ·a", "A ·P", "X B" 的含意.

对" +" 也类似.


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§1-1 多元函数的概念

一、多元函数的概念

  以前我们接触到的函数 y = f (x)有一个特点, 就是只有一个自变量, 函数 y是随着这一个自变量的变化而变化的. 我们称为一元函数. 如 y = sinx, y = x2 + 3cosx等.


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所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化.

圆柱体体积 V =  r 2 h

  体积 V 随 r, h的变化而变化.

或者说,任给

一对数(r, h),就有唯一的一个V与之对应.


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长方体体积V = xyz

或者说, 任给

V 随 x, y, z 的变化而变化.

一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应.

这些都是多元函数的例子. 有一个自变量的称为一元函数, 有二个自变量的称为二元函数. 有三个自变量的称为三元函数, …,有 n 个自变量的称为 n元函数. 二元以上的函数统称为多元函数.

与一元函数类似, 我们有


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二元函数定义

设D是xy平面上的一个点集,即 D R2,

若对任意的点 X = (x, y)D  R2, 按照某个对应规则f ,总有唯一确定的实数z与之对应, 则称 f是定义在D上的二元实值函数,记作

f : D R,X = (x, y)  z .


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  称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像, 记作f (X) 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也称作 X = (x, y)所对应的函数值.

  称 D为函数f的定义域.D在f 下的像集 f (D)={ f (X )| XD }称为 f的值域.

习惯上, 称 z = f (X ) = f (x, y) 为二元函数, 另外, 称 x, y为自变量, z 为因变量.

比如 z = sinx +cosy, z = 3x2 + ey .


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  注1一般说来, 自变量x , y都是独立变化的.它们只受到(x, y)D 的限制.

另外, 若给出了

f (x, y) 的表达式, 算 f (x0, y0) 的方法与一元函数类似.

如 f (X) = f (x, y) = 3x+y2, X0 = (1, 1)

则 f (X0) = f (1, 1) = 3 ·1+12= 4

f (x+y, siny) = 3(x+y) + sin2y


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g

f

事实上, x D上的点f (x, g(x)) = (x, y)z .

注2特别,若定义域 D是xy面上一条曲线. D: y = g(x).

则二元函数 z=f (x, y)

=f (x, g(x))成为一元函数.


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注3任何一个一元函数都可扩充为一个 二元函数.

事实上,z = f (x)

= f (x) + 0 ·y

只须将 z 作为一元函数的定义域 D R 扩充为R2 中点集即可.


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  注2,注3说明二元函数是一元函数的推广, 而一元函数则是二元函数的特殊情形. 二元函数是定义在 xy 平面某点集上的函数,而一元函数是定义在 xy面上一条直线(x 轴)上的二元函数.

类似的,有n元函数定义.


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定 义

  设D Rn, 若对任意的 X = (x1, x2, …, xn) D Rn, 按某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的 n元实值函数. 记作

f : D R , X = (x1, x2, …, xn) z .

并记 z = f ( X ), 或 z = f (x1, x2, …, xn).


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例1 求 z = ln (x + y)的定义域 D , 并画出D的图形.

解:与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义

  的平面上的点的集合.

x + y > 0. 故 定义域 D = {(x, y)| x + y > 0}

为画 D 的图形, 由x + y > 0, 得 y > –x = (y1).

画直线 y1 = – x. 由于 D中点 (x, y) 的纵坐标 y 要大于直线 y1 = – x上点的纵坐标 y1, 故D表示直线 y1 = – x上方点的集合. (不包括边界y1 = –x上的点)


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y

如图

D

x + y = 0

y > –x

(不包括直线x + y = 0)

o

x


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例2

解:

故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合. 即, D 为单位圆盘 (包括边界).


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y

(包括圆周)

o

x

D

x2 + y2 = 1


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y

y2 =x

o

x

1

例3

解:

D = { (x, y) | y2 < x < 1}

由 x > y2 ( = x1)知, D在曲线 x1= y2的右侧.

由 x < 1 ( = x1)知, D在直线 x1= 1 的左侧.

如图


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二、平面区域

1. 邻域:

  以点 X0 = (x0, y0)为中心, 以  为半径的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域.

记 Û (X0,  ) = U (X0,  )  { X0}, 称为X0 的去心  邻域.

如图


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X0

X0

U (X0,  )

Û (X0,  )

当不关心邻域半径时, 简记为U (X0)和Û (X0).


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2.内点:

  设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)E, 若存在邻域 U(X0 ,  )  E , 则称 X0 为 E的内点.

E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记为E0.

记EC= R2  E 称为E 的余集. 若X0是 EC的内点, 则称X0为E的外点.

如图

D = {(x, y)| x2 + y21 }


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y

1

x2 + y2 = 1

o

1

x

D

  易知,圆内部的每一点都是D的内点. 圆外的每一点都是D 的外点. 但圆周上的点不是D 的内点,也不是D的外点.


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如图

y

x + y = 0

D

0

x

又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0}

易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D=D,

但直线上的点不是D的内点.


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3. 边界点:

设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面上一个点. 若 X0的任何邻域 U(X0 ,  )内既有属于 E 的点, 又有不属于E的点, 则称 X0 为 E的边界点.

E的全体边界点所成集合称为 E的边界. 记作 E.

  如, 例1中定义域 D的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图


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y

y

1

D

o

x

1

o

x

x2 + y2 = 1

x + y = 0

D

E 的边界点可以是 E 中的点,也可以不是E中的点.


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可以证明:

E中的点 X0E只可能有两种情形.

(1)X0为E的内点.

(2)X0为E的边界点.

两者必居其一.

R2中的点X只可能有三种情形.

(2)X为E的边界点.

(1)X为E的内点.

(3)X为E的外点.


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4. 开集

设 E 是一平面点集, 若 E中每一点都是 E 的内点.

规定, , R2为开集.

即 E E0, 则称 E是一个开集.

由于总有 E0 E, 因此, E E0  E= E0

若E= E0 , 则称 E 是一个开集.

故也可说,

比如, 例1中 D 是开集, (D= D0 ), 而例2中 D 不是开集.


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y

E

o

x

又比如, E 如图

若 E 不包含边界, 则 E 为开集.

若 E 包含边界, 则 E 不是开集.


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  结论:非空平面点集 E 为开集的充要条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点. 即 E 不含有 E 的边界点.

证:

必要性.设 E为开集, X E,

由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E的边界点.


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充分性:若 E 中每一点都不是 E 的边界点.

要证 E 为开集.

X E,

由于 X 不是 E 的边界点.

而 E 中的点或者为 E 的边界点,或者为E的内点, 两者必居其一, 故 X 为E的内点, 因此E为开集.


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X

Y

E 不连通

5. 连通集

  设E是一非空平面点集, 若X ,YE. 都可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集.

如图

X

Y

E 连通


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y

y

1

o

x

1

o

x

x2 + y2 = 1

x + y = 0

  从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接.

如图

例1, 2中的 D 都是连通集.


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E

6.开区域(开域)

设 E 是一平面点集.

若 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域.

  比如, 例1中D是开区域.

如图.

从几何上看, 开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.


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E

7.闭区域(闭域)

若 E 是开域, 记

称为闭区域.

  易见,例2中的D是闭区域. 从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集.

如图.

(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.


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8.设 E  R2,若存在r > 0,使 E  U(O, r),则称E为有界集. 否则称E为无界集.

  易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域.


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9.聚点

  设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点. 若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E . 则称 X0 是E的一个聚点.

从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.


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X0

如图


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1.聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证).

2.E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E .

3.E 的内点一定是 E 的聚点.


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一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的聚点, 自证.

4.若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点.

即,区域中的任一点都是该区域

的聚点.


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X0

10.孤立点

若点X0E,且存在>0,使得邻域U(X0, )内除X0外, 所有点均不属于E, 即Û (X0, )∩E = , 则称 X0为 E的孤立点.

如图.

显然, E的孤立点X0总是E的边界点, 但不是聚点.


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  邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点,孤立点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.


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三、二元函数的几何意义

设 z = f (X) = f (x, y) 的定义域是平面区域 D .

按二元函数定义, X = (x, y)D. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y, z).


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当X 在D中变动时, 点M (x, y, z)在空间中变动,当 X 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中"织"出一片曲面.

  即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该曲面在 xy 面上的投影区域.


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z

o

y

x

X

D

M (x, y, z)


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如 z = ax +by + c , 表平面.

注意, 三元函数 u = f (x, y, z)的定义域是 R3 的一个子集.

三元函数无几何意义.


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§1-2 多元函数的极限与连续

一、二元函数的极限


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y

y = f (x)

A

f (x)

f (x)

0

x

x0

x

x

x  x0

回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),

表示

当 x不论是从 x0的左边

还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.

如图

就是 >0, >0.

当0<|x – x0|<  时, 有|f (x) – A|< .


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z

A

M

y

o

x

X0

设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.

如图

  如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A

z = f (x, y)

f (X)

为当X趋近于X0时f (X)的极限.

X

X

D


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  类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X)– A | <  刻划. 而平面上的点 X = (x, y) 无限接近于点 X0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离


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定 义1

  设二元函数 z = f (X) = f(x, y). 定义域为D. X0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数.

若  > 0,  > 0, 当

对应的函数值满足

| f (X)– A | < 

则称 A为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时(二重)极限.

记作

也可记作 f (X)  A(X  X0), 或, f(x, y)  A (x  x0, y  y0 )


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  注1.定义1中要求X0是定义域D的聚点, 这是为了保证 X0的任意近傍总有点X使得f (X)存在, 进而才有可能判断 | f (X)– A | 是否小于  的问题.

若D是一区域. 则只须要求

就可保证 X0 是D的一个聚点.

另外, " 0 < ||X  X0 || <  "表示 X 不等于X0.


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x

x

x0

x

2.

如图


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X

z

X0

A

D

z = f (x, y)

o

x

M

f (X)

y

o

x

X0

X

D

对二元函数 f (X), 如图

 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A.


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  因此, 如果当X以某几种特殊方式趋于X0时, f (X)的极限为A. 不能断定二重极限

  若X以不同方式趋于X0时, f (X)的极限不同, 则可肯定二重极限

3.极限定义可推广到三元以上函数中去, 且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.


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例1.

用定义证明:

证:

 >0,

(要证 >0, 使得当

< 时, 有 | f (x, y) – 0 | <  ).

考虑| f (x, y) – 0 |


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要使| f (x, y) – 0 | <  , 只须

| f (x, y) – 0 | < 


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例2.设f (x, y) =

证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.

  证:由注2知,只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时,函数f (x, y)对应的极限也不同即可.


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y

o

x

考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.

如图

对应函数值


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从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx趋于(0,0)时, 函数极限

当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .

请考察当X = (x, y)沿 x轴, 沿 y轴趋于(0, 0)的情形.


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沿 x轴, y = 0. 函数极限

= 0

沿 y轴, x = 0. 函数极限

= 0

但不能由此断定该二重极限为0 (注2).


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二、二元函数的连续性

定义2

设 z = f (X) = f (x, y), 在区域D上有定义.

X = (x, y) D, X0= (x0, y0) D,

则称 f (X) 在 X0连续, X0称为 f (X) 的连续点.

否则称 f (X) 在 X0间断, X0称为 f (X) 的间断点.


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  若 f (X) 在 D上每一点都连续, 则称 f (X) 在 D 上连续, 记为 f (X)  C (D).

易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)间断(极限不存在),

每一点都间断.


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注:

1.二元函数 f (X)在 X0连续必须满足三个条件. 在 X0 有定义, 在 X0 的极限存在, 两者相等,

定义可推广到三元以上函数中去.

2.多元连续函数的和, 差, 积, 商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.


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3. 多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.所谓多元初等函数是指以 x, y, z, …为自变量的基本初等函数 f (x), (y), g(z), …以及常函数, 经有限次四则运算和复合所构成的函数.

如 f (x) = exy·sin(x2+y),

= e0 ·sin0 = 0.


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4.二元连续函数的几何意义:

定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 "空洞", 没有 "裂缝" 的连续曲面.

这里条件 "D 是一区域" 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.


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z

1

o

y

x

  例.设 D = {(x, y) | x, y均为有理数} R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数,

1, 当(x, y)  D时,

如图

f (x, y) =

无定义, 当(x, y)  D时.

可知,  (x0, y0)  D,

但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.


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有界闭域,

连续,

有界闭域,

连续,

三、有界闭区域上二元连续函数的性质

性质1.

性质2.


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有界闭域,

连续,

性质3.

使 f (X0) = C.

这些定理都可推广到三元以上的函数中去.

问,由性质3是否可得到 "根的存在定理",如何表述?


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例3.

解:

原式 =

= 0 ·1= 0


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例4.

解:

原式 =


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例5.

解:

原式 =


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例5似可用下述方法算.


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从而

… (1)

函数定义域外,

它们不是点(x, y)趋于(0, 0)时的路径.


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则必须包括 x轴

和 y轴这两条路径(在这个函数的定义域内).

应补充讨论: 当 (x, y)沿 x轴(y = 0)趋于(0, 0)时,

… (2)


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当 (x, y) 沿 y轴 (x = 0)趋于(0, 0)时,

… (3)

综合得(1), (2), (3),

问, 是否有


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  提示: 取 yn= kn xn , 当n时, xn 0, kn  1, 且kn 趋于1的速度比xn趋于0的速度快得多.


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初学者在算二重极限时, 容易引出下面算法:

= 0

实质上, 就是

这一方法是否具有普遍性? 即, 是否总有


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四、二次极限

  设 z = f (X) = f (x, y)在区域 D 上有定义, X0 = (x0, y0)为D的内点.

考虑 X = (x, y)沿两条

特殊路径趋近于X0 = (x0, y0)时 f (x, y)的极限.


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y

o

x

(1)先固定 y, 令 x  x0, 即, 让点(x, y)沿平行于 x 轴的直线趋于点 (x0, y) , 然后, 再令 y  y0,

(x, y)

情形相当于下图

(x0, y)

对应的函数极限为

(x0, y0)

称为先对 x , 后对 y 的二次极限.


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y

o

x

(2)先固定 x , 令 y  y0, 即, 让点(x, y)沿平行于 y 轴的直线趋于点 (x, y0) , 然后, 再令 x  x0,

情形相当于下图

(x, y)

对应的函数极限为

(x0, y0)

(x, y0)

称为先对 y , 后对 x 的二次极限.


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由于二次极限是沿特殊路径时的函数极限. 有,

1.二次极限不一定等于二重极限.

= 0

如例2中,

= 0

但二重极限不存在.


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2.两个二次极限不一定相等.

(如二重极限不存在时, 二次极限可能不相等.)

即在很多情形中,

所以, 不能随便交换极限的顺序.


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=

?

=

?


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