1.1 ความหมายของตัวแปรสุ่ม

1. 1.1 ความหมายของตัวแปรสุ่ม จุดเริ่มต้นของตัวแปรสุ่มมาจากการทดลองสุ่ม การทดลองสุ่ม ( Random trial) คืออะไร การทดลองสุ่ม คือ การกระทำที่ไม่รู้ว่าผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นแน่นอนว่าคืออะไร แต่สามารถ บอกได้ว่าผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดมีอะไรบ้าง เช่น โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง เราไม่สามารถบอกได้ว่าลูกเต๋าจะขึ้นแต้มใด แต่เรารู้ว่าแต้มลูกเต๋าที่จะขึ้นทั้งหมดจากการโยนมีแต้ม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ซึ่งผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มเราเรียกว่า “ ปริภูมิตัวอย่าง” เรียกทับศัพท์ว่า “ แซมเปิลสเปซ” (Sample Space) แซมเปิลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เหตุการณ์(Event) คือ สับเซตของแซมเปิลสปซ

2. จงหาแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มต่อไปนี้จงหาแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มต่อไปนี้ 1. สุ่มสินค้า 3 ชิ้นเพื่อตรวจสอบว่ามีสภาพดีหรือชำรุด {ดดด , ดดช , ดชด , ชดด , ดชช , ชดช , ชชด , ชชช} 2. ผลของการทดลองยิงเป้าบิน 4 ครั้ง {ถถถถ , ถถถผ , ถถผถ , ถผถถ ,ผถถถ , ถถผผ ,ถผถผ , ถผผถ , ผถผถ ,ผผถถ, ผถถผ , ถผผผ ,ผถผผ , ผผถผ , ผผผถ , ผผผผ} 3. สุ่มสินค้า 3 ชิ้นเพื่อตรวจสอบว่าจะพบสินค้าชำรุดกี่ชิ้น { 0 , 1 , 2 , 3 } 4. โยนเหรียญเที่ยงตรง 1 อัน 6 ครั้ง เพื่อตรวจสอบว่าเหรียญ จะขึ้นหัวกี่ครั้ง { 0 , 1 ,2, 3 , 4 , 5 , 6 }

3. 5. ทอดลูกเต๋า 2 ลูก {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,6)} 6. ผลรวมแต้มจากการทอดลูกเต๋า 2 ลูก { 2 , 3 , 4 ,5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12} แซมเปิลสเปซในรูปแบบข้อ 3 ข้อ 4 และข้อ 6 คือ ตัวแปรสุ่ม

4. ตัวแปรสุ่ม คืออะไร ฟังก์ชันที่เปลี่ยนเหตการณ์ ทุกเหตุการณ์ ในแซมเปิลสเปซ ให้เป็นตัวเลข การเขียนตัวแปรสุ่ม จะนิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนตัวแปรสุ่ม และใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กแทนค่าของตัวแปรสุ่ม

5. ตัวอย่าง 1. โยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง ให้ X คือ จำนวนหัวที่หงาย X มีค่าใดบ้าง X =จำนวนหัวที่หงายจากการโยนเหรียญ 1เหรียญ 3 ครั้ง = 0 , 1 , 2 , 3 2. โยนลูกเต๋า 2 ลูก ให้ X คือผลรวมแต้มลูกเต๋าทั้งสอง X มีค่าใดบ้าง X = ผลรวมของลูกเต๋า 2 ลูกที่ได้จากการโยนลูกเต๋า 1ครั้ง = 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12

6. 3. นายสันติซื้อตู้เย็นมา 3 ตู้ เพื่อขาย ถ้าตู้เย็นมีตำหนิเขา จะขายขาดทุน 500 บาท ถ้าไม่มีตำหนิเขาจะขาย ได้กำไร 1,500 บาทต่อตู้เย็น 1 ตู้ ให้ X เป็นกำไร ที่นายสันติได้รับ X มีค่าใดบ้าง X = กำไรที่นายสันติได้รับจากการขายตู้เย็น 3 ตู้ = -1,500 , 500 , 2,500 , 4,500

7. 1.2 ชนิดของตัวแปรสุ่ม ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม X มีจำนวนจำกัด , แต่ละค่าแตกต่าง กันอย่างชัดเจน ค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม X ต่อเนื่องกันไป ไม่สามารถบอกค่า ของแต่ละจุดได้ X = 0 , 2 , 3 , 4 , 5 X > 0 X = 0 , 1 , 2 , 3 ...

8. 1.3 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เมื่อ X = x ใช้สัญลักษณ์ f(X) โดย f(X) = P(X = x) นิยาม ฟังก์ชัน f(X) เป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นหรือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ ต่อเนื่อง X ใดๆ สำหรับแต่ละค่า x มีคุณสมบัติดังนี้ 1. f(X) > 0 สำหรับทุกค่าของ x 2. = 1 หรือ = 1

9. ตัวอย่าง โยนเหรียญเที่ยงตรง 2 อัน 1 ครั้ง ถ้า X คือ จำนวนก้อยที่หงาย จงคำนวณฟังก์ชันความ น่าจะเป็นของ X ให้ X = จำนวนก้อยที่หงายจากการโยนเหรียญ 2 อัน 1ครั้ง วิธีทำ = 0 , 1 ,2 xi 0 1 2 0.25 0.25 0.50 P(X = xi)

10. ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X คือ f(X) = P(X = xi) = 0.25 เมื่อ xi = 0 ,2 = 0.50 เมื่อ xi = 1

11. ต้องการสุ่มเลือกตัวแทน 4 คน จากชาย 5 คน หญิง 4 คนแบบไม่คืนที่ ถ้า X คือจำนวนหญิง ที่สุ่มได้ ตัวอย่าง จงหา ก. ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X ข. ค่าของ P(X > 2) วิธีทำ ให้ X = จำนวนหญิงที่สุ่มได้ = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 n(S) จำนวนวิธีทั้งหมดในการสุ่มคน 4 คนจาก 9 คน = 4 - xiคน ถ้าสุ่มหญิงได้ xiคน จะสุ่มได้ชาย จำนวนวิธีสุ่มหญิง xiคนจากหญิง 4 คน และสุ่มชาย 4 -xiคนจากชาย 5 คนได้ = n(E)

12. f(X) = P(X = xi) ก. ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ เมื่อ xi = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 = ข.หาค่าของ P( X 2) > = P(X = 2) + P(X= 3) + P(X = 4) =

13. = = 0.6429 = นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่สุ่มได้ตัวแทนหญิง อย่างน้อย 2 คน = 0.6429

14. 1.4 ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง มีค่าเป็น x1 , x2 , x3 , … , xN และฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X เมื่อ X มีค่าเป็น x1 , x2 , x3 , … , xNคือ f(x1) , f(x2) , f(x3),…,f(xN) ตามลำดับ ค่าคาดคะเน(expected value) ของ X คือ นิยาม E(X) =

15. E(X) ค่าคาดคะเนของ X ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ X ในการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 1 ลูก 1 ครั้ง คาดว่า ลูกเต๋าจะหงายแต้มใด ตัวอย่าง ให้ X = แต้มของลูกเต๋าที่หงาย วิธีทำ = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X คือ 1 f(X) = โดยที่ X= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 6

16. E(X) = + (5) = (1) + (2) + (3) + (4) + (6) = ( 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5 (21) = นั่นคือ คาดว่าลูกเต๋าจะหงายแต้ม 3.5 หรือ โดยเฉลี่ยแต้มของลูกเต๋าที่หงายเท่ากับ 3.5

17. ตัวอย่าง ถ้าจำนวนอุบัติเหตุที่เกิดขึ้นต่อวัน ในเมืองหนึ่ง เป็น 0 , 1 , 2 , 3 ,หรือ 4 ด้วยความน่าจะเป็น 0.6 , 0.21 0.16 , 0.02 และ 0.01 ตามลำดับ จำนวนอุบัติเหตุโดย เฉลี่ยจะเป็นเท่าไร ให้ X= จำนวนอุบัติเหตุที่เกิดต่อวันในเมืองหนึ่ง วิธีทำ = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของ X เป็นดังนี้ xi 0 1 2 3 4 f(X) 0.6 0.21 0.16 0.02 0.01

18. ดังนั้น E(X) = = (0)(0.6) + (1)(0.21) + (2)(0.16) + (3)(0.02)+ (4)(0.01) = 0.63 นั่นคือ คาดว่าจำนวนอุบัติเหตุในเมืองนี้ เกิดขึ้น โดยเฉลี่ยวันละ 0.63 ครั้ง

19. ตัวอย่าง มีหลอดไฟอยู่ 12 หลอด ในจำนวนนี้มีหลอดไฟ ที่เสียอยู่ 3 หลอด สุ่มหยิบหลอดไฟขึ้นมา 3 หลอด จง ประมาณจำนวนหลอดไฟที่เสียที่สุ่มได้แต่ละครั้ง ให้ X = จำนวนหลอดไฟเสียที่สุ่มหยิบขึ้นมาได้ วิธีทำ = 0 , 1 , 2 , 3 ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X คือ , xi = 0 ,1 , 2 , 3 f(X) =

20. การแจกแจงความน่าจะเป็นของ X เป็นดังนี้ xi 0 1 2 3 f(X) = P(X = xi) ดังนั้น E(X) = = (0)( ) + (1)( ) +(3)( ) + (2)( ) = 0.75 = นั่นคือ คาดว่าจะสุ่มหยิบได้หลอดไฟเสียครั้งละ 0.75 หลอด

21. กฎของค่าคาดคะเน ก. ถ้า a เป็นค่าคงตัว E(a) = a เช่น E(5) = 5 ข. ถ้า a เป็นค่าคงตัว E(aXk) = aE(Xk) เช่น E(3X) = 3E(X) E(-2X3) = -2E(X3) ค. ถ้า y เป็นฟังก์ชันของ X คือ y = g(X) E(y) = E[g(X)] = เช่น E(3X+2) =

22. ง. ถ้า y และ z เป็นฟังก์ชันของ X E(y + z) = E(y) + E(z) , E(y - z) = E(y) -E(z) ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มและ E(X) = 3 , E(X2) = 25 ตัวอย่าง จงหาค่าของ ก. ค่าเฉลี่ยของ 2X + 4 ค่าเฉลี่ยของ 2X + 4 คือ = E(2X + 4) = E(2X) + E(4) = 2E(X) + 4 = (2)(3) + 4 = 10

23. ข. E[X - E(X)]2 = E(X - 3)2 = E(X2 - 6X + 9) = E(X2) + E(9) - E(6X) เราจะต้องมี พยายาม + 9 - 6E(X) = E(X2) = 25 - (6)(3) + 9 = 16 เราจะต้องค้นคว้า เพิ่มเติม

24. 1.5 ค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง และ นิยาม ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X เมื่อ X มีค่า x1 , x2,x3,…, xNคือ f(x1) ,f(x2),f(x3),…,f(xN) ตามลำดับ ค่าความแปร ปรวนของ X คือ = E[X - E(X)]2 = - = E(X)2 หรือ

25. ในการเลือกตัวแทน 3 คน จากชาย 4 คน หญิง ตัวอย่าง 3 คน โดยการสุ่ม จงหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ จำนวนชายที่ได้รับเลือกเป็นตัวแทน ให้ X = จำนวนชายที่ได้รับเลือกเป็นตัวแทน วิธีทำ = 0 , 1 , 2 , 3 ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของ X คือ f(X) = , xi = 0 , 1 , 2 , 3

26. การแจกแจงความน่าจะเป็นของ X เป็นดังนี้ xi 0 1 2 3 f(X)=P(X=x) จาก = และ E(X) = = (0)( ) +(1)( ) +(2)( ) +(3)( ) 60 12 = = = 1.71 35 7

27. = = (0 - )2( ) + (1 - )2( ) + (2 - )2( ) + (3 - )2( ) = = 0.49 = นั่นคือ ในการสุ่มเลือกตัวแทน 3 คน คาดว่าจะได้ ตัวแทนชาย 1.71 คน โดยมีความแปรปรวน 0.49 คน2

28. - = E(X2) จากสูตร 12 144 = ( )2 = 7 49 = (02)( ) +(12)( ) E(X2) = +(22)( ) + (32)( ) 120 0+12+72+36 = = 35 35 120 144 = - 49 35 840 5,880-5040 = = 1,715 1,715

29. กฎของความแปรปรวน 1. ถ้า a เป็นค่าคงตัว ค่าความแปรปรวนของ a คือ = 0 2. ถ้า a เป็นค่าคงตัว ค่าความแปรปรวนของ ax คือ = a2 3. ถ้า a และ b เป็นค่าคงตัวแล้ว = a2

30. ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มและค่า = 10 ตัวอย่าง จงคำนวณ ก) ข) ก) = = 22 วิธีทำ = 40 = (4)(10) ข) = 32 = = 90 = (9)(10)

31. การแจกแจงความน่าจะเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็น ของตัวแปรสุ่ม ชนิดไม่ต่อเนื่อง

32. เนื้อหา การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่จะ ศึกษาในบทเรียนนี้มี 4 แบบ คือ 1 การแจกแจงเสมอต้นเสมอปลาย (ยูนิฟอร์ม) 2 การแจกแจงทวินาม 3 การแจกแจงไฮเพอร์ยีออเมตริก 4 การแจกแจงปัวส์ซง 5 การแจกแจงปกติ เป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่อง

33. การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง 1. การแจกแจงเสมอต้นเสมอปลาย Uniform Distribution 2. การแจกแจงทวินาม ( Binomial Distribution) 3. การแจกแจงไฮเพอร์ยีออเมตริก Hypergeometric Distribution 4. การแจกแจงปัวส์ซง (Poisson Distribution)

34. สิ่งที่ต้องศึกษา 1. รูปทั่วไปของฟังก์ชันการแจกแจงความน่า จะเป็นของตัวแปรสุ่ม 2. ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

35. 1. การแจกแจงเสมอต้นเสมอปลาย การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ซึ่งแต่ละค่ามีความน่าจะเป็นเท่ากันหมด ฟังก์ชันของความน่าจะเป็น คือ f (X; k) = ; X = x1 , x2 , x3 , … , xk

36. ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงคือค่าเฉลี่ยของการแจกแจงคือ ความแปรปรวนของการแจกแจง คือ

37. ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ให้ X เป็นแต้ม ที่ได้ จงเขียนฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของ X และหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจง ให้ X = แต้มที่ได้จากการทอดลูกเต๋า1ลูก 1ครั้ง วิธีทำ = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ตารางแจกแจงความน่าจะเป็นของ X คือ Xi 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 f(X)=P(X=xi) 1/6

38. X มีการแจกแจงเสมอต้นเสมอปลาย โดยมีฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น คือ f(X ; 6) = 1/6 ; X = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงคือ = (1/6)(21) = (1/6)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5 คาดว่าในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ลูกเต๋าจะขึ้นแต้ม 3.5

39. ความแปรปรวนของการแจกแจงคือความแปรปรวนของการแจกแจงคือ = (1/6)[(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3 -3.5)2+(4 -3.5)2 +(5 - 3.5)2+(6-3.5)2] = (1/6)(6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 ) = 2.9166 = (1/6)(17.5) คาดว่าในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ลูกเต๋าจะขึ้นแต้ม 3.5 โดยมีความแปรปรวนเท่ากับ 2.92

40. 2.การแจกแจงทวินาม Binomial Experiment โยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง โยนเหรียญ 1เหรียญ 1ครั้ง ความสำเร็จ แต้มเหมือนกัน ขึ้นหัว การทดลองแบบแบร์นูลลี แต้มต่างกัน ขึ้นก้อย ความไม่สำเร็จ

41. ลักษณะทั่วไปของการแจกแจงทวินาม 1. การทดลองประกอบด้วยการกระทำซ้ำๆกัน n ครั้ง 2. การกระทำแต่ละครั้งผลที่เกิดขึ้นมี 2 อย่าง คือ ความสำเร็จ และความไม่สำเร็จ 3.ความน่าจะเป็นของความสำเร็จที่เกิดขึ้นจากการ กระทำแต่ละครั้ง มีค่าคงที่เท่ากับ pและความน่า จะเป็นของความไม่สำเร็จเท่ากับ qโดยที่p + q = 1 4. การกระทำแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน

42. นิยามตัวแปรสุ่ม X แสดงจำนวนครั้งของความสำเร็จ ที่เกิดจากการกระทำ nครั้งในการทดลองทวินามเรียก X ว่า ตัวแปรสุ่มทวินาม การแจกแจงความน่าจะเป็นของ X เรียกว่า การแจกแจงทวินาม เขียนแทนด้วย b(X;n,p) เพื่อ แสดงว่าการแจกแจงนี้ขึ้นกับการกระทำ n ครั้ง และความ น่าจะเป็นของความสำเร็จที่เกิดขึ้นจากการกระทำแต่ละ ครั้ง pในกรณีที่ X เป็นตัวแปรสุ่มทวินาม ซึ่งมีการแจก แจง b(X ; n,p) ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X เมื่อ X= x คือ b(X;n,p) = f(x) = เมื่อ x = 0 , 1 , 2 , …,n

43. ดำรงทำข้อสอบแบบปรนัย 5 ข้อ แต่ละข้อ มีคำตอบให้เลือก 4 คำตอบ ดำรงตอบโดยการเดาทุกข้อ จงหาความน่าจะเป็นที่ดำรงจะสอบผ่าน โดยเขาต้องทำถูกอย่างน้อย 3 ข้อ ตัวอย่าง ให้ X = จำนวนข้อสอบที่ดำรงตอบถูกจากการทำข้อสอบ 5 ข้อ วิธีทำ = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 n = 5 , p = 0.25 X มีการแจกแจงแบบทวินามโดยมี ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ x คือ f(X) =b(X ; 5 ,0.25) = เมื่อ xi = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,5

44. หาความน่าจะเป็นที่ดำรงสอบผ่านโดยต้องตอบถูกหาความน่าจะเป็นที่ดำรงสอบผ่านโดยต้องตอบถูก อย่างน้อย 3 ข้อ คือหา P(X> 3) P(X> 3) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) = f(3)+ f(4)+f(5) = (0.0087890625) + (0.0029296875) = + (1)(0.0009765625) = (10)(0.0087890625)+(5)(0.0029296875)+ 0.0009765625 = 0.087890625 + 0.0146484375 + 0.0009765625 = 0.10352125 ความน่าจะเป็นที่ดำรงจะสอบผ่านเท่ากับ 0.1035 = 10.35 %

45. ตัวอย่าง นิดาเป็นตัวแทนบริษัทประกันชีวิตแห่งหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่นิดาจะขายประกันได้จากครอบครัวที่เธอ ไปพบเท่ากับ 0.6 ถ้าวันนี้เธอตั้งใจจะไปพบ 5ครอบครัว จงหาความน่าจะเป็นที่เธอจะขายประกันได้ 3 ครอบครัว ให้ X= จำนวนครอบครัวที่นิดาขายประกันได้ วิธีทำ = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 X มีการแจกแจงแบบทวินามโดยมี n = 5 , p = 0.6 ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X คือ f(X) = b(X ; 5 , 0.6) = เมื่อ xi = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

46. หาความน่าจะเป็นที่นิดาขายประกันได้ 3 ครอบครัว คือ หา P(X = 3) P(X = 3) = f(3) = (0.216)(0.16) = = (10)(0.03456) = 0.3456 นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่นิดาขายประกันได้ 3 ครอบครัว เท่ากับ 0.3456 = 34.56%

47. การหาความน่าจะเป็นทวินามโดยใช้ตารางการหาความน่าจะเป็นทวินามโดยใช้ตาราง ตัวอย่าง ยางรถยนต์ 100 เส้น ที่ส่งออกสู่ตลาดจาก โรงงานแห่งหนึ่งทราบว่ามีชำรุด 20 เส้น สุ่มเลือกยาง นี้มา15 เส้นเพื่อตรวจสอบสภาพโดยสุ่มเลือกทีละเส้น แบบคืนที่ก่อนหยิบเส้นต่อไป จงหาความน่าจะเป็นที่ จะได้ยางชำรุด 1) 1 เส้น 2) อย่างมาก 2 เส้น 3) อย่างน้อย 1 เส้น 4) ตั้งแต่ 2 ถึง 4 เส้น

48. วิธีทำ ให้ X = จำนวนยางชำรุดที่สุ่มได้จากการสุ่มยางมาตรวจ 15 เส้น = 0 , 1 , 2 , 3 , … ,15 X มีการแจกแจงแบบทวินาม โดยมี n = 15 = 0.2 = มี p คือความน่าจะเป็นที่สุ่มได้ยางชำรุด ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X คือ f(X) = b(X ;15 ,0.2) = เมื่อ x = 0,1,2,…,15 1. หาความน่าจะเป็นที่ได้ยางชำรุด 1 เส้น คือ หา P(X = 1) = 0.1319 (ดูตารางที่ 2 n = 15 , x = 1 ,P = 0.2)

49. 2. หาความน่าจะเป็นที่ได้ยางชำรุดอย่างมาก 2 เส้น คือ หา P (X < 2) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) = 0.0352 + 0.1319 + 0.2309 = 0.3980 หรือ P(X < 2) = = 0.3980 ดูตารางที่ 2-1 ที่ n = 15 , P = 0.2 , r = 2

50. 3. หาความน่าจะเป็นที่ได้ยางชำรุดอย่างน้อย 1 เส้นคือ 1- P(X = 0) = 1 - 0.0352 = 0.9648 หาP(X > 0) = 4. หาความน่าจะเป็นที่ได้ยางชำรุดตั้งแต่ 2 ถึง4 เส้นคือ P(X = 2 ) + P(X = 3) + P(X = 4) P( 2 < X < 4 ) = + 0.1876 = 0.2309 + 0.2501 = 0.6686 โอ้! ง่ายจัง