Primijenjena matematika

Primijenjena matematika Damir Krstinic damir.krstinic@fesb.hr

Diskretna statistička obilježja • Neka je zadan niz statističkih podataka x1,x2,...,xn i neka su a1,a2,...,ar međusobno različite vrijednosti tog statističkog niza. • Svaka od vrijednosti a1,a2,...,ar se u nizu pojavljuje s frekvencijom f1,f2,...,fr Ovako organizirani podaci lako se prikazuju tablično i grafički.

Relativne frekvencije • Za različite vrijednosti a1,a2,...,an s pripadnim frekvencijama f1,f2,...,fn, relativne frekvencije definiramo kao f1/n,f2/n,...,fn/n. • Ukupan broj podataka u nizu jednak je

Aritmetička sredina i varijanca • Aritmetičku sredinu niza definiramo sa • Disprezija ili varijanca statističkog niza je • Standardna devijacija statističkog niza je

Primjer 1 • Broj glavica kupusa po beraču kupusa dan je nizom statističkih podataka: 3, 5, 3, 0, 3, 0, 5, 4, 6, 3, 4, 6, 3, 5, 3, 4, 1, 0, 3, 4, 5, 6, 3, 0, 3, 0, 4, 1, 2, 0, 3, 4, 5, 3, 3, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 2, 1, 5 • Tabličnim prikazom podataka olakšavamo računanje numeričkih karakteristika niza

Tablični prikaz

Proračuna parametara stat. niza • Iz tablice računamo:

Proračun korištenjem Matlaba • Podatke unosimo u Matlab. • Za obradu podataka pišemo funkciju koja računa pripadne frekvencije za međusobno različite vrijednosti statističkog niza

ak, fk function [a,f]=af(x) x=sort(x); j=1; a(1)=x(1); f(1)=1; for k=2:size(x,2) if x(k)==x(k-1) f(j)=f(j)+1; else j=j+1; a(j)=x(k); f(j)=1; end end

Parametri niza • Nakon proračuna frekvencija, računamo parametre niza x=[3 5 3 0 3 0 5 4 6 3 4 6 3 5 3 4 1 ... 0 3 4 5 6 3 0 3 0 4 1 2 0 3 4 5 3 ... 3 2 3 4 5 6 4 3 2 4 2 1 3 4 5 6 4 ... 3 4 2 1 5 ]; [a,f]=af(x); n=sum(f) sv=a*f’/n d=(a.^2)*f’/N-sv^2 sd=sqrt(d)

Grafički prikaz • Izračunate podatke moguće je grafički prikazati: plot(a,f)

Kontinuirana statistička obilježja • Neka je zadan niz od n statističkih podataka x1,...,xn kontinuiranog statističkog obilježja. • Podatke svrstavamo u razrede[a0,a1),...,[ar-1,ar]širinac, sa ritmetičkim sredinama razredas1,...,sn. • Ako frekvencije razreda označimo redom sa f1,..,fn, a pripadne relativne frekvencije sa r1,...rn, podatke možemo pregledno prikazati

Primjer 2 • Mjerena je težina glavica kupusa, pri čemu su dobiveni sljedeći podaci: 5.22, 3.03, 2.81, 4.23, 2.67, 1.90, 3.97, 5.65, 5.44, 4.57, 3.89, 3.60, 3.85, 2.52, 2.14, 3.97, 4.98, 2.70, 2.09, 4.22, 2.54, 5.06, 4.33, 2.94, 3.47, 4.24, 3.59, 2.83, 4.58, 3.15 • Podatke organiziramo u r=5 razreda i računamo numeričke karakteristike niza

Parametri niza • Uočavamo da je najmanja vrijednost u nizu 1.90, a najveća 5.65 • Kako imamo 5 razreda, njihova širina je c=(5.65-1.90)/5=0.75

Računanje korištenjem Matlaba • Definiramo funkciju sfc(x,r) koja podatke svrstava u zadani broj razreda x=[5.22 3.03 2.81 4.23 2.67 1.90 3.97 5.65 ... 5.44 4.57 3.89 3.60 3.85 2.52 2.14 3.97 ... 4.98 2.70 2.09 4.22 2.54 5.06 4.33 2.94 ... 3.47 4.24 3.59 2.83 4.58 3.15]; [s,f,c] = sfc(x,5); n=sum(f) sv=s*f’/n d=(s.^2)*f’/n-sv^2 sd=sqrt(d)

Grafički prikaz • Podatke prikazujemo grafički plot(s,f) bar(s,f)

Binomna razdioba • Za binomnu razdiobu s parametrima karakteristično je da su vrijednosti ak-ova 0,1,...,n. • Ako je X slučajna varijabla distribuirana po binomnoj razdiobi, onda je vjerojatnost da ona poprimi određenu vrijednost k (k=0,1,2,...,n):

Primjer 3 • Rezultati natjecanja u ispijanju piva dani su u tablici. Zbog sigurnosti natjecatelja, maksimalan broj ispijenih piva ograničen je na 10. Rezultate prilagodite binomnoj razdiobi.

Rešenje: a=0:8 f=[2 3 5 15 18 10 11 4 3] N=sum(f) n=10 sv=a*f’/N p=sv/n ft=round(N*binomna(n,p,a))

Poissonova razdioba • Kod Poissonove razdiobe, vrijednosti ak su svi prirodni brojevi i nula. • Ako jeXslučajna varijabla distribuirana po Poissonovoj razdiobi s parametroml>0 (l=sv), onda je vjerojatnost da ona poprimi vrijednost k dana sa:

Primjer 4 • Skupina iračkih gerilaca natječe se u gađanju Američkih vojnika. Rezltate natjecanja u broju pogođenih Amerikanaca, dane u tablici, prilagodi Poissonovoj razdiobi.

Rješenje a=0:13 f=[36 101 150 221 312 236 151 88 32 14 6 3 1 1] N=sum(f) sv=a*f '/N ft=round(N*poisson(sv,a)) Rezultat: ft = 23 93 190 259 264 215 146 85 43 20 8 3 1 0

Grafički prikaz rezultata plot(a,f,a,ft,’--’)

Normalna razdioba • Kod normalne razdiobe podaci mogu poprimiti bilo koju realnu vrijednost. • Ako jeXslučajna varijabla distribuirana po normaalnoj razdiobi s parametrimamis2, onda je njeno očekivanjeEX=m, a disperzija (varijanca)DX=VarX=s2

Primjer 5 • Mjerenjem pogreške serije dubinomjera, ustanovljeno je da greška varira između –2 i 0.5m. Podatke grupirane u 5 razreda, dane u tablici, prilagodi normalnoj razdiobi.

Rješenje – parametri razdiobe c=0.5 dg=-2:c:0 gg=dg+c f=[5 10 20 8 3] s=(dg+gg)/2 N=sum(f) sv=s*f’/N d=(s.^2)*f’/N-sv^2 sd=sqrt(d)

Teorijske frekvencije • Aritmetičku sredinu sv interpretiramo kao očekivanje m, a sd kao standardnu devijaciju s. • Teorijske frekvencije računaju se prema:

Računanje teoretskih frekvencija • Jednorenu matricu (vektor) teoretskih frekvencija u matlabu računamo naredbom: ft=N*c/sd/sqrt(2*pi)*exp(-((s-sv)/sd).^2 /2) ft=round(ft)

Primijenjena matematika