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Juros Compostos

Juros Compostos. Quando uma pessoa sente necessidade de dinheiro: Empregado : vai automaticamente procurar emprego Autônomo : vai freq ü entemente fazer algo s ó Dono : vai criar ou comprar um sistema que produz dinheiro

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Presentation Transcript

  1. Juros Compostos Quando uma pessoa sente necessidade de dinheiro: Empregado: vai automaticamente procurar emprego Autônomo: vai freqüentemente fazer algo só Dono: vai criar ou comprar um sistema que produz dinheiro Investidor: vai procurar uma oportunidade de investir num ativo que produza dinheiro

  2. Valores Futuros ou Montante Na aula anterior vimos que: Valor Futuro ou Montante– Quantia para a qual um investimento crescerá após receber juros. Juros Compostos – Juros ganhos sobre o total (montante) a cada período. Juros Simples – Juros ganhos somente sobre o investimento original.

  3. Valores Futuros ou Montante Exemplo – Juros Simples Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre um principal de $100. Juros Ganhos Por Ano = 100 x .06 = $ 6

  4. Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100.

  5. Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 12345 Juros Ganhos Valor 100

  6. Valores Futuros Exemplo – Juro Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 12345 Juros Ganhos 6 Valor 100 106

  7. Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 12345 Juros Ganhos 6 6 Valor 100 106 112

  8. Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 12345 Juros Ganhos 6 6 6 Valor 100 106 112 118

  9. Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 12345 Juros Ganhos 6 6 6 6 Valor 100 106 112 118 124

  10. Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 12345 Juros Ganhos 6 6 6 6 6 Valor 100 106 112 118 124 130 Valor no fim do Ano 5 = $130

  11. Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

  12. Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Juros Ganhos Por Ano = Saldo do Ano Anterior x .06

  13. Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros1 2 34 5 Juros Ganhos Valor 100

  14. Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6.00 Valor 100 106.00

  15. Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros1 2 34 5 Juros Ganhos 6.00 6.36 Valor 100 106.00 112.36

  16. Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros 1 2 34 5 Juros Ganhos 6.00 6.36 6.74 Valor 100 106.00 112.36 119.10

  17. Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros 1 2 345 Juros Ganhos 6.00 6.36 6.7 7.15 Valor 100 106.00 112.36 119.10 126.25

  18. Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do anoanterior. Hoje Anos Futuros 1 2 34 5 Juros Ganhos 6.00 6.36 6.74 7.15 7.57 Valor 100 106.00 112.36 119.10 126.25 133.82 Valor no final do Ano 5 = $133.82

  19. Pagamentos Simples x Série Uniforme Como dissemos anteriormente no sistema de Juros Compostos, os juros vão acumulando-se ao capital e rendendo juros também no período seguinte. É o que chamamos de juros sobre juros. Existem duas formas de capitalização composta: Pagamento Simples e Série Uniforme

  20. Pagamento Simples Uma única aplicação e um único montante. O dinheiro foi rendendo juros sobre juros durante a aplicação.

  21. Série Uniforme Várias aplicações (ou retiradas) iguais que foram se acumulando (ou sacadas).

  22. Juros Compostos – Pagamentos Simples Vamos inicialmente estudar os Juros Compostos sob o regime de capitalização simples

  23. FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL – FACPagamento Simples PROBLEMA: Determinar a quantia VFque seria obtida pela aplicação do principalVP, à taxa de juro i, durante n períodos. Ou seja, qual o montante VF acumulado a partir do principal VP? Qual o Valor Futuro dado o Valor Presente?

  24. FÓRMULA: Investindo VP a taxa i, tem-se: ao final do primeiro período: VP + i VP = VP(1 +i) ao final do segundo período: [VP(1 + i)] (1 + i) = VP (1 + i)2 e, assim. sucessivamente, teremos: VF: montante no regime de juros compostos, também representado por FV (Future Value) VP: principal ou capital inicial, também representado por PV (Present Value) (1 + i)n : fator de acumulação de capital, também representado por FAC’(n,i).

  25. Valores Futuros ou Montante Exemplo - VF Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente à taxa de 6% por cinco anos?

  26. Valores Futuros Exemplo - VF Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente à taxa de 6% por cinco anos?

  27. Valores Futuros com Composição Taxas de Juros

  28. Exemplo 1 • Aplico R$ 1.000,00, por 10 anos a juros de 5% a . a .Quanto terei no final? SOLUÇÃO VP = R$ 1.000,00 i = 5% = 5/100 = 0.05 n = 10 VF = VP (1 + i)n = 1000 (1 + 0,05)10 = 1000 (1,05)10 = 1000 (1,629) = 1.629 ou R$ 1.629,00 10 Na HP-12C F FIN f 2 1000 CHS PV 5 i 10 n FV

  29. Exemplo 2 Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$ 1.000,00 a 2,5% ao mês, capitalizável mensalmente? SOLUÇÃO Pela FÓRMULA VP = R$ 1.000,00 i = 2,5% a.m. n = 12 meses VF = VP (1 + i)n = 1.000,00 (1 + 0,025)12 = 1.000,00 (1,025)12 = 1.345,00 Na HP-12C teremos: 1.344,49

  30. Exemplo 3 Qual o juro devido a um capital de R$ 1.000,00, colocado a juros compostos na taxa de 5,5% a . a . por um prazo de 10 anos? SOLUÇÃO O que se quer é o rendimento produzido por um capital em determinado tempo. J = VF - VP ou seja J = Valor Futuro (VF) - Valor Presente (VP) J = [1.000 (1 + 0,055)10 ] - 1.000 = [1.000 (1,055)10] - 1.000 = [1.000 (1,7081)] -1.000 = 1.708,10 - 1.000 = 708,10J = R$ 708,10

  31. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resp:- R$ 40.317,49 2. Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. Resp:- 66.671,81 3. Calcule o montante de R$ 50.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. Resp:- R$ 54.654,17 4. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês.Resp:- R$ 9.237,24 5. Calcule o valor futuro de um capital de R$ 75.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 2 % ao mês, no fim de 6 meses. Resp:- R$ 88.257,63 6. Qual o VF produzido por R$ 12.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? Resp:- R$ 26.496,48

  32. Venda da Ilha de Manhattan Peter Minuit comprou dos índios a Ilha de Manhattan por $24 em 1626, pagando com mercadorias e quinquilharias. Este foi um bom negócio? Para responder, determine quanto vale aqueles $24 no ano de 2003, composto a 10%. OBS – Isto é muito dinheiro. Daria para comprar os Estados Unidos todo. Com o troco, daria ainda para comprar o resto do mundo!.

  33. Venda da Ilha de Manhattan Embora divertida, na verdade essa análise é um tanto enganosa. Primeiro, a taxa de juros de 10% que usamos para comparar valores futuros é bastante alta com relação aos padrões históricos. A uma taxa de juros de 3,5% a.a., mais consistente com a experiência histórica, o valor futuro dos $ 24 seria drasticamente mais baixo, apenas $ 24 x(1,035)377 = $10.297.294, ou seja 10 bilhões de dólares! Segundo, nós subestimamos os retornos para o Sr. Minuit e seus sucessores:ignoramos toda a renda proveniente de aluguel que as terras da ilha têm gerado nos últimos três ou quatro séculos. Considerando tudo, se estivéssemos vivos em 1626, teríamos pago os $24 mpela ilha com muito prazer.

  34. Sobre o Peter Minuit Suponhamos que Peter Minuit não tivesse se tornado o primeiro magnata imobiliário de Nova Iorque, mas que em vez disso tivesse investido seus $ 24 a uma taxa de juros de 5% a.a. no Banco Econômico de Nova Amsterdã. Quanto ele teria de saldo em sua conta de pois de 5 anos? E de 50 anos? 5 anos ......$ 30,63 50 anos.....$ 275,22 Imóveis são excelentes investimentos a longo prazo!

  35. FATOR DE VALOR ATUAL - FVA PROBLEMA: Determinar a quantia VP que deve ser investida, a juros i, para que se tenha o montante VFapós n períodos de capitalização, ou seja, determinar o valor atual de VF. Qual o Valor Presente (ou Atual) dado o Valor Futuro?

  36. FATOR DE VALOR ATUAL - FVA

  37. Exemplo 1 Qual o capital que, aplicado a 10% ao semestre , capitalizado semestralmente, produz o montante de R$ 1.331,00 após 3 semestres?SOLUÇÃO VP = ? VF = R$ 1.331,00 n = 3 semestres i = 10% a . s. = 0,1 ao semestre Pela FÓRMULA: VP = VF/(1+i)n = 1331/(1+0,1)3 = 1331/1,331 = 1331*0,751315 = 1000 VP = R$ 1.000,00

  38. Exemplo 2 Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 320,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 404,90 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? SOLUÇÃO VP = R$ 320,00 VF = R$ 404,90 n = 6 i = ? Pela FÓRMULA: VP = VF/(1+i)n 320 = 404,90/(1+i)6 320(1+i)6 = 404,90  (1+i)6 = = 1,26531  (1+i)6 = 1,26531  1+i =(1,26531)1/6i = (1,26531)1/6 - 1 i = (1,26531)0.167– 1  i = 1,040 -1 =0,040 Sempre podemos calcular i, usando a expressão

  39. Exemplo 3 Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. SOLUÇÃO Pela FÓRMULA: VF = R$ 22.125,00 VP = R$11.000,00 i = 15% a .s. n = ? VP = VF/(1+i)n 11000 = 22125/(1+0,15)n (1,15)n = 22125/11000  1,15n = 2,01136 Devemos agora aplicar LOG em ambos os lados da igualdade, assim: log 1,15n = log 2,01136  n log 1,15 = log 2,01136. Mas, log 1,15 = 0,06070 e log 2,01136 = 0,30349. Então, n = 0,30349/0,06070 = 4,999 semestres ou n = 5 semestres ou 2 anos e 6 meses.

  40. EXEMPLO EXTRA Em 1995, a Coca-Cola precisou tomar quase um quarto de bilhão de dólares emprestado por 25 anos. Ela fez isso vendendo IOU*, cada uma simplesmente prometendo pagar $1.000 ao portador no final de 25 anos. A taxa de juros do mercado naquela época era de 8,53%. Quanto você estaria disposto a pagar por uma IOU da empresa? * IOU = I Owe You = “Eu Devo a Você”. É o apelido das OBRIGAÇÕES (ou BONDS), onde os investidores recebem um pagamento regular de juros ou um cupom. As IOU da Coca-Cola fará apenas um único pagamento no final do ano 25. Portanto, era chamada de uma obrigação de cupom zero. Falaremos mais sobre Obrigações em capítulos posteriores.

  41. SOLUÇÃO Para calcular o valor presente, faremos: Este é o maior valor que poderíamos pagar hoje por uma IOU da Coca-Cola!!!

  42. Mais um pouco sobre a IOU da Coca-Cola Suponhamos que a Coca-cola tivesse prometido pagar $ 1.000 ao final de 10 anos. Se a taxa de juros do mercado fosse de 8,53%, quanto você estaria disposto a pagar por uma IOU de $ 1.000 por 10 anos? 10 anos.......$ 441,06

  43. EXTRA - Calculando o valor de uma promoção A Canguru Autos está oferecendo uma promoção para os carros de $ 10.000. Você paga $ 4.000 de entrada e o saldo no final de 2 anos. A loja ao lado, a Tartaruga Motors, não oferece essa facilidade, mas desconta $ 500 do preço de tabela. Se a taxa de juros for de 10%, qual das empresas está oferecendo o melhor negócio?

  44. SOLUÇÃO Observe que você pagará mais no total se comprar da Canguru, mas , como parte do pagamento é adiado, você poderá guardar esse dinheiro no banco, onde continuará a render juros. Para comparar as duas ofertas, você precisa calcular o valor presente dos pagamentos para a Canguru. O diagrama de fluxo de caixa a seguir, mostra os pagamentos em dinheiro para a Canguru.

  45. SOLUÇÃO cont. 6.000 4.000 O primeiro pagamento, de $ 4.000, ocorre hoje. O segundo pagamento, de $ 6.000, ocorrerá no final de 2 anos. Portanto, o valor presente do total dso pagamentos da Canguru é de:

  46. SOLUÇÃO cont. Suponhamos que você comece com $ 9.958,68. Você dá uma entrada de $ 4.000 para a Canguru Autos e investe o saldo de $ 4.958,68. A uma taxa de juros de 10%, isso crescerá durante os próximos 2 anos para $ 6.000, exatamente o que você precisa para fazer o pagamento final de seu automóvel. O custo total de $ 8.958,68 é melhor negócio do que os $9.500 cobrados pela Tartaruga Motors.

  47. Valores Presentes Valor Presente Valor hoje de um fluxo de caixa futuro. Fator de Desconto Valor presente de um pagamento futuro de $1. Taxa de Desconto Taxa de juro usada para calcular valores presentes de fluxos de caixa futuros.

  48. Aplicações A fórmula VP tem muitas aplicações. Dadas 3 variáveis na equação, você pode encontrar a variável restante.

  49. Aplicações Propaganda Enganosa! Recentemente, alguma empresas têm dito coisas como “Venha experimentar nosso produto. Se vier, lhe daremos $ 100 apenas por ter vindo!” Se você ler as letras miúdas, descobrirá que eles lhe darão um certificado de poupança que lhe pagará $ 100 daqui a 25 anos ou coisa parecida. Se a taxa de juros de tais certificados for 10% a.a., quanto você iria realmente receber hoje?

  50. Economizando para cursar a Faculdade Você precisará por volta de $ 80.000 para enviar seu filho à universidade daqui a 8 anos. Hoje você tem $ 35.000. Qual a taxa de juros para alcançar este objetivo a partir dos $ 35.000?

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