第 3 章

第 3 章 敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6)

分配的形狀 • 分配形狀的重要數值衡量則是偏度(skewness)。 • 計算偏度的公式有些複雜。 • 衡量樣本的偏度公式是： • 但是若以統計軟體來計算，則是輕而易舉。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第103頁

分配的形狀 • 對稱 (不偏) • 偏度為 0 。 • 對稱分配的平均數及中位數是相等的。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第103-104頁圖3.3

分配的形狀 • 適度左偏 • 偏度為負值。 • 平均數常小於中位數。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第103-104頁圖3.3

分配的形狀 • 適度右偏 • 偏度是正值。 • 平均數通常大於中位數。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第103-104頁圖3.3

分配的形狀 • 高度右偏 • 偏度是正值。 (通常大於1.0) • 平均數通常大於中位數。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第103-104頁圖3.3

分配的形狀 第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第103-104頁圖3.3

z分數 z分數通常稱為標準化值(standardized value)。每個 xi會有一個稱之為 z 分數(z -score)的數值與之對應。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第104-105頁

z 分數 利用平均數與標準差，我們便能決定任何觀察值的相對位置。資料集小於樣本平均數則 z分數小於 0。資料集大於樣本平均數則 z分數大於 0。資料集等於樣本平均數則 z分數等於 0。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第105頁

表 3.5 是班級人數資料的 z分數，之前算出平均數為＝44，樣本標準差為 s＝8。第 5 個觀察值的 z分數為－1.50，是離平均數最遠的資料值，比平均數小 1.50個標準差。 z分數實例第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第105頁表3.5

柴比雪夫定理 在資料集內，至少有 (1 – 1/z2)百分比的觀察值與平均數的差距在 z個標準差之內，此處 z為任何大於 1 之值。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第105頁

柴比雪夫定理 至少有 0.75 或 75% 的觀察值，與平均數的差距在 z＝2 個標準差之內。至少有 0.89 或 89% 的觀察值，與平均數的差距在 z＝3 個標準差之內。至少有 0.94 或 94% 的觀察值，與平均數的差距在 z＝4 個標準差之內。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第106頁

柴比雪夫定理實例 若某學院商用統計課程有 100 位學生修課，期中考成績之平均數為 70，標準差為 5。有多少學生的分數介於 60 與 80 之間？又有多少學生的分數介於 58 與 82 之間？我們注意到 60 的值是小於平均數 2 個標準差，而80 則是大於平均數 2 個標準差。利用柴比雪夫定理，我們可看出至少 0.75 或至少75% 的觀察值與平均數的差距必須在2 個標準差之內。因此，100 個學生至少有75 人分數介於 60 與 80 之間。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第106頁

柴比雪夫定理實例 而分數介於 58 與 82 的人數又是多少？我們可看出 (58－70)/5＝－2.4，表示58 是小於平均數 2.4 個標準差；而 (82－70)/5＝＋2.4，表示 82 大於平均數 2.4 個標準差。利用柴比雪夫定理 z＝2.4，我們可得到至少有82.6%的學生的分數必須介於58與82之間。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第106頁

經驗法則 • 針對鐘形分配的資料集而言： • 大約68%的觀察值與平均數的差距在1個標準差內。 • 大約95%的觀察值與平均數的差距在2個標準差內。 • 幾乎所有的觀察值與平均數的差距在3個標準差內。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第107頁

99.72% 95.44% 68.26% 經驗法則 x m m + 3s m – 3s m – 1s m + 1s m – 2s m + 2s 第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第107頁圖3.5

離群值的偵測 • 有時資料集會有一個或更多極大或極小的觀察值。此類極端觀察值為離群值(outliers)。 • 使用 z分數確認離群值時，觀察值之 z分數若小於−3或大於＋3，就是離群值。 • 離群值可能是 • 未被正確登錄的資料 • 被錯放在資料集 • 離群值若是登錄正確的資料，而且也屬於這個資料集的話，則必須保留。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第107-108頁

離群值的偵測 根據資料分析制定決策時，最好先檢查離群值。誤差通常產生自記錄資料，並將其輸入電腦時。並非一定要刪除離群值，但必須適當確認其正確性與適當性。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第107頁

離群值的偵測實例 參考表 3.5 的班級人數資料之 z分數，z分數為 − 1.50 表示第 5 個觀察值為離平均數最遠的值。然而，此標準化值仍在 − 3 到＋3 之間，因此， z分數顯示出在班級人數資料中並無離群值。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第108頁

評註 • 柴比雪夫定理適合用於任何的資料集，用來指出至少有多少個觀察值與平均數的差距在特定個標準差之內。若資料集已知為鐘形時，則會得到更多的訊息。例如，經驗法則告訴我們：有大約 95% 的觀察值與平均數的差距在兩個標準差之內；由柴比雪夫定理所得到的結論只是：至少有 75% 的觀察值會在上述的差距之內。 • 在分析一個資料集之前，統計學者通常做各種檢查以確信資料的有效性。在大型研究中，登錄資料或將資料鍵入電腦的過程中發生錯誤也很常見。確認離群值是檢查資料有效性的方法之一。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第108頁

五數彙總 • 五數彙總(five-number summary)是利用下列五個數來匯總資料。 • 最小值 • 第一四分位數 (Q1) • 中位數 (Q2) • 第三四分位數 (Q3) • 最大值第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第110頁

3310 3355 3450 3480 3480 3490 3520 3540 3550 3650 3730 3925 Q1=3465 Q2=3505 Q3=3600 (中位數) 五數彙總實例以表 3.1 的起薪資料為例，可以得到下列結果。由3.1節已知中位數為3905，Q1＝3865且Q3＝4000。檢視此資料集之最小值為3710，而最大值為4325。因此，此資料集之五數彙總為3710、3865、3905、4000、4325。大約有1/4或25% 的資料值會介於這五數的兩兩間隔之間。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第110頁

箱形圖 箱形圖(box plot)是根據五數彙總而繪製的圖形。繪製箱形圖的關鍵在求出四分位數距 IQR＝Q3－Q1。箱形圖是另一種辨別離群值的方法。但是這種方法不見得會與用 z 分數找出的離群值相同。運用兩種方法或只用任一種方法皆可行。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第110頁

箱形圖 圖3.6為每月起薪資料的箱形圖以及上、下界限。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第110頁圖3.6

箱形圖 • 繪製箱形圖的步驟如下： • 箱形的製作以第一四分位數、第三四分位數為前後邊。以起薪資料為例，Q1＝3865, Q3＝4000，箱形包含中間50% 的資料。 • 箱形中的垂直線位置為中位數 (以起薪資料而言是 3905)。因此，中位數位置的直線將所有資料分割成兩等分。 • 使用四分位數距 IQR＝Q3－Q1時，必須設定界限 (limits)，箱形圖的界限分別位於 Q1之下1.5(IQR)或 Q3 之上1.5(IQR)。對起薪資料而言，IQR＝ Q3－Q1＝4000－3865＝135。因此，界限為 3865－1.5(135)＝3662.5 與 4000＋1.5(135)＝4202.5。在界限之外的值為離群值。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第110頁

箱形圖 • 圖 3.6 的虛線稱之為鬚 (whiskers)。鬚的畫法是從步驟 3 中箱形的兩邊至界限內最大值與最小值，以圖 3.6 為例，分別是 3310 與 3730。 • 最後，以 * 表示離群值的位置；在圖 3.5 中，可看到一個離群值 3925。 • 圖 3.6 中有標示上、下界限的直線。這些線用來標示資料的範圍，雖然我們會算出這些數值，但在箱形圖中通常不會顯示出來。圖 3.7 是起薪資料的箱形圖的一般形式。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第111頁

箱形圖 第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第111頁圖3.7

評註 • 探究性資料分析過程的優點之一是容易使用；需要的計算很少，我們僅是將資料由小到大排序並找出中位數與第一四分位數、第三四分位數去獲得五數彙總，便可很容易地做出箱形圖，並不需要計算資料的平均數與標準差。 • 附錄 3.1 將說明如何以 Minitab 繪製起薪資料箱形圖，其箱形圖與圖 3.7 相似，只是圖形轉了 90°。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第112頁

共變異數 共變異數(covariance)是兩變數間線性相關的敘述量數。共變異數為正值表示正相關。共變異數為負值表示負相關。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第114頁

共變異數 樣本共變異數母體共變異數樣本共變異數第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第114-115頁

共變異數實例 回顧 2.4 節立體音響設備店的例子。該店的經理有興趣研究未來幾個週末的電視廣告與銷售量的關係，樣本資料列於表 3.6 中。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第114頁表3.6

共變異數實例 圖 3.9 為兩變數的散布圖，其顯示出一種正向的關係：較高的銷售量 (y) 伴隨著較高的廣告次數 (x)。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第114頁圖3.9

共變異數實例 為了測量廣告次數 x與銷售額 y的線性關係之強度，我們利用式(3.12)計算樣本共變異數。表3.7是的計算過程。請注意＝ 30/10＝3且　＝510/10＝51，利用式(3.12)，可得共變異數為第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第115頁

共變異數實例 第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第115頁表3.7

共變異數的意義 以圖3.10來解釋樣本共變異數。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第114頁圖3.10

圖3.11 樣本共變異數的解釋 第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第117頁圖3.11

相關係數 相關係數的範圍由−1到+1。樣本相關係數為+1代表兩變數 x與 y之間是完全正線性相關。樣本相關係數為− 1代表兩變數 x 與 y 之間是完全負線性相關。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第119頁

相關係數 樣本資料母體資料相關係數第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第116-117.118頁

相關係數 相關係數讓我們瞭解兩個變數間線性相關的程度，而非因果關係存在與否。兩變數間的高度相關並不表示兩變數間必然有因果關係。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第119頁

相關係數實例 以立體音響店的資料為例，求其樣本相關係數。利用表3.6的資料，我們便能計算兩變數的樣本標準差。因為 sxy＝11，可得到樣本相關係數為第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第117-118頁

相關係數的解釋 圖3.12的散佈圖是根據以下樣本資料而得。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第118頁

相關係數的解釋 第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第119頁圖3.12

相關係數的解釋 通過這三點的直線顯示變數 x與 y存在有完全線性相關。為了套用式(3.14)來計算樣本相關係數，要先算出 sxy、sx 與 sy，某些計算過程列在表3.8。運用表中的資料，我們發現因此，樣本相關係數為1。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第119-120頁

相關係數的解釋 假設某一特定資料集顯示 x與 y間有正線性相關但不是完全正線性相關，rxy之值將會小於1，表示在散布圖上的點並非全部落在一條直線上。當資料點愈來愈偏離完全正線性相關， rxy的值會愈變愈小。 rxy之值等於零表示 x與 y之間沒有線性關係，且 rxy之值接近零表示一種微弱的線性相關。以立體音響店的資料為例， rxy＝0.93，因此，我們的結論是：廣告次數與銷售量之間存在強大正的線性關係。更明確地說，廣告次數增加時，銷售量也增加。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第119頁

相關係數實例 第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第114頁表3.8

3.6 資料儀表板：增加數值量數以提升效能 資料儀表板不僅限於圖形顯示。增加諸如關鍵績效指標 (key performance indicators, KPIs) 的平均值與標準差的數值量數到資料儀表板是很緊要的，因為數值量數可以作為評估 KPIs 的目標或標竿。資料儀表板經常是互動式的。向下鑽取 (drilling down) 是指互動式資料儀表板的功能，讓使用者可以在更細部的層次存取資訊、進行分析。第3章敘述統計：數值方法 Part B (3.3-3.6) 第121-125頁

End of Chapter 3, Part B

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