Sistemas Realimentados

1. Sistemas Realimentados Controladores PID

2. Conteúdo • Regras de sintonia de Ziegler Nichols; • Projeto de controlador PID – Abordagem Computacional; • Controladores PID modificados (PI-D e I-PD); • Controle PID com vários graus de liberdade; • Abordagem por alocação de zeros.

3. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID • Se o modelo matemático da planta é conhecido, aplica-se uma dentre várias técnicas de projeto de controladores conhecidas; • Se o modelo da planta não é conhecido (muito complexo), então abordagens analíticas de projeto de controladores não podem ser aplicadas; • Em geral, as plantas a serem controladas se enquadram no segundo caso. Logo, recorre-se a abordagens experimentais de sintonia de PID.

4. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID • Ziegler e nichols propuseram regras de sintonia de PID (ajuste de Kp, Ti e Td), baseadas na resposta ao degrau ou no valor de Kp que resulta em uma estabilidade marginal. • São aplicáveis a plantas cujo modelo matemático são desconhecidos ou conhecidos. • Proporcionam um ponto de partida na sintonia fina e não os valores definitivos dos parâmetros do controlador PID.

5. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID • Existem dois métodos denominados regras de sintonia de Ziegler-Nichols: a saber: • Primeiro Método – obtém-se experimentalmente a resposta da planta a uma entrada em degrau unitário

6. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID • Primeiro Método – Se aplica se a planta não possui integradores ou polos complexos conjugados dominantes. Então a curva de resposta ao degrau unitário característica é como na figura abaixo.

7. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID • Observase uma constante L, correspondente ao atraso na resposta, e uma constante de tempo T. • Deste modo, a seguinte aproximação é válida:

8. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID • Proposta de Ziegler-Nichols Um polo na origem e um zero duplo em -1/L.

9. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID • Segundo Método – Define-se Ti=∞ e Td=0, e aumenta-se Kd de 0 ao valor crítico Kcr, no qual a saída exibe uma oscilação sustentada pela primeira vez, cujo período é chamado de período crítico Pcr.

10. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID • Segundo Método – Proposta de Ziegler-Nichols Um polo na origem e zeros duplos em -4/Pcr. • Obs.: Se o modelo matemático da planta é conhecido, então podemos encontrar Kcr a partir do método do lugar das raízes e Pcr=2π/ωcr.

11. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID • Exemplo 1: Considere o sistema de controle mostrado na figura abaixo, no qual um controlador PID é utilizado para controlá-lo. Sintonize o controlador usando as regras de Ziegler-Nichols. a FT do controlador PID. Seja Para determinar os parâmetros do controlador, vamos obter a curva de resposta a uma entrada degrau unitária e verificar se o sistema projetado exibe aproximada- Mente 25% de sobressinal máximo.

12. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID Se o sobressinal máximo for excessivo, faremos uma sintonia fina a fim de reduzi-lo. Como a planta possui um integrador (o polo na origem), fazemos uso do Segundo Método de Ziegler-Nichols, isto é Ti=∞ e Td=0. Assim, A FTMF fica como segue: O valor de Kp que torna o sistema marginalmente estável pode ser obtido utizando o Critério de Estabilidade de Routh.

13. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID Assim, de posse da equação característica do sistema dada por: Fazemos o arranjo de Routh.

14. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID Para encontrar a frequência da oscilação sustentada fazemos Kp=Kcr em Isto é Logo, Portando, usando a tabela proposta por Ziegler-Nichols, temos que:

15. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID Logo, a FTMF do sistema fica como segue: Avaliando a resposta ao degrau unitário, observa-se a presença de um sobressinal de aproximadamente 62%. Portanto, o valor do sobressinal é excessivo, devendo ser feito uma sintonia fina dos parâmetros do controlador.

16. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID Para isso, vamos mover o zero duplo do controlar de -1,4235 para -0,65, o que faz com que o sobressinal seja reduzido para 18% aproximadamente. Entretanto, a velocidade de resposta é lenta (aproximadamente 0,7s).

17. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID Agora, para aumentar a velocidade de resposta, aumentamos o ganho Kp de 18 para 39,42, mantendo o zero duplo em -0,65.

18. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID Conclusão: A última resposta possui um sobressinal de aproximadamente 28%, o qual está próximo da especificação de 25%. Logo consideramos aceitável. Além disso, conseguiu-se diminuir o tempo de resposta para aproximadamente 0,4s. Observe que os valores sintonizados (Kp=39,42; Ti=3,077 e Td=0,7692) são aproximadamente o dobro daqueles obtidos usando o segundo método de ziegler-Nichols (Kp=18; Ti=1,405 e Td=0,35124). Entretanto, deve-se frizar que o método forneceu um ponto de partida para a sintonia fina.

19. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID Conclusão: Analizando o lugar das raizes do sistema compensado, pode-se verificar que o aumento do ganho Kp imediatamente a partir dos valores sugeridos pelo método de Ziegler-Nichols não contribui para a diminuição do sobressinal (ξ≈0,3 para uma ampla faixa de valores para K).

20. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID Conclusão: Note que após o ajuste dos zeros, o lugar das raízes se modificou de tal forma que dois polos de malha fechada e o zero duplo se cancelam, de modo que os polos de malha fechada dominantes passam a seguir a assintota paralela ao eixo imaginário, permitindo uma ganho auto e um coeficiente de amortecimento suficientemente auto.

21. Projeto de controlador PID – Abordagem Computacional • Exemplo 2: Considere o sistema de controle da figura abaixo. Deseja-se encontrar uma combinação de K e a de modo que o sistema de malha fechada seja subamortecido e o sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário seja de no máximo 10%. Primeiro, definimos regiões de busca para K e a, tomando o cuidado de evitar ganhos K muito elevados, os quais implicariam a necessidade de unidade de força de grande potência. Sendo assim, supomos Vamos escolher um passo de busca de 0,2 para ambos K e a.

22. Projeto de controlador PID – Abordagem Computacional

23. Projeto de controlador PID – Abordagem Computacional

24. Projeto de controlador PID – Abordagem Computacional

25. Controladores PID modificados (PI-D e I-PD) O termo derivativo produz um impulso na presença de uma entrada degrau!

26. Controladores PID modificados (PI-D e I-PD) Em um controlador PID real, em vez do termo Tds emprega-se γ≈0,1 Logo, uma função degrau na entrada do termo derivativo produzirá um pulso estreito, em vez de um impulso. Esse fenômeno é chamado de Salto do valor de referência.

27. Controladores PID modificados (PI-D e I-PD) Controle PI-D: Para evitar o salto do valor de referência, podemos colocar a ação derivativa somente no ramo de realimentação para que a diferenciação ocorra apenas no siinal de realimentação e não no sinal de referência.

28. Controladores PID modificados (PI-D e I-PD) Na ausência de disturbios e ruídos, a FTMF do sistema com controle PID básico fica como segue Enquanto que a do sistema com controle PI-D fica como segue

29. Controladores PID modificados (PI-D e I-PD) Controle I-PD: No caso de uma entrada degrau de referência, ambos os controladores PID básico e PI-D geram funções degraus no sinal manipulado, o que pode ser indesejável em muitas ocasiões. Portanto, pode ser vantajoso mover a ação proporcional e a ação derivativa para o ramo de realimentação, afetando somente o sinal realimentado.

30. Controladores PID modificados (PI-D e I-PD) Observe que no controle I-PD, é obrigatório ter a ação integrativa. A FTMF na ausência de distúrbios e ruídos é Observe na equação a seguir que, na ausência de ruídos, a FTMF entre o distúrbio e a saída é a mesma tanto para controle PID quanto para PIDs modificados.

31. Controladores PID modificados (PI-D e I-PD) Observe que no controle I-PD, é obrigatório ter a ação integrativa. A FTMF na ausência de distúrbios e ruídos é Observe na equação a seguir que, na ausência de ruídos, a FTMF entre o distúrbio e a saída é a mesma tanto para controle PID quanto para PIDs modificados.

32. Controle com Vários Graus de Liberdade Observe que para o sistema da figura abaixo, onde Gp é fixo, pode-se obter três funções de malha fechada distintas, são elas: Graus de liberdade implica em número de FTMF independentes!

33. Controle com Vários Graus de Liberdade No caso presente, temos Logo, se uma das três FTMF for dada, as outras duas são obtidas, caracterizando um sistema de UM GRAU DE LIBERDADE.

34. Controle com Vários Graus de Liberdade Observe agora que do sistema da figura abaixo, pode-se obter as três FTMF a seguir:

35. Controle com Vários Graus de Liberdade Observe que neste caso, dado Gyd, é possível obter Gyn, porém não é possível obter Gyr, pois Gc1 independe de Gyd. Logo, o sistema possui dois graus de liberdade. Veremos posteriormente que sistemas com dois graus de liberdade poder ser ajustados independentemente, a fim de melhorar o desempenho da resposta transitória.

36. Abordagem por Alocação de Zeros A abordagem por alocação de zeros permite anular o erro estacionário a resposta a uma entrada do tipo rampa e à entrada de referência de aceleração. Para mostrar isto, vamos considerar o sistema de controle da figura a seguir e, além disso, supor que Gp é uma FT de fase mínima dada por

37. Abordagem por Alocação de Zeros onde Supondo também que Gc1 é um controlador PID em série com um filtro 1/A(s) e Gc2 é um controlador PID, PI, PD, I, D ou P, em série com um filtro 1/A(s), isto é de modo que

38. Abordagem por Alocação de Zeros Portanto,

39. Abordagem por Alocação de Zeros Se a entrada de distúrbio for uma função degrau de amplitude d, isto é E presumindo que o sistema seja estável, então

40. Abordagem por Alocação de Zeros Alocação de zeros Seja a FTMF dada por Isto é, escolhendo os zeros s=-s1 e s=-s2, de modo que p(s) seja igual à soma dos últimos três termos do denominador, então o erro estacionário na resposta à entrada em degrau, rampa e aceleração será nulo.

41. Abordagem por Alocação de Zeros Alocação de zeros Suponha que se deseje que a resposta a uma entrada degrau unitário apresente um sobressinal que esteja compreendido em uma faixa arbitrária tal como, por exemplo Observe que o limite inferior é escolhido ligeiramente acima de zero para evitar superamortecimento. Quanto menor o limite superior, mais difícil será determinar os coeficientes a, podendo inclusive não ser possível determiná-los.

42. Abordagem por Alocação de Zeros Determinação de Gc2 Uma vez conhecidos todos os coeficientes da FTMF, temos então que Onde Gc1 é um controlador PID, dado por De modo que

43. Abordagem por Alocação de Zeros Determinação de Gc2 Logo, escolhemos De modo que Logo, a resposta do sistema a uma entrada de referência do tipo degrau unitário pode ser obtida de modo que exiba um sobressinal máximo dentro do intervalo A resposta do sistema a uma entrada de referência do tipo rampa ou aceleração pode ser obtida de modo que não exiba erro estacionário. Embora o tempo de acomodação seja geralmente pequeno, caso se deseje diminuir ainda mais, então é preciso permitir um sobressinal máximo maior, por exemplo

44. Abordagem por Alocação de Zeros Determinação de Gc2 Embora o tempo de acomodação seja geralmente pequeno, caso se deseje diminuir ainda mais, então é preciso permitir um sobressinal máximo maior, por exemplo Como Temos que

45. Abordagem por Alocação de Zeros Exemplo: Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na figura abaixo. A FT da planta é dada por Projete os controladores Gc1 e Gc2, de modo que o sobressinal máximo na resposta à entrada de referência do tipo degrau seja menor que 19% , mas superior a 2%, que o tempo de acomodação seja menor que 1s, que os erros estacionários à entrada rampa e aceleração sejam nulos, e que a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau seja pequena, tendendo a zero rapidamente.

46. Abordagem por Alocação de Zeros Resolução: Note que Para simplificar, definiremos Gc=Gc1+Gc2. Então,

47. Abordagem por Alocação de Zeros Note ainda que Onde observamos que a equação característica de Y/D e Y/R são idênticas. Suponha Então

48. Abordagem por Alocação de Zeros Suponha que os polos dominantes sejam e que o polo remanescente seja s=-c. • Relembrando os requisitos do sistema: • Resposta à entrada degrau de distúrbio seja rapidamente amortecida; • Sobressinal da resposta à entrada degrau esteja entre 19% e 2%, com tempo de acomodação menor que 1s; • Erro estacionário nulo para entradas tipo rampa e aceleração. Valores razoáveis para a, b e c serão buscados a partir de uma abordagem computacional. Definimos as seguintes regiões de busca:

49. Abordagem por Alocação de Zeros Definimos as seguintes regiões de busca: A localização dos polos dominantes nas regiões hachuradas garante uma resposta rapidamente amortecida.

50. Abordagem por Alocação de Zeros Note que o denominador Y/D ´pde ser escrito como: Como os denominadores de Y/D e Y/R são os mesmos, o denominador de Y/D determina também as características da resposta à entrada degrau.