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第七章第一节

第七章第一节. 级数及其基本性质. 简介. 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，在自然科学、工程技术、数理统计、数值计算等方面有着广泛的应用。它既可以 表示函数 、 研究函数的性质 ，又可以 进行函数的近似计算 。本章首先介绍常数项级数的概念、性质以及敛散性的一些判别法，然后介绍函数项级数，着重介绍如何将函数展开成幂级数和三角级数的基本方法。. 7.1 级数及其基本性质. 一、级数的概念. 二、级数的收敛与发散. 三、级数收敛的必要条件. 四、级数的基本性质. 五、课堂小结. 引例 1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 设 a 0 表示. 依次作圆内接正.

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第七章第一节

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  1. 第七章第一节 级数及其基本性质

  2. 简介 • 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，在自然科学、工程技术、数理统计、数值计算等方面有着广泛的应用。它既可以表示函数、研究函数的性质，又可以进行函数的近似计算。本章首先介绍常数项级数的概念、性质以及敛散性的一些判别法，然后介绍函数项级数，着重介绍如何将函数展开成幂级数和三角级数的基本方法。

  3. 7.1 级数及其基本性质 一、级数的概念 二、级数的收敛与发散 三、级数收敛的必要条件 四、级数的基本性质 五、课堂小结 www.themegallery.com

  4. 引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 设 a0表示 依次作圆内接正 边形, ak表示边数 内接正三角形面积, 增加时面积的增加值, 则圆内接正 这个和逼近于圆的面积 A . 即 www.themegallery.com

  5. 一、级数的概念 定义： 给定一个序列 叫做无穷级数， 则式子 简称级数，记为 即 叫做级数的一般项。 其中第 项 www.themegallery.com

  6. 级数的分类 若 是常数, 就称级数 若 是函数, 为常数项级数; 就称级数 为函数项级数。 判断下列级数属于哪一类级数： 1、 2、 www.themegallery.com

  7. 3、 4、 等差级数，或算术级数. 5、 等比级数，或几何级数. 6、 -级数 7、 www.themegallery.com

  8. 二、级数的收敛与发散 引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 分析： 由自由落体运动方程 知 设tk表示小球第 k次下落所用的时间, 则式子 是小球运动的时间。 小球是否会停止运动呢？ www.themegallery.com

  9. 记常数项级数的前 项的和: 部分和 部分和数列 定义： 如果级数 有极限 即 的部分和数列 收敛， 这时极限 则称无穷级数 叫做这个级数的和， 并写成 如果 没有极限， 则称无穷级数 发散. www.themegallery.com

  10. 例1 试讨论等比级数 叫做级数的公比)的敛散性. (其中 如果等比级数 级数收敛， 的公比的绝对值 则级数收敛， 和为 且其和为 级数发散 如果 则级数 发散. 级数发散 www.themegallery.com

  11. 例2 证明级数 是发散的. 证:级数的部分和为 显然 因此所给级数是发散的. 例3判断无穷级数 的敛散性. www.themegallery.com

  12. 三、级数收敛的必要条件 证明 例4： 调和级数 推论: 若 定理: 级数 收敛的 则级数 是发散的. 必定发散. 必要 条件是 www.themegallery.com

  13. 证 因为级数 收敛， 所以 所以 了解 www.themegallery.com

  14. 例5判断级数 的敛散性. 解 此级数的一般项 且 故此级数发散. www.themegallery.com

  15. 四、级数的基本性质 收敛于和 性质1 如果级数 则级数 也收敛， 且其和为 推广：级数的每一项同乘一个不为零的常数后， 它的敛散性不会改变. 的部分和分别为 证 设级数 与级数 则 与 于是 这表明级数 收敛，且和为 www.themegallery.com

  16. 分别收敛于 和 和 性质2 如果级数 则级数 也收敛，且其和为 结论：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3： 去掉、增加或改变无穷级数 的有限项， 级数的敛散性不变. 注意：若收敛，和有可能改变。 www.themegallery.com

  17. 如果级数 性质4 收敛， 则对此级数的项任意 加括号后所成的级数： 仍收敛，且其和不变. 结论：此定理表明收敛级数适合结合律。 注意：如果加 括号后所成的 级数收敛，则 不能断定去括 号后原来的级 数也收敛. 推论：如果加 括号后所成的 级数发散，则 原来级数也发 散. www.themegallery.com

  18. 课堂练习： 1、请判断下列级数的敛散性 收敛 收敛 发散 www.themegallery.com

  19. 2、判断： (1)一个收敛级数与一个发散级数 的和是收敛的还是发散的？ 发散 (2)两个发散的级数之和是收敛 的还是发散的？ 不一定. www.themegallery.com

  20. 五、课堂小结 三、四个基本性质 二、基本 审敛法 一、常数项级数的 基本概念 www.themegallery.com

  21. 级数的展开形式 简写形式 一般项 备注 重要的数项级数 调和级数 算术级数 等差级数 等比级数 几何级数 p—级数 www.themegallery.com

  22. 级数及其基本性质主要知识点 性质1 性质2、3 级数的概念 性质4 部分和数列 收敛的必要条件 级数收敛的概念 常见数项级数的 敛散性 引例 疑问解答 www.themegallery.com

  23. 巩固练习: 判别下列级数的敛散性: 1、 2、 3、 4、 www.themegallery.com

  24. 课后作业： 课本：P210 习题7.1 3（1）（2） www.themegallery.com

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